中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想――分類討論的思想

中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想――分類討論的思想依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)做分類的思想究和求解的方法叫做分類討論的方法。分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的?；仡櫩偨Y(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中分類討論的知識(shí)點(diǎn)，大致有：絕對(duì)值概念的定義；根式的性質(zhì)；一元二次方程根的判別式與根的情況；二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)與拋物線開口方向；反比例函數(shù)k/x的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)的比例系數(shù)k，一次函數(shù)kx+b的斜率k與圖象位置及函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；冪函數(shù)xn的冪指數(shù)n的正、負(fù)與定義域、單調(diào)性、奇偶性的關(guān)系；y=axy=logax中底數(shù)aa＞10＜1對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響；等比數(shù)列前nq=lq≠1的區(qū)別；復(fù)數(shù)概念的分類；不等式性質(zhì)中兩邊同乘(除)時(shí)正數(shù)與負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響；排列組合中的分類計(jì)數(shù)原理；圓錐曲線中離心率e直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論；運(yùn)用點(diǎn)斜式、斜截式直線方程時(shí)斜率k曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型；角終邊所在象限與三角函數(shù)符號(hào);??當(dāng)你對(duì)以上各種情況“心中有數(shù)”時(shí)，分類討論便不再令人望而生畏。例1設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q(q0的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn又設(shè)Tn=Sn/(Sn+1)(n=1，2，?)，例2不等式的解集( (A){x∣-2≤x≤2}(B){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤2}(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤2}(D){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤√3}分析：使不等式有意義的x的范圍是-2≤x＜0∪0＜x≤2．題設(shè)不掉絕對(duì)值符號(hào)，化為無(wú)理不等式處理。解：(1)當(dāng)x>0時(shí)，∣x∣/x=1，原不等式等價(jià)于√(4-x2)≥-1．由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；(2)當(dāng)x＜0時(shí)，∣x∣/x=-1，原不等式等價(jià)于√(4-x2≥1由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得-√3≤x<0．{x｜-√3≤x＜00＜x≤2}(B)．3當(dāng)α0180x2+y2cosα=1?α=0=1x2+y2=1，顯然這是單位圓；當(dāng)°＜sα＜α＞，）＞1=ax軸上；α=180=-1x軸上的等軸雙曲線。α0180°變化時(shí)，曲線從單位圓、橢圓、平行直線到雙曲線、等軸雙痛快。例4解不等式loga(1-1/x)＞1． [96理(20)]分析：由于對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a0＜a＜la＞l兩也要注意同解性。解：為了使不等式有解，必須a＞0且a≠1．0°＜α<90x2/1+y2/(1/cosα)=1,它表示焦點(diǎn)在y1；長(zhǎng)半軸√(1/cosα)αα＝90＝0x2=1，x=±l，它表示兩條平行直線；評(píng)注：當(dāng)a＞l與0＜a＜l同．這類題目對(duì)分類討論思想的考查是隱蔽的，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)清楚的同學(xué)可以一眼洞穿。例5 從0,1,2,3,?8這九個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，且6可當(dāng)9用，可以組成多少個(gè)不同的三位?6的作用特別，就按所排成的三位數(shù)中有或沒(méi)有6680不能作百位數(shù)，故這三個(gè)數(shù)字又有兩種取法：0p7302P72個(gè)；66900的問(wèn)題，共有兩種取法：60260的三位數(shù)有2P21C71P22個(gè)．∴滿足條件的三位數(shù)共有：P73+2P72+2C11C72P33+2P21C71P22=602(個(gè))．答：這樣的三位數(shù)一共可以組成602個(gè)．6a≠-1/2x(x+4a)(x-6a)/(2a+1)＞0．2a+16a的大小也需要再分類討論．解：(1)當(dāng)2a+1＞0，即a＞-1/2時(shí)，原不等式化為(x+4a)(x-6a)＞0．①當(dāng)a＞0時(shí)，-4a＜0＜6ax＜-4a或x＞6a；②當(dāng)a=0時(shí)，-4a=6a=0，原式化為x2＞0,∴x≠0；-1/2＜a＜0時(shí)，6a＜0＜-4a,∴x＜6a或x＞-4a．(2)當(dāng)2a+1＜0即a＜-1/2時(shí)，原式化為(x+4a)(x-6a)＜0∵6a＜0＜-4a，∴6a＜x＜-4a．綜上討論，不等式的解集為：a＞0︱x＜-4a或x＞6a}；當(dāng)a=0時(shí)，{x︱x≠0，x∈R}；a∈(-1/2,0)時(shí)，{x∣x＜6a或x＞-4a}；a∈(-∞-1/2)時(shí)，{x∣6a＜x＜-4a}．例7已知集合A={(x，y)∣(y-3)/(x-2)=a+1}，B={(x，y)∣(a2-1)x+(a-1)y=15}，若A∩B=Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。a=1,∴A∩B=Ф；a≠1時(shí)，A∩B=Ф等價(jià)于方程組顯然方程組無(wú)解等價(jià)于方程③無(wú)解或方程③有一解x=2(為什么?)．而方程③有無(wú)解又要對(duì)a2-1是否為零即a是否等于±1分別討論：①當(dāng)a=1時(shí)，③化為02x=15，無(wú)解，與(1)同；a=-102x=2lAB=Ф成立；③當(dāng)a≠-1時(shí)，方程(3)可化為x=(2a2-3a+16)/2(a2-1)x=22a2+3a-20=0a=-4a=5/2A∩B=Ф．(1)，(2)a=±1，-4，5/2時(shí)A∩B=Ф．評(píng)述：本命題實(shí)質(zhì)是判定以圓錐曲線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線的位置關(guān)系(即是相交、相切、相離)。大家再一次看到量（e）變引起質(zhì)（位置）變的數(shù)學(xué)例子。例9設(shè)圓錐PO的母線長(zhǎng)為2，軸截面面積為1，則過(guò)頂點(diǎn)O的圓錐PO的截面面積的最大值．θ，則S=1/23232sinθ=2sinθ=1，∴sinθ=1/2，θ=30°或150°．θ=30OPO()此時(shí)截面等腰三角形的頂角都小于軸截面的頂角30范圍內(nèi)，正弦函數(shù)是S=1/232×=2sinαα=θ=30最大＝1；當(dāng)θ＝150°時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)O的截面的兩條母線互相垂直時(shí)，截面面積最大，此時(shí)S最大=1/232323sin90°=2．綜合可知，過(guò)頂點(diǎn)O的圓錐PO的截面面積的最大值為1或2．例10在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矩形．OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次為O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)t∈(0，+∞)OPQRS(t)．OPQR在第一象限內(nèi)的部分是什么圖形．由于O為定點(diǎn)，當(dāng)tP(1，t)恒在第一R(-2t，2)(-2t＜0，2＞0)Q(1-2t，2+t)1-2t可Qy一象限內(nèi)的部分可能是三角形也可能是直角梯形，故需分類求解．Q1-2t＞00＜t＜1/2QRy軸相交K．直線QR的方程是(y-2)/(2+t-2)=(x+2t)/(1-2t+2t)，即y-2=t(x+2t)，令x=0，得y=2+2t2，∴S(t)=SOPQR-SOKR=∣OP∣2∣PQ∣-1/2|OR|2|RK|.∵∣OP∣=√(1+t2),∣OR∣+2√(1+t2),∴√(1+t2)?2√(1+t2)-1/232(1+t2)22t=2(1-t+t2-t3);(2)當(dāng)1-2t=0即t=1/2時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5/2)∴S(t)=SOPQ=1/235/231=5/4；1-2t＞1/2點(diǎn)在第二象限，設(shè)PQ與y軸相交于點(diǎn)LPQ的方程是(y-t)/(2+t-t)=(x-1)/(1-2t-1)x=0y=t+1/t,∴L(0,t+1/t)目，應(yīng)盡量選擇更簡(jiǎn)便的方法。小結(jié)：分類討論的思想在求解函數(shù)、方程、不等式、排列組合，幾何等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用．用分類討論解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要步驟是：①分析題目條件，明確討論的對(duì)象，確二級(jí)分類；③逐類進(jìn)行討論、求解；④歸納小結(jié)，得出綜合后的結(jié)論。強(qiáng)化訓(xùn)練(A)1或-1(B)0或-1(C)0或1(D)0或1或-1(3)Z∈CZ2-3∣Z∣+2=0()(A)2(B)3(C)4(D)62．填空題．已知函數(shù)f(x)=lg(a+2)+sinx的最大值為2，則a= ；不等(k2-1)x2+2(k+1)x+1＞0對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍不等式的解集；過(guò)點(diǎn)P(2，3)且與圓x2+y2-2x=0相切的直線方程已知cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14，則cosβ= ;3．解答題．(1)求不等式√(4-x2）-∣x∣/x≥0的解集；xlg(ax2+3x-1)＞lgx；設(shè)函數(shù)f(x)=1-1/2cos2x+a3，求x的值；a＞0，a≠1，t＞01/2logatloga(t+1)/2的大小；8682人加入?；@球代表隊(duì)，且1?y2-ax2=1(a是