專題38 母子型問(wèn)題(教師版)-2021年中考數(shù)學(xué)模型技巧講義(二輪)

專題38母子型問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】如圖，在Rt△ABC中，/ACB=90°,CD1AB,則有Rt△ACDsRt△abc,Rt△CBDsRt△ABC,,Rt△ACDsRt△CBD.其中，Rt△ACDsRt△CBD為姊妹型相似，Rt^ACDsRt△ABC,,Rt△CBDsRt△ABC為母子型相似.圖（10） 圖（11）如圖所示，若^ACD=/B（或ZADC=ZACB），則△ACDs*ABC,為母子型相似.【典例分析】例1（2020?桂林市國(guó)龍外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，正方形ABCD中，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到^A，BC,AB',AC'分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,F,若AE=4,則EF?ED的值為（）【答案】C【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到回BAC和回EAF和回ADB都等于45°,再加上公共角得到回AEF與回DEA相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果.【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形，00BAC=0ADB=45°,回把回ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到匕4BC00EAF=0BAC=45°，00EAF=0ADB=45°，如AEFWDEA，加AEF釀DEA，AE_EF回DE~AE0EF-ED=AE2，回AE=4，0EF-ED=16，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵.例2.（2020四川師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形ABCD中，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△ABE,點(diǎn)G在CD上，且CG=3DC.連接BG并延長(zhǎng),與AE交于點(diǎn)F，與AD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.連接DE交BH于點(diǎn)K.若AE2=BF-BH，則S=△CDE【答案】—【分析】作EM1AB于M,EM交CD于N，根據(jù)勾股定理可得BG,再由相似三角形的性質(zhì)可得BH，繼而判定△BAFsABHA，并求得BF的長(zhǎng)，由全等三角形的性質(zhì)可得ME,利用線段的和差求得EN,進(jìn)而由三角形面積公式即可求解.【詳解】作EM1AB于M,EM交CD于N，如圖，則EN1CD回CG=3DG回DG=1,CG=3在RQBCG中，BG=<32+42=5國(guó)DG//AB國(guó)△HDGsAHABHGDGHB—51 —20團(tuán)=即=解得hb=——HBABhb4 3國(guó)AE2=BF?BH,而AB=AE

回回AB2=BF-BH即AB:BF=BH:AB而/ABF=/HBA回△BAFs^bha回/BFA=ZBAH=90?；谺F回AE.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"“AB2 42 12BF= =――=—\o"CurrentDocument"回BH20 5了如BME=EFB,0MBE=0FEB,BE=EB,加BME釀EFB(AAS),回EN=4-12=5回S，4X8二3aCDE 2 5 5故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線求得關(guān)鍵線段的長(zhǎng)解決問(wèn)題.例3.(2020四川成都市川大附中九年級(jí)月考)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是AB邊上一點(diǎn)，EF1CE交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作ZAEH=/BEC,交射線fd于點(diǎn)H，交射線CD于點(diǎn)N.(1)如圖。，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，求BE的長(zhǎng).

AEBAEB(2)如圖b，當(dāng)點(diǎn)h在線段fd上時(shí)，設(shè)BE=x,DN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域.DD(7C(3)連接AC，當(dāng)后HE與&AC相似時(shí)，求線段DN的長(zhǎng).E13E13【答案】(1)3；(2)y=2x—4(2<x<3)；(3)1或1【分析】(1)由EF1EC，得ZAEF+ZBEC=90。，又ZAEF=/BEC,得ZAEF=/BEC=45。，得BE=BC即可；(2)過(guò)點(diǎn)E作EG1CN,垂足為點(diǎn)G，四邊形BEGC是矩形，BE=CG，可證NENC二/ECN，得EN=EC，設(shè)BE=x,DN=y,利用線段和差即可得到y(tǒng)=2x-4(2<x<3)tanNEAC=tanNECB(3)/BAD=90。，EF1EC,推出/HFE=NAEC,當(dāng)*HE與&AEC相似時(shí),分類討論①若/FHE=NEACtanNEAC=tanNECBBCBE 9 __ _ _____=——,求得BE=-,②若/FHE=/ECA,設(shè)EG與AC交于點(diǎn)O,由EN=ECABBC 4一,… 一5_3EG1CN,知Z1=Z2,可證回AEO釀ABC,利用性質(zhì)可求AE=-,BE=,綜上所述，線段DN的長(zhǎng)為1或1時(shí)4FHE與^AEC相似.【詳解】（1）回EF1EC回/AEF+/BEC=90?；豘AEF=/BEC回ZAEF=/BEC=45?；?B=90?；谺E=BC回BC=3回BE=3（2）過(guò)點(diǎn)E作EG1CN，垂足為點(diǎn)G回四邊形BEGC是矩形，回BE=CG回AB\\CN回ZAEH=ZENC，/BEC=/ECN回ZAEH=/BEC回ZENC=ZECN回EN=EC^\CN=2CG=2BE,^\BE=x,DN=y,CD=AB=4,02x-y=4,當(dāng)點(diǎn)”在線段尸。上時(shí)，y巳。2%-4三0x>2Ey=2x-4(2<jc<3)圖A(3)0ZBAD=90°,0ZAFE+ZAEF=90°,0EF1EC,回/AEF+/CEB=90。,⑦ZAFE=NCEB,⑦/HFE=ZAEC,當(dāng)aFHE與八aec相似時(shí)，①若/FHE=/EAC,a/BAD=/B,ZAEH=ZBEC,0/FHE=ZECB,aNEAC=/ECB,0tanZEAC=tanZECB,BCBE0 = ,ABBCEAB=4,BC=3,EBE=—,4回設(shè)5石=x,DN=y,y=2x-4,回DN=—.2②若NFHE=NECA,設(shè)石G與AC交于點(diǎn)O,用EN=EC,EG±CN,aZl=Z2,是AH〃EG,^\ZFHE=Z1,?/FHE=N2,gZ2=ZECA,^\EO=CO,回AB=4,BC=3,則AC=5,設(shè)EO=CO=3k由EO回BC回回AEO回回ABCAEEOAOAEEOAO回= = 即 = = ABBCAC4 3 5則AE=4k,AO=5k回AO+CO=8k=5回AE=—,BE=—22回DN=DG—NG=AE—BE=1jEB綜上所述，線段DN的長(zhǎng)為1或1時(shí)aFHE與MC相似.【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1（2020?河南駐馬店市?九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC±BD，且AC=8,BD=4，各邊中點(diǎn)分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1R,再取各邊中點(diǎn)a2、b2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，……，依此類推，這樣得到四邊形AB￡D〃，則四邊形ABCDnn的面積為（）SA(-- B(-- C(--一 D(不確定2n 2n-1 2n-4【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16;根據(jù)三角形的中位線定理，得11A1B10AC,A1B1=-AC,貝胞BA1B1如BAC,得回BA1B1和0BAC的面積比是相似比的平方，即，1因此四邊形A1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的不，依此類推可得四邊形AnBn叫Dn的面積（【詳解】解：0四邊形A1B1C1D1的四個(gè)頂點(diǎn)A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，10A1B10AC,A1B1=AC,,

加BA1BBAC.麗BAB^和回BAC的面積比是相似比的平方，即111 4即SBAB11=即SBAB11=4S^ABC，同理可證：SADDCS^ADC，SAddaii0SAddaii0S四邊形D1B1clD12S四邊形。，11_4S^ABD，S回CB1C1_4S0BDC，同法可證s=1S同法可證s四邊形D2B2c2D2 2 四邊形D1B1CD1又四邊形ABCD的對(duì)角線AC=8,BD=4,AC0BD,回四邊形ABCD的面積是16.16 8回四邊形AnBn0nDn的面積=三=2i故選：B.故選：B.【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質(zhì).注意：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.2.（2020湖北武漢市九年級(jí)其他模擬）古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“黃金三角形”很美.頂角為36。的等腰三角形，稱為“黃金三角形”.如圖所示，^abc中，AB=AC,ND=36°,其中BC=與120.618,又稱為黃金比率，是著名的數(shù)學(xué)常數(shù).作NABC的平分線，交ACAC2于C1，得到黃金三角形△BCC1；作C4yBe交AB于B1,BC2//BC3AC于C2，得到黃金三角形△BCC2；作C2B2//BC交AB于B2，B2C3//BC1交AC于C3，得到黃金三角形△B2C3C3；依此類推，我們可以得到無(wú)窮無(wú)盡的黃金三角形?若BC的長(zhǎng)為1,那么CC的長(zhǎng)為（）A.v5一2 B.9-4<5 C2<5-4 D.【答案】B【分析】黃金三角形是一個(gè)等腰三角形,它的頂角為36°,每個(gè)底角為72°.它的腰與它的底成黃金比.當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí),角平分線分對(duì)邊也成黃金比,并形成兩個(gè)較小的等腰三角形.這兩三角形之一相似于原三角形,從而利用相似三角形的性質(zhì)得出規(guī)律,即可得到答案.【詳解】解：回AB=AC,NA=36。:.NABC=NACB=72。,

??,BC1平分ZABC.,./CBC1=ZABC1=36。=^A,ZBCC1=ZBCC=72。,BC1=AC^=BC=1,「ZACB=ZBCC1=72。,設(shè)CC1=X，則AB=AC=1+X,ABBC則IBCCx^i—1土<5回x— -2經(jīng)檢驗(yàn)：X經(jīng)檢驗(yàn)：X―三―1符合題意，2???CC1—普同理：4AB1cls△BCC2,???BC//BC,1ABCsrabc,1i:BCC1s△B1cle2,CCBCACBCBC_屈—1團(tuán)Ce^一~~bc—Aec—Aec-AC廠國(guó)CC12同理：e2C3=1^z1J=小-2,......,CCJ與］=05-2)=9-4底56 2k7【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與方程思想，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，同時(shí)考查了二次根式的乘方運(yùn)算；解題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用.二、填空題3.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?九年級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,四邊形ECGF為菱形，點(diǎn)G在AD上，點(diǎn)B在EF上，若菱形的一條對(duì)角線CF=4%5,則菱形ECGF的另一條對(duì)角線EG的長(zhǎng)度是.12<5【答案】 5【分析】如圖，連接GE,交CF于O,延長(zhǎng)DA,CF交于M,先證明fFCCs￡GM,得到MC=①,再證明△MGOs^mCd,利用相似三角形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)可得答案.MG2【詳解】解：如圖，連接GE,交CF于0,延長(zhǎng)DA,CF交于M,.矩形ABCD,AD//BC,^ADC=90。，「./M=/FCB,,菱形FECG,:.FE//GC,:'乙CFB=/FCG,FCMC???CF=4百BC=8,,MC_4小小*MG--8T'「菱形FECG,GE1FC,:.NMOG=90°=ZMDC,OG=OE,?.?/M=/M,:aMGOs^mCD,,MG_OG,~MC~~CD"..AB=CD=3,OG_2故答案為：藍(lán)二.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．(2020福建省泉州第一中學(xué)九年級(jí)其他模擬)如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)C在第四象限，I3ACB=90°,點(diǎn)D是x軸正半軸上一點(diǎn)，AC平分^BAD,E是AD的中點(diǎn)，反比例k函數(shù)>=(k>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,E.若EIACE的面積為6,則k的值為.x【答案】8【答案】8【分析】連接0C,在RSABC中，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，得到OC=1A得至胞OAC=0EAC,得至膽OCA=0EAC,過(guò)A作AM^x軸于M,形AMNC=S0AOC，DAM^DDEN，得到S梯形amnc=S兇℃=S蚪=6軸于P，易得△DAM0△DP。，設(shè)EN=a，則AM=2a，推出S「LB=OA，根據(jù)角平分線的定義過(guò)D作DN0x軸于N，易得S梯，求得S蜘。。=9,延長(zhǎng)DA交y1DAM：S0AOM=2：1，丁是得到結(jié)論.【詳解】解：連接。&在RtMBC中，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，1回0C=AB=0A,2回回OAC^^OCA,^AC是回BAD的角平分線，回回OAC=0EAC,如OCA=0EAC,0A國(guó)OC0S0AECS0AOE，過(guò)A作AM0x軸于M，過(guò)E作EN0x軸于N,k0A、E都在反比例函數(shù)y=的圖象上，x0S0AOMS0EON，0S梯形AMNES0AOE，0AM0EN,0，-[A/\M0\'DEN,0AE=DE,S梯形AMNE=S0AOE=S0AEC=6,史蜘。。=12,延長(zhǎng)DA交y軸于"，易得--DAM^\,DPO,設(shè)EN=a，則AM=2a,kk回ON=—,OM=—a 2akk回MN=——,DN=——2a 2a回DM:OM=2：1,回S0DAM：S^AOM=2：1，回S0AOM=4,0k=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的意義；借助直角三角形和角平分線，將，^ACCE的面積轉(zhuǎn)化為，AOC的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題（2020?江蘇鹽城市?景山中學(xué)九年級(jí)月考）問(wèn)題背景在RQACB中，AACB=90。,AC=16,BC=12，點(diǎn)D、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)C,D兩點(diǎn)之間的距離為x,C、F兩點(diǎn)之間的距離為丁.初步思考⑴如圖1,過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)FD、FE.當(dāng)DE=8時(shí),

深入探究（2）如圖2,若DE1AB于E，以FD,FE為鄰邊作平行四邊形FDGE，當(dāng)尢=6時(shí)，是否存在丁，使得平行四邊形FDGE的頂點(diǎn)G恰好落在vabc的邊上？若存在，請(qǐng)求出丁的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5尸5尸CB CB圖1 圖2備用圖拓展延伸3 12—y16—x（3）如圖3,連接AF、BD交于點(diǎn)E，若sinZBEF=-，且滿足一^二 =a，5 16y判斷a是否為定值？若是，請(qǐng)求出a的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.B FC8 9 24 3【答案】（1）-；（2）存在，弓或彳；（3）o的值為定值，o=.【分析】(1)利用勾股定理可求出AB長(zhǎng)，再由題意易證明aABC~aADE,得出AD=DE，代ABBC入數(shù)據(jù)，解出X即可.(2)分兩種情況討論①當(dāng)G點(diǎn)落在AC邊上時(shí)，作EH1AC交AC于點(diǎn)H,由(1)結(jié)論，可求出DE長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AE長(zhǎng)度，利用三角形等面積法即可求出EH長(zhǎng)度，即為y的值.②當(dāng)G點(diǎn)在AB上時(shí)，顯而易見(jiàn)A點(diǎn)與G點(diǎn)重合，由題意可知DF//AB,由平行線分線段成比例即可求出CF的長(zhǎng)，即為y的值.(3)作GB1BC且GB=AD,連接gf、AG.所以四邊形AGBD為平行四邊形，題干等BFAD BFBG式即為=，則= ，從而證明△FBG△AACF，繼而證明ACFC ACFCNAFG=90°.由sinZBEF=sin"AF=3,得GG=3，結(jié)合勾股定理所以GF=43即求出。的值為a【詳解】(1)在RMABC中，AB=\,AC2+BC2=｛堆+122=20由題意可知，NAED=NACB=90。，NA=NA回八ABC?八ADEADDE回AB—BCX0AD=AC-CD=16-X,16—x_8團(tuán)20-128解得％=38故答案為：3(2)假設(shè)存在y,使平行四邊形EFDG的頂點(diǎn)落在△ABC的邊上.①當(dāng)G點(diǎn)落在AC邊上時(shí).如圖，作EH1AC交AC于點(diǎn)H,ADDE由⑴可知而=熬‘取=6,AD=16-6=10,16-6DETOC\o"1-5"\h\z回 = ,20 12回。￡二6,在RtAADE中A石=4AD2—DE?=7102-62=8,回S =-AE?DE=-AD.EH,aade2 2AE?DE8x624r?iFH- = 二—回點(diǎn)G在AC上0EF//AC回ZEFC=NACB=NEHC=90°回四邊形EFCH為矩形，24[?]FC=EH=—,②當(dāng)G點(diǎn)在AB上時(shí)，可知G點(diǎn)與A點(diǎn)重合才能使平行四邊形EFDG成立.如圖,@DF//AB,

CFCD回CFCD回 =一BCACy6即—= ,1216解得y=9乙所以存在y,249y的值為7或所以存在y,(3)作GB1BC,且BG=AD=16—x，所以四邊形AGBD為平行四邊形，12—y16—16BFADACFCBFBGACFC又回NGBF=/FCA回△FBG△AACF回ZGFB=/FAC回/FAC+AAFC=90。回/GFB+AAFC=90?；豘AFG=90?；?BEF=^GAF

0sin/BEF—sin/GAF—^GF30 ——AG5根據(jù)勾股定理可知GF3AF—4BF0根據(jù)勾股定理可知GF3AF—4BF0a—ACGF3AFYB12-yFy【點(diǎn)睛】本題考查三角形