數(shù)列求和講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題數(shù)列求和專題一、裂項相消法求和：例1.若，求。（前3后1）解：（注意要通分驗證一下）（注意下標(biāo)與之間的對應(yīng)。）例2.若，求。（前4后2）解：（注意要通分驗證一下）例3.若，求。（前3后1）解：（要通分驗證一下）例4.若，求。（前3后1）解：（要通分驗證一下）例5.若，求。（前3后1）解：。例6.若，求。（前4后2）解：。數(shù)列求和基本思路：“求和看通項”。引申題型：裂項相消法求和的推廣：例1.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（D）A． B． C． D．解：數(shù)列滿足，①當(dāng)時，，②①﹣②得：，故：，數(shù)列滿足：，則：，由于恒成立，故：，整理得：，因為在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，例2.已知數(shù)列與前項和分別為，，且,，對任意的恒成立，則的最小值是（C）A． B． C． D．因為,所以當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，.所以.于是.由，可得，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，即.所以.所以.因為對任意的恒成立，所以，即的最小值是.故選C.例3.正項數(shù)列的前項和滿足：（1）求；（2）令，前項和為，證明：對于任意的，都有。解：（1）由得：因為正項數(shù)列，則為等差數(shù)列，且。（2）。例4.數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，前項和為，。（1）求；（2）若，前項和為，證明：。解：（1）當(dāng)時，，①②①-②得：因為單調(diào)遞增數(shù)列，則，故；（2）。二、錯位相減法求和：若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則求的前n項和可用“錯位相減法”。例1。為等差數(shù)列，，為等比數(shù)列，，求的前n項和。解：①②①②得：。注意幾點：①寫出時，保證“前3后2”，即前面寫三項，后面寫兩項；②對式子乘以等比數(shù)列的公比，得到一個新式子，然后進行錯位相減；③進行錯位相減后，中間有一個項的等比數(shù)列求和，且倍數(shù)是等差數(shù)列的公差；④求中間項的等比數(shù)列求和，化簡，求出。三、分組求和法：記住兩個公式：例1.解：例2.已知，求。分析：設(shè)，并設(shè)前項和為，先用錯位相減法求，則。四、并項求和法：形如類型（即擺動數(shù)列），求和時可采用兩項合并求解，稱之為并項求和。例1.前項和為，，求，，。解：；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，。規(guī)律：當(dāng)為偶數(shù)時，兩兩并項即可；當(dāng)為奇數(shù)時，第一項單獨空出來，讓后項兩兩并項，然后加上第一項即可。例2.的首項，前項和為，是公差為2的等差數(shù)列。（1）求；（2）若，求前項和為。解：（1）是公差為2的等差數(shù)列，且為等差數(shù)列，且（2）當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，。例3.已知等差數(shù)列中，，前項和為，且成等比數(shù)列。（1）求通項公式；（2）設(shè)，求前項和。（）解：（1）等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列，（2）當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，。例4.已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，且是與的等差中項。（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求前項和。（或）解：是與的等差中項當(dāng)時，，則當(dāng)時，是以為首項，以1為公差的等