工程測(cè)量常用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算公式總結(jié)

測(cè)量公算計(jì)式平面直角坐標(biāo)北縱軸為軸且示表南方向北為正，軸且示表西方向東為正，???XYN

X向南為負(fù)。橫軸為向西為負(fù)。象限分布為順時(shí)針。為了避免測(cè)區(qū)內(nèi)的標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，可將坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在的西南角上（可將測(cè)區(qū)坐標(biāo)原點(diǎn)加一個(gè)大數(shù)）。EYo六位數(shù)（如：）566666.00換算（施工、測(cè)圖坐標(biāo)）標(biāo)坐小、標(biāo)坐大施為工標(biāo)坐系，XOI為坐圖測(cè)系標(biāo)。?

AOB設(shè)

為筑建基線的一個(gè)上主點(diǎn)，它在施aⅡ工坐標(biāo)系中為的坐標(biāo)為點(diǎn)在測(cè)圖系中的坐標(biāo)，之間的夾角。將測(cè)坐標(biāo)，其計(jì)算式為（見(jiàn)下圖）Ⅱ

ⅡA

B,

在，測(cè)圖標(biāo)系坐中，為施坐工標(biāo)原YⅡ0YBⅡXⅡY,

Ⅱ

X0Y,

0Ⅱa為X與軸

A軸AⅡ施的點(diǎn)工標(biāo)坐換算成ⅡoX

Ⅱ=X0+AⅡcosa-BⅡsinaYⅡ=Y0+AⅡsina-BⅡcosa將測(cè)圖換成施工坐標(biāo)，其計(jì)算式為：x0xⅡOⅠ））AⅡ=(XⅡ-X0

cosa+（YⅡ-Y0

sinaBⅡ=(XⅡ-X0）sina+（YⅡ-Y0）cosa任意距離點(diǎn)F坐的標(biāo)（知已X1

,1Y

；X2

,2Y

)求X3

,Y3

坐標(biāo)。函角三數(shù)（出得?sinA=

Y1-Y2)/d

AX3X=

1

F+c

osAY3Y=

1

F+s

inAX2Y2X1Y1X3Y3A點(diǎn)B點(diǎn)Fd（L）在平面內(nèi)，已知A點(diǎn)，

B坐標(biāo)，亮點(diǎn)見(jiàn)離公得距式設(shè)：則：角度（點(diǎn)（點(diǎn)BAy1,y1)x2,y2)=c

os-1[(y2

-y1

)/(x2

-x1

)]BC|

AB

|=

x1

-

x2)2

+

(y1

+

y2)2AB

=

A2

+

C2（三角函數(shù)）測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一、幾何基礎(chǔ)知識(shí)?、換算表的通示常有值和弧角度制兩種。1周圓度弧13=

60o

1o=6

0′1′6=

0″

360o2=

π度弧180o=ππ180°1°=度弧1度弧

=（）=

206265′′180π測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)二、三角形（

三）形角內(nèi)和等于1180o12（

三）角面形積等于×(底×）高2Ca1角三形面的積：A

=

BC

sni

α2B（

在）三中形，斜等于兩直條邊的和平角方。3Aac

a

b2

=

2

+

2cc

a

b=2

+

2Cb

c

a=2

?

2

=(c

a)(c

a)?+Bb=2

?

2

=a

c

b?

?(c

b)(c

b)測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（

知已）：正和角度斜求長(zhǎng)，。4斜長(zhǎng)

=長(zhǎng)正除以cosa=

正增（量斜長(zhǎng)）長(zhǎng)正c

so

a3、在中，圓心角等于它所對(duì)弧的度數(shù)如圖C弧長(zhǎng)

ACB

=

R

?

a：中式R-半徑

a

-弧度ABaAM

=

RsinM2aa2==RAB

2AM

2Rsina2aaMC

=

R

?

R

cos

=

R(1?

cos)O22圓心角測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（二）三函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與測(cè)量直角坐標(biāo)系增量（坐標(biāo)正算）X2

=

X1+

D12cosaY2

=

Y1+

D12si

na測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（二）三函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與測(cè)量直角坐標(biāo)系如圖為測(cè)量坐標(biāo)系數(shù)學(xué)上三角和解析幾何中的有關(guān)公式，可以直接應(yīng)用測(cè)到量算計(jì)中來(lái)。、三函數(shù)的定義，角余切（三的角數(shù)函正弦（割余）（seca弦余）（sina分）別義定如下：）正切（cosa）tana1a割正）（cotacoseca邊對(duì)邊斜邊鄰?y12D12?x12D12?y12?x12?x21?y21D21邊鄰邊對(duì)邊斜邊鄰sin

a

====Δy

12t

oc

a==2（x2，y2）acosa

=tan

a

=sec

a

==邊斜邊對(duì)邊鄰?x21D211（x1，y1）邊斜os

cea==邊對(duì)?y21O角a三反的角函數(shù)分別用以符號(hào)示下：表arccosa余反（弦）arcsina（反正arccota（反余切）弦）arctana(正反切）測(cè)量中常用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2、坐標(biāo)正算。如圖已知x1，y1

a

D12求x2，y2。Δx12=D

12cosaΔy12=D

12sinax2=x

1+Δx12y2=y

1+Δy12、坐標(biāo)反算。如圖已知，

；

，x1

y1

x23求和y2

D12

a=?2

+

+

2

=2+2D12

x(

2

x1)

y(

2

y1)

Δx12

Δy12Δy12a=ar

ct

naΔx12坐標(biāo)反算坐標(biāo)反算時(shí)，角度的確限象定見(jiàn)下圖，表和度角從是軸Xaa順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線形成夾的角。01.02.03.04象限01北（）東02東（）南03南（）西04北（）西Δx+---+-Δy++a0~90o90o~180o

180o~270o

270o~360o坐標(biāo)反算例題：如圖所示，為場(chǎng)兩地控制點(diǎn)，欲建立以，

為主軸線的施工方AB

CDMN格網(wǎng)筑建工測(cè)程量）頁(yè)p124-125.(解測(cè)設(shè)步驟如下：（

施在）工總平面設(shè)布上方網(wǎng)位格計(jì)出算各（標(biāo)坐注控意，點(diǎn)制1與方格網(wǎng)的必須是同一建筑坐標(biāo)系，用下表示）。各點(diǎn)坐標(biāo)如X,Yxm=5

33.200xn=5

74.830xo=7

00.00xa=7

00.00ym2=

75.420yn5=

56.750yo4=

50.00ya2=

50.00xb7=

00.00xc8=

00.00xd6=

00.00yb=6

50.000yc=4

50.000yd=4

50.000型器算計(jì)數(shù)值轉(zhuǎn)換度角成驟步CASi0fx-4850P按值數(shù)輸+10COSSHITFSHITFtan-1SHITF=>DMS⊿（

度角）ANS

EXE

=坐標(biāo)反算（

）計(jì)算測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)。確定以2極位點(diǎn)角計(jì)的算式為NXΔ

NoYΔ

Noa

arctan===

°

′

′′arctan1.172553

49

32

28=XΔ2+yΔ2=164.509m(NNOo)SNONOXΔ

nmYΔ

nm?β

arctan===

°

′

′′arctan0.147976

8

252?θ

α

β

49

32

28

8

25

2

57

57

30=

+

=

°

′

′′

+

°

′

′′

=

°

′

′′（3）實(shí)測(cè)1）在N安點(diǎn)經(jīng)置緯儀，后視M正以點(diǎn)，鏡倒順時(shí)針測(cè)θ57o57′30″

角，定出NO方向線，從2）

移儀器于取中，定出N起點(diǎn)量1645.

09m出定

o時(shí)這，主線軸交點(diǎn)就測(cè)出來(lái)了。o后，點(diǎn)視OB線向方，從N點(diǎn)，時(shí)逆針測(cè)O起點(diǎn)量a=49o32′28″

順（時(shí)針測(cè)200m，出定

B點(diǎn)正，倒鏡90o定出

OC，向方從100m定，出

D點(diǎn)橫縱兩主軸條線完設(shè)畢，測(cè)a1310o27′32″

正倒鏡180o

，定出

OA方向線，從o點(diǎn)起量

100m，頂出o點(diǎn)起量

200m定出

A點(diǎn)，樣這方格網(wǎng)基線即測(cè)完。轉(zhuǎn)C點(diǎn)。再倒鏡縱橫軸線直角誤差不贏超過(guò)180o

出定，OD向方，從5″。o起點(diǎn)量坐標(biāo)的解析計(jì)算一、點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的表示方法平面角系是由兩條互相垂直坐標(biāo)軸所組成的。條線稱，與原點(diǎn)相交的兩坐標(biāo)軸值為零如下圖所示，在平面上任意一點(diǎn)至.軸直垂距離做該點(diǎn)叫的縱坐標(biāo)用Y表示。至XX軸垂直距離叫做該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用。示表Y地任意一點(diǎn)的平面位置，在圖紙上通常用（

，

）表示。圖中A

x

y150，170。）點(diǎn)坐標(biāo)AX

1=

50m，y1=

70m可，（成寫xAxayOya坐標(biāo)的解析計(jì)算二、坐標(biāo)增量?jī)牲c(diǎn)的之量，差叫縱坐標(biāo)增量表之。示差叫橫坐量增標(biāo)用，Δxx，用在圖中，若。示表ΔyA（xa

，ya

）標(biāo)坐點(diǎn)為（

，

，）A

xa

yaaAβ點(diǎn)坐標(biāo)為B（

，

，）則

點(diǎn)對(duì)B

xb

yb點(diǎn)的量增為BΔxAabyΔx

=x

a-xbΔy

=y

a-yb三、計(jì)算兩點(diǎn)間的距離ΔyB（xa

，ya

）ba從右圖中看出，用為與

相互垂，直就組成以Δx

ΔyoΔx和Δy為邊的角直三，形AB離距

L三是角形三角關(guān)系坐標(biāo)增量的斜，邊所以距點(diǎn)兩離ABL

=

?x2

+

?y2坐標(biāo)的解析計(jì)算（例

設(shè)）（

，

）A

xa5=

67.600

ya7=

63.450

,B1（，），增求量xb4=

83.260

yb7=

12.710Δ？?jī)?？間點(diǎn)的距離

？。x=

Δy=L=x解：縱坐標(biāo)增量A（xa

，ya

）aΔx

x=

a-xb5=

67.600-483.2608=

4.340mΔy

y=

a-yb7=

63.450-712.7105=

0.740m兩點(diǎn)距離βΔxabyΔyB（xa

，ya

）L=

?

2

+

?

2

=

847.3402

+

50.7402

=

98.427mxyba三角關(guān)系坐標(biāo)增量坐標(biāo)的解析計(jì)算如圖已知解：距點(diǎn)兩離斜點(diǎn)兩線ABL9=

8.427m,AB求

對(duì)點(diǎn)與橫夾軸角量增的點(diǎn)Ba5=

8o58′6″

A，？？Δy=Δx=xA（xa

，ya

）sinas=

in58o58′6″=0

.85688cosac=

os58o58′6″=0

.51551aβΔxabyΔx

=L

?sina=9

8.427×0.856888=

3.340mΔx

=L

?cosa=9

8.427×0.515515=

0.740mΔyB（xa

，ya

）ba三角關(guān)系坐標(biāo)增量坐標(biāo)的解析計(jì)算五、求兩條直線的夾角已知三點(diǎn)求，以ABC點(diǎn)位角極的C段線a=?,AC=?B,

C=?三點(diǎn)坐標(biāo)分別為：xa

=337.200

ay

=312.100xb

=310.700

by

=325.400xc=

272.300

=c

y

157.300解：

1、圖畫）根據(jù)已知，吧點(diǎn)位大致在坐標(biāo)平面上1（點(diǎn)位的下左關(guān)系是縱上，橫軸大者在右）2）過(guò)

C（點(diǎn)作極坐縱橫標(biāo)補(bǔ)這，時(shí)兩條線直間的角度關(guān)系就明朗化了。2，計(jì)算坐標(biāo)增量（1）A點(diǎn)對(duì)

C的點(diǎn)量增Δxa

c=

xa

-

xc=

337.200-272.300=64.900mΔya

c=

ya

-

cy=

312.100-157.300=154.800m（

）

對(duì)點(diǎn)2

B增的點(diǎn)量CΔxb

c=

xb

-

xc=

310.700-272.300=38.400mΔyb

c=

ya

-

cy=

325.400-157.300=168.100m坐標(biāo)的解析計(jì)算、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)（橫軸）的夾角3）

線斜對(duì)軸橫的夾角1

AC、求段線長(zhǎng)4?xac

67.900?yac

154.800θ

=

°

′

′′22

44

45ACx

ca=

?

2

+

?

2y

ca==64

.90

2

+154

.8038

.40

2

+168

.102

=2

=167

.

854

m172

.

430

mtgθ

===

0.41925BC=

?

2

+

?

2x

cb

y

bc）

線斜對(duì)軸橫的夾角2

BCβ?xbc

38.400?ybc

168.100tgβ

===

0.22844β

=

°

′

′′12

52

3）兩條線、

夾的角AC

BC3α

=

θ

?

β

=22

4

4

4

5°′′′

?12

5

2

3

9

5

2

4

2°′

′′

=

°

′′′坐標(biāo)解析計(jì)算應(yīng)用注意如下幾個(gè)問(wèn)題-

結(jié)小首要先建立縱，橫以坐標(biāo)增量為邊而組成直三角形的概念；否則了其算計(jì)它江從無(wú)下手。軸標(biāo)坐的都夾是銳計(jì)算三函角數(shù)，時(shí)線直與為邊?????軸的夾角對(duì)應(yīng)Y線直。與夾軸角應(yīng)對(duì)邊為X換算程過(guò)注意不要弄錯(cuò)。ΔyΔx計(jì)直條線夾時(shí)極稱）分先要出別算銳個(gè)兩角，然后加再相如（例

）或減相（如例）算夾出角。34在平坐面（時(shí)圖畫）意注要下點(diǎn)上關(guān)右左系，防止位相對(duì)標(biāo)置將，角兩（或變相加減）造成錯(cuò)誤。兩制控鐘任都可以意做為極角（觀站點(diǎn)）其計(jì)算結(jié)果是一的樣但，認(rèn)后定現(xiàn)場(chǎng)須時(shí)施必一這用測(cè)作為否。站則因極點(diǎn)不，同原計(jì)算數(shù)據(jù)能部使用使須必用一同坐標(biāo)值，坐筑建標(biāo)或測(cè)量施；工坐標(biāo)或坐大標(biāo)或測(cè)圖坐標(biāo)；?標(biāo)坐小兩者不能混用大換成小坐標(biāo)實(shí)例例1將）

B點(diǎn)換大成小坐標(biāo)解：設(shè)A坐小標(biāo)（點(diǎn)原）xa=00.

00，ya=00.

001、B點(diǎn)對(duì)

A的點(diǎn)量增ΔxBA=5054.

11-5009.

00=45.

11ΔyBA=4771.

14-4212.

96=558.

182、轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)（r=？

θ=）？

BA對(duì)縱軸夾角及距離SHIF

Tpol(45.

115,

58.

18)EXEr=559.

9998433θ=853.

79612963、加角度差β=853.

7961296+4.6

20183071=89.9

9979603=90.0

004、轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)（

B點(diǎn)坐?。?biāo)X=?Y,

=?SHIF

Tr

ec（55.9

9998433，90.0

00）a（后視與測(cè)站對(duì)點(diǎn)X軸角度）差小X

b

=00.

00yb小=559.

99大換成小坐標(biāo)實(shí)例例2）將

D點(diǎn)換大成小坐標(biāo)1、D對(duì)點(diǎn)

A（測(cè)站，原點(diǎn)增）量ΔxDA=525.3

46-500.9

00=24.4

46ΔyDA=475.5

03-421.2

96=54.2

072、轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)（r=？

θ=）？

DA對(duì)縱軸距離及夾角（，）SHIF

Tpol

244.

46

542.

07

EXEr=594.

6432346θ=657.

2581723、加角度差a（后視與測(cè)站對(duì)點(diǎn)X軸角度）差A(yù)C對(duì)X夾軸角β=65.7

258172+4.6

20183071=70.3

46000274、轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)（

D點(diǎn)坐小）標(biāo)

x=？，

y=？SHIF

Trec（59.4

6432346，70.3

4600027）EXE小小Xd

=200.

00Y

d

=559.

99大換成小坐標(biāo)實(shí)例例3）將

C點(diǎn)換大成小坐標(biāo)1、C點(diǎn)對(duì)

A（點(diǎn)原測(cè)、站）點(diǎn)增量ΔxCA=520.8

35-500.9

00=19.9

35ΔyCA=419.6

85-421.2

96=-1.6

112、轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)（r=？

θ=）？

CA對(duì)縱軸距離及夾角（，）SHIF

Tpol

199.

35

-16.

11

EXEr=199.

9998868θ=-46.

201830713、加角度差β=-4.6