保險(xiǎn)精算-第3章1-生命函數(shù)課件

第三章生命表基礎(chǔ)

背景通常，我們把壽險(xiǎn)公司出售的合同稱為壽險(xiǎn)保單。按壽險(xiǎn)保單的約定，保險(xiǎn)人（即壽險(xiǎn)公司）將根據(jù)被保險(xiǎn)人在約定時(shí)間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險(xiǎn)金。這種只有在特定事件發(fā)生時(shí)才給付的保險(xiǎn)金稱作條件支付。其最重要特征就是它發(fā)生的不確定性。一個(gè)人的未來生存時(shí)間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。對這個(gè)不確定性事件的研究是壽險(xiǎn)精算中最重要的工作之一。

背景通常，我們把壽險(xiǎn)公司出售的合同稱為壽險(xiǎn)保單。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡單的過程。這個(gè)過程有如下的特征：

1.存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。2.生命個(gè)體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。3.任何個(gè)體的未來生存時(shí)間都是未知的.我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡單的過程。

生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出一些解釋。下面就是生存模型可回答的例子：一個(gè)45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000個(gè)45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?如果某一45歲的男性公民，投保了一個(gè)10年的定期的某種人壽保險(xiǎn)，那么應(yīng)該向他收多少保費(fèi)?一些特定因素(如一天吸50根煙)對于45歲的男性公民的未來生存時(shí)間的影響是怎樣的?生存模型生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對死亡率的問題作生命函數(shù)生命表生命表基礎(chǔ)生命函數(shù)生命表生命表3.1.1分布函數(shù)用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)意義：新生兒在歲之前死亡的概率。密度函數(shù)新生兒的平均壽命例：表示新生兒50歲仍然生存的概率或50歲以后死亡的概率。3.1.1分布函數(shù)用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)

意義：新生兒能活過歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：例3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡開始考慮的，但實(shí)際購買保險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人往往已經(jīng)活到某個(gè)年齡歲的人，這時(shí)我們關(guān)心的是歲的人剩余壽命的分布。表示一個(gè)歲的人或已經(jīng)活到歲的人.表示未來壽命的隨機(jī)變量,即剩余壽命,簡稱余命.關(guān)于T的分布,就是時(shí),X的條件分布.（X:出生嬰兒的未來壽命.）前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；3）新生兒活過50歲的概率；4）新生兒在30歲和50歲之間死亡的概率。練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；解：1）2）3）4）解：1）2）3）4）3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概率密度函數(shù)為表示歲的人在歲之前死亡的概率.關(guān)于t求導(dǎo)3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概剩余壽命的生存函數(shù),記作：表示歲的人在歲時(shí)仍活著的概率.剩余壽命的生存函數(shù),記作：基本符號(hào)

：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：x歲的人活過t年后的u年內(nèi)死亡的概率.即x歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率基本符號(hào)：

基本符號(hào)

基本符號(hào)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記例:對某個(gè)50歲的人開始觀察,在55歲零6個(gè)月時(shí)死亡,則其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函數(shù)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記練習(xí)：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]練習(xí)：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前答案：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]答案：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前練習(xí)：已知解：1）2）3）求：練習(xí)：已知解：1）2）3）求：3.1.5死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率，簡記用生存函數(shù)的相對變化率來表示.用死力表示生存函數(shù)聯(lián)想利息力3.1.5死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率，簡記聯(lián)想用死力表示其他函數(shù)用死力表示余命的密度函數(shù)用死力表示其他函數(shù)3.1.6生存函數(shù)的解析表達(dá)式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)提出隨機(jī)變量X服從均勻分布(DeMoivre假設(shè))假設(shè)人的極限年齡為100歲,3.1.6生存函數(shù)的解析表達(dá)式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型顯然,假設(shè)和實(shí)際有很多不符的情況.

DeMoivre模型顯然,假設(shè)和實(shí)際有很多不符的情況.有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型DeMoivre模型(1729)Gompertz模型(1825)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型DeMoivre模型(1729)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型Makeham模型(1860)參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果未令人滿意。使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差.還好，精算師可以依賴另一種描述壽命分布的工具,即生命表.參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)生存函數(shù)剩余壽命分布函數(shù),記作生存函數(shù),記作取整余命總結(jié)：用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命。總結(jié)：其概率函數(shù)死亡效力其概率函數(shù)練習(xí)：已知求：解：練習(xí)：已知求：解：練習(xí)：已知，死亡服從Markeham死亡律：解：得：練習(xí)：已知，死亡服從Markeham死亡律：解：得：。。。。作業(yè)：作業(yè)：

Thankyou!

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第三章生命表基礎(chǔ)

背景通常，我們把壽險(xiǎn)公司出售的合同稱為壽險(xiǎn)保單。按壽險(xiǎn)保單的約定，保險(xiǎn)人（即壽險(xiǎn)公司）將根據(jù)被保險(xiǎn)人在約定時(shí)間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險(xiǎn)金。這種只有在特定事件發(fā)生時(shí)才給付的保險(xiǎn)金稱作條件支付。其最重要特征就是它發(fā)生的不確定性。一個(gè)人的未來生存時(shí)間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。對這個(gè)不確定性事件的研究是壽險(xiǎn)精算中最重要的工作之一。

背景通常，我們把壽險(xiǎn)公司出售的合同稱為壽險(xiǎn)保單。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡單的過程。這個(gè)過程有如下的特征：

1.存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。2.生命個(gè)體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。3.任何個(gè)體的未來生存時(shí)間都是未知的.我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡單的過程。

生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出一些解釋。下面就是生存模型可回答的例子：一個(gè)45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000個(gè)45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?如果某一45歲的男性公民，投保了一個(gè)10年的定期的某種人壽保險(xiǎn)，那么應(yīng)該向他收多少保費(fèi)?一些特定因素(如一天吸50根煙)對于45歲的男性公民的未來生存時(shí)間的影響是怎樣的?生存模型生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對死亡率的問題作生命函數(shù)生命表生命表基礎(chǔ)生命函數(shù)生命表生命表3.1.1分布函數(shù)用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)意義：新生兒在歲之前死亡的概率。密度函數(shù)新生兒的平均壽命例：表示新生兒50歲仍然生存的概率或50歲以后死亡的概率。3.1.1分布函數(shù)用隨機(jī)變量表示初生嬰兒的未來壽命3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)

意義：新生兒能活過歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：例3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡開始考慮的，但實(shí)際購買保險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人往往已經(jīng)活到某個(gè)年齡歲的人，這時(shí)我們關(guān)心的是歲的人剩余壽命的分布。表示一個(gè)歲的人或已經(jīng)活到歲的人.表示未來壽命的隨機(jī)變量,即剩余壽命,簡稱余命.關(guān)于T的分布,就是時(shí),X的條件分布.（X:出生嬰兒的未來壽命.）前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；3）新生兒活過50歲的概率；4）新生兒在30歲和50歲之間死亡的概率。練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；解：1）2）3）4）解：1）2）3）4）3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概率密度函數(shù)為表示歲的人在歲之前死亡的概率.關(guān)于t求導(dǎo)3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概剩余壽命的生存函數(shù),記作：表示歲的人在歲時(shí)仍活著的概率.剩余壽命的生存函數(shù),記作：基本符號(hào)

：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：x歲的人活過t年后的u年內(nèi)死亡的概率.即x歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率基本符號(hào)：

基本符號(hào)

基本符號(hào)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記例:對某個(gè)50歲的人開始觀察,在55歲零6個(gè)月時(shí)死亡,則其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函數(shù)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記練習(xí)：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]練習(xí)：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前答案：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]答案：用精算符號(hào)表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前練習(xí)：已知解：1）2）3）求：練習(xí)：已知解：1）2）3）求：3.1.5死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率，簡記用生存函數(shù)的相對變化率來表示.用死力表示生存函數(shù)聯(lián)想利息力3.1.5死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率，簡記聯(lián)想用死力表示其他函數(shù)用死力表示余命的密度函數(shù)用死力表示其他函數(shù)3.1.6生存函數(shù)的解析表達(dá)式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)提出隨機(jī)變量X服從均勻分布(DeMoivre假設(shè))假設(shè)人的極限年齡為1