矩陣分析階、可逆則矩

第八章

廣義逆矩陣陣方程定理：設(shè)A

是數(shù)域K

上一個(gè)s

n

矩陣，則矩總是有解。如果rank(A，并且其中P與Q

分別是s

階、n

階可逆矩陣，則矩陣方程(1)的一般解(通解)為AXA

A0QA

P

Ir

00

(1)(2)B

P1X

Q1

IrC

D(3)

其中B,C,D

分別是任意r

(s

r),(n

r)

r,(n

r)(s

r)矩陣。證明：把形如(3)的矩陣以及(2)式代入矩陣方程(1)，得到：1

Ir0

B

P1P

Ir

0Q

0

0C

D

0

0

左邊

P

Ir0

IrB

Ir

0

Q0

Q

P

Ir

0

0

CD

0

0

P

Ir

0

0

A

右邊

B

Ir

0

Q

P

Ir

0

0

0

0

所以形如(3)的每一個(gè)矩陣都是矩陣方程(1)的解。為了說明(3)是矩陣方程(1)的通解，現(xiàn)在任，則由(1)和(2)得取(1)的一個(gè)解X

可逆，所以從上式得P

Ir

0Q0QGP

Ir

0Q

P

Ir

0

0

0

0

0

0

因?yàn)镻,QIr0QGP

Ir0

Ir

0

0

0

0

0

0

0

(4)把矩陣QGP

分塊，設(shè)代入(4)式得Ir即BQGP

HC

D0

HB

Ir

0

Ir

0

0

0

CD

0

0

0

0

H

0

Ir

0

0

0

0

0

(5)由此得出，H

，代入(5)式便得出這證明了矩陣方程(1)得任意一個(gè)解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩陣方程(1)的通解。矩陣，矩陣方程定義：設(shè)A

是一個(gè)s

AXA

A

的通解稱為A

的廣義逆矩陣，簡稱為A

的廣義逆。我們用記號(hào)A

表示A

的一個(gè)廣義逆。B

P1G

Q1

IrC

D

定理(非齊次線性方程組的相容性定理)：非齊次線性方程組

AX

有解的充分必要條件是證明：必要性。設(shè)

AX

有解

X

，則充分性。設(shè)

AA

，則取

A

得A

A(

A

)

所以

A

是

AX

的解。

AA

A

。因?yàn)?/p>

A

AA

A

，所以

A

AA

A

AA

解）為定理(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：設(shè)非齊次線性方程組

AX

有解，則它的一般解(通的解：其中

A

是

A

的任意一個(gè)廣義逆。證明：任取A

的一個(gè)廣義逆A

，我們來證是方程組

AX

這表明A

是

AX

的一個(gè)解。X

A

X

A

已知

AX

有解，根據(jù)前一個(gè)定理得：

AA

A(

A

)反之，對(duì)于AX

的任意一個(gè)解

，我們要證存在

A

的一個(gè)廣義逆

A

，使得

A

。設(shè)A是s

矩陣，它的秩為r

，且0QA

P

Ir

00

其中P

與Q

分別是s

階、n

階可逆矩陣。由于

A

的廣義逆具有形式(3)，因此我們要找矩陣

B,C,D

，使B

P1

Q1

IrC

D即分別把

Q

,

P1

分塊，設(shè)B

P1Q

IrC

D

先分析

Q

與

P1

之間的關(guān)系。由已知A

，因此我們有Ir0Q

P1

00

Q

Y1

}r

2

Y

}n

r行行(6)P1

Z1

}r

2

Z

}s

r行行0

Y1

Z1

0

Y

Z

Ir

0則(6)式成為，從而。設(shè)

2

2

，因?yàn)?/p>

0，所以取

B

0,

D

0,C

(0,

,0,

k

1Y

,0,

,0)i

22所以Y1

Z1,1P

0且設(shè)

ki

0

。1Z

01

1r,k

)，Z

(k

,則Ir從而只要取則

A

0

Z1

Z1

Y1

Q0

P1

Ir0

C0

0

CZ

Y

1

2

C于是

Q1

Ir0

P10C

1

Ir100

PA

QC定理(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：數(shù)域K上n元齊次線性方程組AX

0的通解為的X

(Inn

A

A)Z其中

A1是

A

的任意給定的一個(gè)廣義逆，Z

取遍K

n

中任意列向量。證明：任取Z

K

n，我們有

A[(Inn

A A)Z

]

(

A

AA A)Z

0Z

0nn所以

X

(I

A

A)Z

是方程組

AX

0解。反之，設(shè)

是方程組AX

0

的解，要證存在我們有利用上述定理，可以得到非齊次線性方程組的另一種形式的通解。nnZ

Kn，使得

(I

A

A)Z。取Z

(Inn

A

A)

A

A

A

(

A)

0

nn所以

X

(I

A

A)Z

是方程組

AX

0的通解。推論：設(shè)數(shù)域K

是n

元非齊次線性方程組AX

有解，則它的通解為X

A

(I

A

A)Znn其中A

是A

的任意給定的一個(gè)廣義逆，Z

取遍K

n

中任意列向量。證明：我們已經(jīng)知道

A

是非齊次線性方程組

AX

的一個(gè)解，又知道(Inn

A

A)Z是導(dǎo)出組AX

0

的通解，所以nnX

A

(I解。

A

A)Z

是

AX

的通偽逆矩陣定義：設(shè)A

Cmn，若A

Cnm

，且同時(shí)有AA

A

A,

A

AA

A(

AA

)H

AA

, (

A

A)H

A

A則稱A

是A

的偽逆矩陣。上述條件稱為Moore－Penrose

方程。例：1

10

0

120設(shè)

A

，那么

A

1

0

2

，其中B

是可逆矩陣，則如果

A是一個(gè)可逆矩陣，那么A

A11設(shè)

A

1

12，那么

A

1

2O設(shè)A

BO

OB1OA

OO

下面我們

偽逆矩陣的求法定理：設(shè)ACmn

,A

BC

是A

的一個(gè)滿秩分解，則X

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH是A

的偽逆矩陣。例1

：設(shè)求

A

。解：利用滿秩分解公式可得A

21 0 1

0 2A

BC

11 0 1

2

從而A

的偽逆矩陣是(1 21)1

1

2A

CH

(CCH

)1

(BH

B)1

BH

1

1

0

(1

0

1

0

)1

2

1

1

0

11 2

0

2

1

010

10

1

1

2

11

例2

：設(shè)求A

。解：由滿秩分解公式可得于是其偽逆矩陣為1A

122

A

BC

11

12

1

(1

11)1(121)1

1

2A

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH1

12

110

110

22

1

1

10

5

1

1

10

5

1

112

1

1

A

(

AH

A)1

AH若ACrn

，則rA

AH

(

AAH

)1定理：偽逆矩陣A

唯一。證明：設(shè)

X

,Y

都是

A

的偽逆矩陣，則r推論：若

ACmr

，則X

XAX

XAYAX

X

(

AY

)H

(

AX

)H

X

(

AXAY

)H

X

(

AY

)H

XAY

XAYAY

(

XA)H

(YA)H

Y

(YAXA)H

Y

(YA)H

Y

YAY

Y。n根據(jù)此定理知，若

ACnn

，則

A

A1定理：設(shè)A

Cmn

，則(

A

)

A(

AAH

)

(

AH

)

A

(

A

)H

A(

AH

A)

A

(

AH

)

A

(

A

)HA

AH

(

AAH

)

(

AH

A)

AH證明：容易驗(yàn)證(1)，(2)，現(xiàn)在只證(3)。設(shè)

A

BC

是

A

的滿秩分解，則

AH

A

的滿秩分解可以寫成AH

A

CH

(BH

BC)其中CH

是列滿秩，BH

BC

為行滿秩，故由式X

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH

得(

AH

A)

(BH

BC)H

(BH

BCCH

BH

B)1(CCH

)1C

CH

(BH

B)H

(BH

B)1(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1C

CH

(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1C因此(

AH

A)

AH

CH

(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1CCH

BH

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH

A同理可證：AH

(

AH

A)

AHermite證明A

U

U

H

AH解：因?yàn)閞例：設(shè)

ACmn

，則

AH

A

是正定或半正定矩陣，故存在U

Cnn

，使得1

2HHnA

A

Udiag(

,

, ,

)U

UUH1

2

nH

AHU

AU

diag(

,

, ,

)

1,2

, ,r

0,r1

r2

n

0不妨設(shè)則1AH

A

U

0U

Hr1

U

HU

H1

10U

Hr

U

1

r

nr0rn其中故于是110

r

11

1

,

H

r

1

1Hr

rr

r，知令

B

U

Cnr

,C

HUH

CrnH

1

r

1由

X

C

(CCH

)1(BH

B)1

BH(

AH

A)

U

(HU

HU

)1(HU

HU

)1

HU

H1

1

1

1

1

111rU

H

U

(H

)1(H

)1

HU

H1

1

1

1

1

1

1

U

U

H

U

0nn因此由

A

AH

(

AAH

)

(

AH

A)

AH得A

(

AH

A)

AH

UU

H

AH例：已知解：的特征值的特征向量為求A

。A

21

0 1

0

2HA

A311

10,2

0,

1011

1X

(2

2T,0,

)22

2X

(

1

,

0,

1

)T2

3的特征向量為故X

3

(0,1,

0)T1

10201002

2U

0

0

1,

0

1

1

21/100

0代入

A

U

U

H

AH

得：

1

1

10A

U

U

H

AH

0

105

0

1

15練：已知練習(xí)

2

：設(shè)1

01A

0

1

0求其奇異值分解與

A

。1

01A

2