不等式證明技巧

不等式證明技巧不等式證明技巧不等式證明技巧輪換對稱不等式的證明技巧輪換對稱不等式形式優(yōu)美，證明技巧好多，但規(guī)律難尋。本文介紹利用根本不等式等號成立的條件湊項證明，只需意會添項的技巧，這種不等式完滿能夠程式化證明，供參照。一、湊項升冪法例1x,y,zR，且xyz1，求證：4x14y14z121分析：因為當xyz1時，上述不等式的“=〞成立，于是4x14y14z17。33證明：因為274x174x1，所以4x13(2x5)，同理4y13(2y5)，33774z13(2z5)，上述三式相加，并將xyz1代入化簡即得證。7二、湊項降冪法例2證明Cauchy不等式a12a22an2(aaa)212nn證明：設aaaa，那么a2a)22aa，所以n2n(a22an，12n(a)aiinniinni1i1即a2a2a2(aa2an)2。112nn三、湊項去分母法例3設x1,x2,,xn是正數(shù)，且x1x2xn1，求證：x12x22xn21xn21x1x2x2x3xn1xnxnx12分析：因為當xxx1時等號成立，于是x21(xixi1)。2ni1nxixi14證明：設xn1x1，因為xi21(xixi1)xixixi14所以nxi21nnnnxi21。i1xixi1(xixi1)xi，即xi124i1i1i1i1xi例4設a,b,cR，且abc1，求證：1c)11b)3證明：原不等式等價于a3(bb3(ca)c3(a2b2c2c2a2a2b23a(bc)b(ca)c(ab)2當a=b=c=1時等號成立，此時b2c21a(bc)，所以，b2c21a(bc)bc，同理，a(bc)4a(bc)4c2a21a)ca，a2b21cabab，上述三式相加并化簡得b(ca)c(ab)44b2c2c2a2a2b21(abbc33ab3a(bc)b(ca)c(ab)2ca)bcca22例5設角A、B、C知足cos2Acos2Bcos2C1求證：1119sin2Asin2Bsin2C2剖析：原條件等價于sin2Asin2Bsin2C2，當sinAsinBsinC2時等號成立，于是222319sin2A19sin2B3，19sin2C3上述三式相加并化簡得證，證明略。sin23，sin2BA44sin2C4四、湊項均衡系數(shù)法例6設z>0，zxy，那么x2y2z26(yzzxxy)。5分析：當x=y=z時等號成立。2證明：因為x2(z)2xz，y2(z)2yz，3(x2y2)3xy①，將上述三式相加并化簡得，222x2y21z226xy②5(xzyz)55所以，x2y2z24z22(xzyz)6xy4z(xy)2(xzyz)6xy555555即x2y2z26(yzzxxy)。5注：只有①式的系數(shù)湊成3，②式中xy的系數(shù)才能是6。25上述各樣湊項方法不是相對獨立的，能夠交替使用，但湊項的重點是在乞降時能利用條件，并能取到等號。將就技巧：一、將就常數(shù)降冪例3假定a3b32,a,bR，求證：ab2。分析：根本不等式等號成立的條件擁有暗藏的運用功能，它能在“等〞與“不等〞的互化中架設橋梁，能為解題供給信息，開拓捷徑。本題與要求證的條件是ab1，為解題供給了信息，發(fā)現(xiàn)應將就項，奇妙降次，快速促成“等〞與“不等〞的辯證轉(zhuǎn)變。證明：a3131333a313133a,b3131333b313133b。a3b3463ab,ab2.當且僅當ab1時，上述各式取“=〞，故原不等式得證。評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)辦性地使用根本不等式，簡短了然。例4假定x3y32,x,yR，求x2y25xy的最大值。解：31xx1x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3,x2y25xy1x3x31y3y351x3y377x3y37。33當且僅當ab1時，上述各式取“=〞，故x2y25xy的最大值為7。例5a,b,c0,abc1，求證：a3b3c3abbcca。證明：1a3b331ab,1b3c331bc,1c3a331ca，32a3b3c33abbcca，又abbcca33a2b2c23，32a3b3c32abbcca3,a3b3c3abbcca。當且僅當abc1時，上述各式取“=〞，故原不等式得證。二、將就常數(shù)升冪例6假定a,b,cR，且abc1，求證a5b5c543。分析：與要求證的不等式都是對于a,b,c的輪換對稱式，簡單發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是abc1，故應將就16，奇妙升次，快速促成“等〞與“不等〞的辯證轉(zhuǎn)變。33證明：1616a5,216b516b5,216c516c5，2a533333316a5b5c531abc32.a5b5c54323。1當且僅當abc時，上述各式取“=〞，故原不等式得證。3例7假定ab2,a,b,R，求證：a3b32。證明：311a1313a3,311b1313b3,3ab4a3b3。又ab2,a3b32。當且僅當ab1時，上述各式取“=〞，故原不等式得證。例8假定a,b,cR，求證a2b2c21bccaababc。2分析：注意結構特點：要求證的不等式是對于a,b,c的輪換對稱式，當abc時，等式成立。此時a2a，bc2設mbca，解得m1，所以a2應將就協(xié)助式bc為將就的需要而添，經(jīng)此一添，解題24bc4可見眉目。證明：a2bc2a2bca,b2ca2b2cab,c2ab2c2abcbc4bc4ca4ca4ab4ab4。a2b2c21abc。當且僅當abc時，上述各式取“=〞，故原不等bccaab2式得證。三、引入?yún)?shù)將就某些復雜的問題難以察看出般配的系數(shù)，但利用“等〞與“定〞的條件，成立方程組，解地待定系數(shù)，可開拓解題捷徑。例9x,y,zR，且xyz1149，求y的最小值。xz解：設0，故有xyz10。149149xyz11x4x9xyzxyzxyxz24612。當且僅當14y,9xx,z同時成立刻上yz述不等式取“=〞，即x1,y2,z3，代入xyz1，解得36，此時1236，故149的最小值為36。xyz四、引入對偶式將就依據(jù)不等式的結構，給不等式的一端般配一個與之對偶的式子，此后一同參加運算，創(chuàng)辦運用均值不等式的條件。例10設a1,a2,a1a2a3an1111,an為互不相等的正整數(shù)，求證2232n2123。12na1a2a3andn1111證明：記bn2232n2，結構對偶式a1a2a3，12an那么bndna11a21a31an121111，12a122a232a3n2an123n當且僅當aiiN,in時，等號成立。又因為a1,a2,,an為互不相等的正i整數(shù)，11111111所以dn23，所以bn123。1nn評注：本題經(jīng)過對式中的某些元素取倒數(shù)來結構對偶式。五、確定主元將就在解答多元問題時，假如不分主次來研究，問題很難解決；假如依據(jù)詳細條件和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，適合將就，可創(chuàng)辦性地使用均值不等式。1例11在ABC中，證明cosAcosBcosC。8分析：cosAcosBcosC為輪換對稱式，即A,B,C的地位同樣，所以可選一個變元為主元，將其它變元看作常量〔固定〕，減少變元個數(shù)，化陌生為熟習。證明：當cosA0時，原不等式明顯成立。當cosA0時，cosAcosBcosC1cosAcosBCcosBC21cosAcosBCcosA211cosA1cosA21cosA1cosA2282。cos(BC)1當且僅當，即ABC為正三角形時，原不等式等號成立。cosA1cosA綜上所述，原不等式成立。評注：變形后選擇A為主元，先把A看作常量，B、C看作變量，把B、C這兩個變量集中到cos(BC)，此后利用cos(BC)的最大值為1將其整體消元，最后再回到A這個主元，變中求定。真諦唯一靠譜的標準就是永久自相符合。——歐文土地是