江蘇南京市、鹽城市2022年數學高三上期末監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復數(為虛數單位),則()A. B. C. D.2.在等差數列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1803.的內角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.4.已知復數z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實數a=()A. B. C.2 D.﹣25.已知函數,當時,的取值范圍為,則實數m的取值范圍是()A. B. C. D.6.下列函數中,值域為的偶函數是()A. B. C. D.7.已知雙曲線:的焦點為,,且上點滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.58.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現落在正方形花紋上的米共有51粒,據此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1479.已知為等比數列,,,則()A.9 B.-9 C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務,要求是:任務A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種12.已知F為拋物線y2=4x的焦點,過點F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.14.如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點M,N分別在AE,CD上運動(不含端點),且AM=CN,則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時,三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.15.函數在區(qū)間內有且僅有兩個零點,則實數的取值范圍是_____.16.如圖所示,直角坐標系中網格小正方形的邊長為1,若向量、、滿足,則實數的值為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的中心在坐標原點,其短半軸長為,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.18.(12分)橢圓:的離心率為,點為橢圓上的一點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若斜率為的直線過點,且與橢圓交于兩點,為橢圓的下頂點,求證:對于任意的實數,直線的斜率之積為定值.19.(12分)已知函數.(1)設,求函數的單調區(qū)間,并證明函數有唯一零點.(2)若函數在區(qū)間上不單調,證明:.20.(12分)為了解網絡外賣的發(fā)展情況,某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市,分別調查了甲乙兩家網絡外賣平臺(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬件)頻數1223訂單:(單位:萬件)頻數402020102(1)現規(guī)定,月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”,填寫下面的列聯表,并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計(2)由頻率分布直方圖可以認為,外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(單位:萬件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表),的值已求出,約為3.64,現把頻率視為概率,解決下列問題:①從全國各城市中隨機抽取6個城市,記為外賣甲在今年3月訂單數位于區(qū)間的城市個數,求的數學期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數低于7萬件的城市開展“訂外賣,搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績,據統(tǒng)計,開展此活動后城市每月外賣訂單數將提高到平均每月9萬件的水平,現從全國各月訂單數不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動,若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元?附:①參考公式:,其中.參考數據:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.21.(12分)已知函數.當時,求不等式的解集;,,求a的取值范圍.22.(10分)已知函數,其中.(Ⅰ)若,求函數的單調區(qū)間;(Ⅱ)設.若在上恒成立,求實數的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據復數的除法法則計算,由共軛復數的概念寫出.【詳解】,,故選:B【點睛】本題主要考查了復數的除法計算,共軛復數的概念,屬于容易題.2、A【解析】

因為,可得,根據等差數列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數列前項和,解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.3、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數的恒等變形,屬于基礎題.4、D【解析】

化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據z∈R求解.【詳解】因為z=(1+2i)(1+ai)=,又因為z∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點睛】本題主要考查復數的運算及概念,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.5、C【解析】

求導分析函數在時的單調性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結果.【詳解】當時,,令,則;,則,∴函數在單調遞增,在單調遞減.∴函數在處取得極大值為,∴時,的取值范圍為,∴又當時,令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法,考查了分段函數的性質,屬于難題.6、C【解析】試題分析:A中,函數為偶函數,但,不滿足條件;B中,函數為奇函數,不滿足條件;C中,函數為偶函數且,滿足條件;D中,函數為偶函數,但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數的奇偶性;2、函數的值域.7、D【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運算能力.8、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎題9、C【解析】

根據等比數列的下標和性質可求出,便可得出等比數列的公比,再根據等比數列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數列的公比為,則當時,,∴;當時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數列的性質應用,意在考查學生的數學運算能力,屬于基礎題.10、D【解析】

由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質,直線與圓相切的性質,離心率的求法,屬于中檔題.11、B【解析】

分三種情況,任務A排在第一位時,E排在第二位;任務A排在第二位時,E排在第三位;任務A排在第三位時,E排在第四位,結合任務B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F,如果任務A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側,排列方法有,可能都在A、E的右側,排列方法有;如果任務A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側;所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點睛】本題考查了排列組合問題,考查了學生的邏輯推理能力,屬于中檔題.12、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程,根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數的關系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學生分析問題的能力,難度容易.14、32π【解析】

設ED=a,根據勾股定理的逆定理可以通過計算可以證明出CE⊥ED.AM=x,根據三棱錐的體積公式,運用基本不等式,可以求出AM的長度,最后根據球的表面積公式進行求解即可.【詳解】設ED=a,則CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.當平面ABD⊥平面BCD時,當四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值,設AM=x.則四面體C﹣EMN的體積(a﹣x)a×xax(a﹣x),當且僅當x時取等號.解得a=2.此時三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積=4πa2=32π.故答案為:32π【點睛】本題考查了基本不等式的應用,考查了球的表面積公式,考查了數學運算能力和空間想象能力.15、【解析】

對函數零點問題等價轉化,分離參數討論交點個數,數形結合求解.【詳解】由題:函數在區(qū)間內有且僅有兩個零點,,等價于函數恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【點睛】此題考查函數零點問題,根據函數零點個數求參數的取值范圍,關鍵在于對函數零點問題恰當變形,等價轉化,數形結合求解.16、【解析】

根據圖示分析出、、的坐標表示,然后根據坐標形式下向量的數量積為零計算出的取值.【詳解】由圖可知:,所以,又因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查向量的坐標表示以及坐標形式下向量的數量積運算,難度較易.已知,若,則有.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析;1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當的斜率為時和斜率不為時的情況列出相應式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點在直線上,且知的斜率必定存在,當的斜率為時,,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當的斜率不為時,設的方程為,與聯立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時,到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當且僅當等號成立,所以面積的最小值為1.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系、直線與圓的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查化歸與轉化思想,屬于難題.18、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解得,,進而得到橢圓方程;(2)設直線,代入橢圓方程,運用韋達定理和直線的斜率公式,以及點在直線上滿足直線方程,化簡整理,即可得到定值.【詳解】(1)因為,所以,①又橢圓過點,所以②由①②,解得所以橢圓的標準方程為.(2)證明設直線:,聯立得,設,則易知故所以對于任意的,直線的斜率之積為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法,注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程,考查直線方程和橢圓方程聯立,運用韋達定理和直線的斜率公式,化簡整理,考查運算能力,屬于中檔題.19、(1)為增區(qū)間;為減區(qū)間.見解析(2)見解析【解析】

(1)先求得的定義域,然后利用導數求得的單調區(qū)間,結合零點存在性定理判斷出有唯一零點.(2)求得的導函數,結合在區(qū)間上不單調,證得,通過證明,證得成立.【詳解】(1)∵函數的定義域為,由,解得為增區(qū)間;由解得為減區(qū)間.下面證明函數只有一個零點:∵,所以函數在區(qū)間內有零點,∵,函數在區(qū)間上沒有零點,故函數只有一個零點.(2)證明:函數,則當時,,不符合題意;當時,令,則,所以在上單調增函數,而,又∵區(qū)間上不單調,所以存在,使得在上有一個零點,即,所以,且,即兩邊取自然對數,得即,要證,即證,先證明:,令,則∴在上單調遞增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和零點,考查利用導數證明不等式,考查分類討論的數學思想方法,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于難題.20、(1)見解析,有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.(2)①4.911②100萬元.【解析】

(1)根據頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數量,即可完善列聯表.通過計算的觀測值,即可結合臨界值作出判斷.(2)①先根據所給數據求得樣本平均值,根據所給今年3月訂單數區(qū)間,并由及求得,.結合正態(tài)分布曲線性質可求得,再由二項分布的數學期望求法求解.②訂單數低于7萬件的城市有和兩組,根據分層抽樣的性質可確定各組抽取樣本數.分別計算出開展營銷活動與不開展營銷活動的利潤,比較即可得解.【詳解】(1)對于外賣甲:月訂單不低于13萬件的城市數量為,對于外賣乙:月訂單不低于13萬件的城市數量為.由以上數據完善列聯表如下圖,業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為,∴有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.(2)①樣本平均數,故==,,的數學期望,②由分層抽樣知,則100個城市中每月訂單數在區(qū)間內的有(個),每月訂單數在區(qū)間內的有(個),若不開展營銷活動,則一個月的利潤為(萬元),若開展營銷活動,則一個月的利潤為(萬元),這100個城市中開展營銷活動比不開展每月多盈利100萬元.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應用,完善列聯表并計算的觀測值作出判斷,分層抽樣的簡單應用,綜合性強,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】

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