導(dǎo)數(shù)-第二節(jié)求導(dǎo)法則

導(dǎo)數(shù)的四則運算法則定理

2.2

若函數(shù)

f

(

x),

g(

x)在點x

處可導(dǎo),則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點x處均可導(dǎo),且(

f

(

x)

g(

x))

f

(

x)

g(

x)(

f

(

x)

g(

x))

f

(

x)

g(

x)

f

(

x)

g(

x),

g(

x)

0(3)

g(

x)

g2

(

x)

f

(

x)

f

(

x)g(

x)

f

(

x)g(

x)2.2

求導(dǎo)法則證(2)設(shè)

y

f

(

x)g(

x),x0

xy

lim

yy

f

(

x

x)g(

x

x)

f

(

x)g(

x)

[

f

(

x

x)

f

(

x)]g(

x

x)

f

(

x)[g(

x

x)

g(

x)]

f

g(

x

x)

f

(

x)

g

x

lim

f

g(

x

x)

f

(

x)

g

x0

x由導(dǎo)數(shù)的定義及可導(dǎo)必連續(xù),有(

f

(

x)

g(

x))

f

(

x)

g(

x)

f

(

x)

g(

x)推論n

n

i

1

i

1(1)

fi

(

x)

fi(

x)(2)(Cf

(x))

Cf

(x)

(C為常數(shù))n

i

1

f1

(

x)

f2(

x)

fn

(

x)

f1

(

x)

f2

(

x)

fn(

x)(3)

fi

(

x)

f1(

x)

f2

(

x)

fn

(

x)f

(

x)f

(

x)(4)2f

(

x)

1例1

設(shè)求解f

(

x)

3x2

4sin

x

0,2f

(

x)

x3

4cos

x

sin

,

2

f

π

.π

342

π

4.

2

f故dxdy

(ex

)(sin

x

cos

x)

ex

(sin

x

cos

x)

ex

(sinx

cos

x)

ex

(cosx

sin

x)

2ex

cos

x例2

設(shè)

y

ex

(sinx

cos

x),.dxdy求解例3

求

y

tan

x

的導(dǎo)數(shù).

cos

x

sin

x

解

y

(tan

x)

(sin

x)cos

x

sin

x(cos

x)cos2

x

cos

x

sin

x

2

2cos2

x(tan

x)

cos2

x1.cos2

x1.sin2

x1(cot

x)

同理可得即例4

設(shè)解當(dāng)x

0時,當(dāng)x

0時,當(dāng)x

0時,sin

x x

0x

0f

(

x)

x,,

求

f

(

x).x

0f

(

x)

f

(0)

lim

x

0

1f

(0)

limx0x0xf

(

x)

(sin

x)

cos

x,f

(

x)

(

x)

1,

f

(0)

1x

0f

(0)

lim

f(

x)

f

(0)

lim

sin

x

0

1x0x0xcos

x,1,

x

0x

0.x

0f

(

x)

1,故2.2.2

反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2.3

設(shè)函數(shù)

y

f

(

x)在區(qū)間

x且f

(x)

0,則它的反函數(shù)x

(y)在對應(yīng)區(qū)間I

y

{y

|

y

f

(x),x

I

x

}內(nèi)可導(dǎo),且有,1f

(

x)(

y)

dx即:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).dx

1

.dydy或例5

求函數(shù)

y

arcsin

x

的導(dǎo)數(shù).解2

2y

x

sin

y在I

,

內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且(sin

y)

cos

y

0,在Ix

(1,1)內(nèi)有(arcsin

x)

1

1

1(sin

y)

cos

y1

sin

2

y

1

x2111

x2(arccos

x)

,

x

(1,1).同理可得;1

x

21(arctanx)

1

x21(arc

cot

x)

定理2.4

若函數(shù)

y

f

[g(

x)]是由y

f

(u),u

g(

x)復(fù)合而成,

且u

g(

x)在點x可導(dǎo),

y

f

(u)在點u

g(x)可導(dǎo),

則

y

f

[(

x)]在點x可導(dǎo),

且即:因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)dxdy

f

(u)

g(

x),2.2.3

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則dy

dy

du

.dx

du

dx或推廣設(shè)

y

f

(u),

u

(v),

v

(

x),解

y

ln

u,

u

sin

x.dx

du

dxu

sin

x

dy

dy

du

1

cos

x

cos

x

cot

x則復(fù)合函數(shù)

y

f

{[

(

x)]}

的導(dǎo)數(shù)為dy

dy

du

dvdx

du

dv

dx例6

求函數(shù)

y

ln

sin

x

的導(dǎo)數(shù).解dxdy

10(

x2

1)9

(

x2

1)

10(

x

2

1)9

2x

20x(

x2

1)9解

因例7

求函數(shù)

y

(

x2

1)10

的導(dǎo)數(shù).y

x

e

ln

x

,x

y

e

ln

x

(

ln

x)

e

ln

x

1

x1(

x

)

x1

.例8

求函數(shù)

y

x

,(

x

0,

R)

的導(dǎo)數(shù).即(x

2)

的導(dǎo)數(shù).3

x

2x2

1例9

求函數(shù)

y

ln解

y

1

ln(

x

2

1)

1

ln(

x

2),21

2

x

2

1x

2

y

1

3(

x

2)

13(

x

2)1x

231

xx

1

解

y

e

x

sinsin

1

x

x

1

1

e

x

cos

sin

11x1x2sin

1e

x

cos

sin1x

的導(dǎo)數(shù).例10

求函數(shù)

y

e解解例11

求函數(shù)

y

sin

nx

sinn

x,

(n為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).y

cos

nx

nsinn

x

sin

nx

nsinn1

x

cos

x

nsinn1

x

sin(n

1)xy

(

sin(e

x

))

excos(e

x

)1

ex

tan(e

x

)例12

求函數(shù)

y

lncos(e

x

)

的導(dǎo)數(shù).解x

2

x

x

y

1

x

x

x

x

x

211

2

x

1

1

2

x

x

x

1解y

f

(sin

xn

)

cos

xn

nx

n1例13

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例14

求函數(shù)

y

f

(sin

xn

)

的導(dǎo)數(shù),其中f

(u)可導(dǎo).y

x

x

x導(dǎo)數(shù)基本公式:(1)

(C

)

0(2)

(

x

)

x

1(3)(ax

)

ax

ln

a,特別地,(ex

)

exx

ln

a1a(4)

(log

x)

x,

特別地,

(ln

x)

1cos2

x(7)

(tan

x)

1sin2

x(8)

(cot

x)

1(5)

(sin

x)

cos

x(6)

(cos

x)

sin

x說明:任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出;注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).1

x2(11)

(arctan

x)

1

x2(12)(arc

cot

x)

11

x21(9)

(arcsin

x)

1

x211(10)

(arccos

x)

例15

冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

設(shè)

f

(

x)

u(

x)v(

x

)

(u(

x)

0),解

因求f

(x).v'(

x)

ln

u(

x)

u(

x)u(

x)v(

x)u'(

x)v(

x

)f

(

x)

u(

x)v'(

x)ln

u(

x)

f

(

x)

eu(

x)v(

x)u'(

x)v(

x

)lnu(

x

)問題:變速直線運動的加速度.設(shè)物體的位移方程為s

f

(t),

則t

時刻的瞬時a(t)

v(t)

[

f

(t)].2.2.4

高階導(dǎo)數(shù)變化率,速度為v(t)

f

(t).因加速度a

是速度v

對時間

t

的定義2.2

設(shè)函數(shù)f

(

x)在區(qū)間I

上可導(dǎo),

若導(dǎo)數(shù)f

(x)在區(qū)間I

上仍可導(dǎo),xf

(x

x)

f

(x)

存在,(

f

(

x))

limx0即x

I

,稱(f

(x))為f

(x)則稱f

(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo),的二階導(dǎo)數(shù),記作f

(

x),

y

,2dx

dx2d2

y

d2

f

(

x)或

.(n)

(n)dn

y

dn

f

(

x)f

(

x),

y,

或

.dxn

dxn三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),f

(

x),

y

,

.dx3

d3

y二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(4)

(4)d4

yf

(

x),

y

,

.dx4一般地,函數(shù)f

(x)的(n

1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為函數(shù)f

(x)的n階導(dǎo)數(shù),記作相應(yīng)地,f

(x)稱二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).f

(x)本身稱為f

(x)的零階導(dǎo)數(shù),規(guī)定:

f

(0)(

x)

f

(

x).求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地對函數(shù)求導(dǎo)數(shù),仍應(yīng)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法計算高階導(dǎo)數(shù)．高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.直接法:

由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例16

設(shè)

y

f

(x)

arctan

x,

求

f

(0),

f

(0).解2

,1

x1y

y

211

x(1

x2

)2

2

x

2xy

2

2(1

x

)2x

2

)3(1

2(3

x

1)x02

2(1

x

)

2x

f

(0)

x02(3

x2

1)f

(0)

(1

x2

)3

0;

2例17

設(shè)

y

x

(

R),

求y(n)

.解y

x

1y

(x

1

)

(

1)x

2y

(

(

1)x

2

)

(

1)(

2)x

3(n

1)y(n)

(

1)(

n

1)x

n

,若

為自

(

xn

)(

n

)

n!,y(

n

)y(

n1)

(n!)

0例18

設(shè)

y

ln(1

x),

求y(n)

.解1

xy

1y

(1)(1

x)2y(n)

(1)(2)((n

1))(1

x)ny(n)

(1)n1

(n

1)!

.

(n

1, 0!

1)(1

x)ny

(1)(2)(1

x)3y(4)

(1)(2)(3)(1

x)4

,

(1

x)1

,例19

設(shè)

y

sin

x,

求y(n)

.解y

cos

x

2

sin

x

y

cos

x

2

2

sin

x

sin

x

2

2

2y

cos

x

2

2

sin

x

3

,22

(sin

x)(

n)

sin

x

n

2

(cos

x)(n)

cos

x

n

.同理可得公式nnC uv

.k

(nk

)

(k

)k

02.高階導(dǎo)數(shù)的運算法則設(shè)函數(shù)u

和v

具有n

階導(dǎo)數(shù),則(u

v)(n)

u(n)

v(n)(Cu)(n)

Cu(n)(u

v)(n)

u(

n)v

nu(

n1)v

n(n

1)

u(

n2)v

2!()n)((n)

kkk!u v

uv

n

n

n

k

11)()(解設(shè)u

e2

x

,v

x2

,y(20)

(e2

x

)(20)

x2

20(e2

x

)(19)

(

x2

)x

2

220e2

x

(

x2

20x

95)(

n)(u

v)

例20

設(shè)

y

x2e2

x

,

求

y(20)

.nk

0nvC

uk

(

nk

)

(

k

)由

公式2!

20(20

1)

(e2

x

)(18)

(

x2

)

03.間接法::利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,求出n階導(dǎo)數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式(4)

(

x

)(n)

(

1)(

n

1)x

nxn(n

1)!(5)

(lnx)(n)

(1)n1

,2

n(2)

(sin

kx)(

n)

k

sin

kx

n

2

n(3)

(cos

kx)(

n)

k

cos

kx

n

(ax

)(n)

ax

lnn

a

(a

0)(1)

(ekx

)(n)

knekx

,

(1)n

1

(

n)xn1n!

x

,求y(5).1x2

1例21

設(shè)

y解x

1

1

1

1

1 2

x

1

y

1x2(1)5

5!

1

(1)5

5!6(

x

1)6(

x

1)(5)

y

21

1

606(

x

1)6(

x

1)1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假設(shè)y是由方程F(x,y)

0所確定的x的可導(dǎo)函數(shù),我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導(dǎo).而是方程兩邊對

x

求導(dǎo),

等式仍然成立,將

y視為x

的函數(shù),

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.2.2.5

隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例22

求方程

xy

ex

e

y

0

所確定的隱函數(shù)解dxy

x

dy

ex

e

y

dy

0dx由原方程知x

0,y

0,解得dy

ex

y,dx

x

e

yx0y0x0dx

dy

ex

yx

e

y

1方程兩邊對

x

求導(dǎo),dx

x0dxy的導(dǎo)數(shù)dy

,

dy

.例23

設(shè)曲線C

的方程為

x3

y3

3xy,求過C上

2

2

點

3

,3

的切線方程,并證明曲線C

在該點的解3x2

3

y2

y

3

y

3xyy

x2

,

2

2

2y

x

3

3

1,

2

2

3

3

y所求切線方程為22

y

3

x

3

,即x

y

3

0.y

3

x

3

,即y

x,顯然通過原點.2

2法線方程為法線通過原點.方程兩邊對

x

求導(dǎo),例24

設(shè)x4

xy

y4

1,

求y

在點(0,1)處的值.解(1)方程兩邊對

x

求導(dǎo),4x3

y

xy

4

y3

y

0代入x

0,y

1,方程(1)兩邊再對x

求導(dǎo),得12x2

2

y

xy

12

y2

(

y)2

4

y3

y

04x0y1代入x

0,

y

1,

y

1

得16

1

.x0y1yy

1y

x

0得觀察函數(shù)(

x

1)3

x

1sinx,

y

x

.y

(

x

4)2

ex方法:

先在等式兩邊取對數(shù),

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)

u(x)v(x

)的情形.對數(shù)求導(dǎo)法:解3(

x

1)

x

4

11

2

(

x

4)2

ex

x

1(

x

1)3

x

1

1

y

ln

y

ln(

x

1)

1

ln(

x

1)

2

ln(

x

4)

x3上式兩邊對x

求導(dǎo),21

1

11

y

x

1

3(

x

1)

x

4y(

x

4)2

ex等式兩邊取對數(shù),得例25

設(shè)

y

(

x

1)

x

13,求y

.例26

設(shè)

y

xsinx

(

x

0),

求y.解

等式兩邊取對數(shù)得ln

y

sin

x

ln

x上式兩邊對x

求導(dǎo),1

y

cos

x

ln

x

sin

x

1y

xcos

x

ln

x

y

xxsin

xsin