2023學年2022版 第2章 習題2

2.2.3向量的數(shù)乘1.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義.重點2.理解兩個向量共線的含義，掌握向量共線定理.3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.[基礎·初探]教材整理1向量的數(shù)乘定義閱讀教材P68第一、二、三個自然段，完成下列問題.一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當a＝0時，λa＝0；當λ＝0時，λa＝0.實數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)λa＝0，則λ＝0.()(2)對于非零向量a，向量－3a與向量3(3)對于非零向量a，向量－6a的模是向量3【解析】(1)若λa＝0，則λ＝0或a＝0，(1)錯誤.(2)正確.(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2向量數(shù)乘的運算律閱讀教材P68倒數(shù)第2自然段，完成下列問題.1.λ(μa)＝(λμ)a；2.(λ＋μ)a＝λa＋μa；3.λ(a＋b)＝λa＋λb.×(－4a【解析】5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.【答案】－20a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則a＋b＝________.【解析】a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.【答案】4e1教材整理3向量共線定理閱讀教材P70，完成下列問題.如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.1.已知e1和e2不共線，則下列向量a，b共線的序號是________.①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.【解析】∵e1與e2不共線，∴①不正確；對于②有b＝－2a；對于③有a＝4b；④不正確.【答案】②③2.已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝3(a－b).則eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BD,\s\up15(→))________.【解析】∵eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(BD,\s\up15(→))與eq\o(AB,\s\up15(→))共線.【答案】共線[小組合作型]向量數(shù)乘的基本運算計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a))))；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c【精彩點撥】利用向量線性運算的法則化簡，先去括號，再將共線向量合并.【自主解答】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(3,2)a＋b－eq\f(1,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＝6a＋2b.向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”、“提取公因式”，但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解.[再練一題]1.若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝________.【解析】原式＝eq\f(1,3)a－b－3a－2b＋2b－a＝－eq\f(11,3)a－b＝－eq\f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝(－11－5)i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(44,3)－4))j＝－16i＋eq\f(32,3)j.【答案】－16i＋eq\f(32,3)j向量的共線問題已知非零向量e1，e2不共線.(1)如果eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up15(→))＝3(e1－e2)，求證：A，B，D三點共線.(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值.【精彩點撥】對于(1)，欲證A，B，D共線，只需證存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))即可；對于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2).【自主解答】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))共線，且有公共點B，∴A，B，D三點共線.(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1.1.證明三點共線，通常轉化為證明這三點構成的其中兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據.2.若A，B，C三點共線，則向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))在同一直線上，因此必定存在實數(shù)，使得其中兩個向量之間存在線性關系.而向量共線定理是實現(xiàn)線性關系的依據.[再練一題]2.設e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up15(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up15(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，求k的值.【解】eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因為A，B，D三點共線，故存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(BD,\s\up15(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝－4λ，))解得k＝－8，所以k＝－8.[探究共研型]向量共線的有關結論探究1已知O為平面ABC內任一點，若A，B，C三點共線，是否存在α，β∈R，使eq\o(OC,\s\up15(→))＝αOeq\o(A,\s\up15(→))＋βeq\o(OB,\s\up15(→))，其中α＋β＝1?【提示】存在，因A，B，C三點共線，則存在λ∈R，使eq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up15(→))＋λeq\o(OB,\s\up15(→)).令1－λ＝α，λ＝β，則eq\o(OC,\s\up15(→))＝αeq\o(OA,\s\up15(→))＋βeq\o(OB,\s\up15(→))，且α＋β＝1.探究2已知O為平面ABC內任一點，若存在α，β∈R，使eq\o(OC,\s\up15(→))＝αeq\o(OA,\s\up15(→))＋βeq\o(OB,\s\up15(→))，α＋β＝1，那么A，B，C三點是否共線？【提示】共線，因為存在α，β∈R，使eq\o(OC,\s\up15(→))＝αeq\o(OA,\s\up15(→))＋βeq\o(OB,\s\up15(→))，且α＋β＝1，∴β＝1－α，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝αeq\o(OA,\s\up15(→))＋(1－α)eq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝αeq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))－αeq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝α(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝αeq\o(BA,\s\up15(→))，∴A，B，C三點共線.如圖2-2-20所示，已知△OAB中，點C是以A為對稱中心的B點的對稱點，D是把eq\o(OB,\s\up15(→))分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于E，設eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b.圖2-2-20(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，求實數(shù)λ的值.【導學號：48582086】【精彩點撥】由已知得A為BC中點，D為OB的三等分點，由向量的線性運算法則可解第(1)問，第(2)問可由向量共線定理解決.【自主解答】(1)依題意，A是BC中點，∴2eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，即eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)若eq\o(OE,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，則eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up15(→))與eq\o(DC,\s\up15(→))共線，∴存在實數(shù)k，使eq\o(CE,\s\up15(→))＝keq\o(DC,\s\up15(→))，∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).用已知向量表示未知向量的求解思路：1先結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；2然后結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理，用已知向量表示未知向量；3求解過程體現(xiàn)了數(shù)學上的化歸思想.[再練一題]3.如圖2-2-21，在?OADB中，設eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→)).試用a，b表示eq\o(OM,\s\up15(→))，eq\o(ON,\s\up15(→))及eq\o(MN,\s\up15(→)).圖2-2-21【解】由題意知，在?OADB中，eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b.則eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))－eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.1.已知m∈R，下列說法正確的是________.①若ma＝0，則必有a＝0；②若m≠0，a≠0，則ma與a方向相同；③m≠0，a≠0，則|ma|＝m|a|；④若m≠0，a≠0，則ma與a共線.【解析】①錯.若ma＝0，則m＝0或a＝0.②錯.m＞0時，ma與a同向，m＜0時，ma與a反向.③錯.∵|ma|＝|m||a|，∴m＞0時，|ma|＝m|a|；m＜0時|ma|＝－m|a|.【答案】④2.△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up15(→))＝________(用a，b表示).圖2-2-22【解析】eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up1