T材料力學(xué)課件8

第8章能量方法8-1外力功與桿件的變形能一、外力功與彈性應(yīng)變能1.外力功W——在彈性體受力變形過程中，外力在沿其作用方向的位移上做的功。2.彈性應(yīng)變能（Dlasticstrainenergy）或彈性變形能（Dlasticdeformationenergy）U——彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應(yīng)變能。三、能量方法利用上述功和能的概念來求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法，統(tǒng)稱為能量法。能量法的應(yīng)用很廣泛，它不僅適用于線性彈件問題，而且還適用于非線性彈性體。它也是用有限元法求解固體力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。二、功能原理（Principleforworkandenergy）在彈性體受力變形過程中，不考慮動力效應(yīng)，能量損耗，則外力所作的功，就全部轉(zhuǎn)換為彈性體內(nèi)部積蓄的應(yīng)變能，其表達(dá)式如下：U=W四、桿件的應(yīng)變能1.比能2.應(yīng)變能(1)微應(yīng)變能du=udV(2)應(yīng)變能（一）、拉壓桿的應(yīng)變能應(yīng)變能是一種體積分布能量。全桿的應(yīng)變能，等于所有桿段應(yīng)變能之和或者等于所有微段應(yīng)變能之和。(3)等截面且軸力為常數(shù)的桿段的應(yīng)變能(4)分段等截面且各段軸力為常數(shù)的桿的應(yīng)變能例求u，U。注：應(yīng)變能(比能)的計算一般不能用疊加原理。(二)、剪切變形應(yīng)變能和比能如圖示的純剪切單元體，其應(yīng)變能和比能是：單元體微元功等于微變形能微比能剪切比能剪切應(yīng)變能(三)、圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能例：求圖示扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能。解：軸的兩段扭矩均為常量，易于求出該扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能如下：(四)、平面彎曲時的應(yīng)變能推導(dǎo)廣義胡克定律時已指出：正應(yīng)力不會引起剪應(yīng)變；剪應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變?？芍?，正應(yīng)力不會在剪應(yīng)變上做功；剪應(yīng)力不會在線應(yīng)變上做功。故，梁內(nèi)任意一點(diǎn)的比能等于正應(yīng)力對應(yīng)的比能與剪應(yīng)力對應(yīng)的比能之和。梁的應(yīng)變能k——與截面形狀有關(guān)的剪應(yīng)力不均勻分布修正系數(shù)。如截面為矩形k=1.2，圓形k=10/9，薄壁圓環(huán)形k=2，共字型k=A/AW。梁的應(yīng)變能實(shí)踐和記算表明：對于高跨比較小的梁，剪應(yīng)力影響項(xiàng)較小，一般可以略去。梁彎曲變形時的應(yīng)變能可用下式計算。(五)、組組合合變變形形時時的的應(yīng)應(yīng)變變能能根據(jù)據(jù)實(shí)實(shí)際際情情況況，，求求出出橫橫截截面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的正正應(yīng)應(yīng)力力及及剪剪應(yīng)應(yīng)力力。。比能能：：應(yīng)變變能能：：組合合變變形形時時的的應(yīng)應(yīng)變變能能最后后一一項(xiàng)項(xiàng)是是關(guān)關(guān)于于z的對對稱稱積積分分，，結(jié)結(jié)果果為為零零。。組合合變變形形時時的的應(yīng)應(yīng)變變能能當(dāng)不不考考慮慮彎彎曲曲剪剪切切影影響響時時，，有有可見見，，當(dāng)軸軸y為對對稱稱軸軸,即組組合合變變形形中中的的彎彎曲曲變變形形為為對對稱稱彎彎曲曲時時，，組合變形時的的應(yīng)變能等于于與截面上各各獨(dú)立內(nèi)力對對應(yīng)的基本變變形應(yīng)變能的的總和。注：(1)桿件應(yīng)變能的的取值與加載次序無關(guān)；(2)應(yīng)變能都是內(nèi)內(nèi)力(荷載)的二次函數(shù)，，因此，一般不能用力的獨(dú)立作作用原理進(jìn)行行疊加計算。(3)在荷載產(chǎn)生的的內(nèi)力或位移移屬于不同類類型時，可以以疊加。例：試用下述三種種方式，計算算圖示簡支梁梁的應(yīng)變能。。(1)同時由零開始始逐漸加載至至P、M；(2)先加載至P，再加載至M；(3)先加載至M，再加載至P。應(yīng)變能只與荷荷載的最終值值有關(guān)，而與與加載的中間間過程或加載載的先后次序序無關(guān)。利用功能原理理計算位移U=W由功能原理當(dāng)結(jié)構(gòu)上只作作用一個作功功的廣義荷載載P時，利用功能能原理，可方方便地求得與與P對應(yīng)的廣義位位移d。d=2U/P例：8—2、卡氏定理若彈性體上作作用有n個已知的廣義義力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同作用用下，每個廣廣義力作用點(diǎn)點(diǎn)沿各自廣義義力方向上的的廣義位移分分別為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性性體體由由廣廣義義力力表表示示的的變變形形能能U對某個個廣義義力Pi的偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，，等于于與Pi相應(yīng)的的廣義義位移移Di。證明彈性體體的應(yīng)應(yīng)變能能只與與荷載載的最最終值值有關(guān)關(guān)，而而與加加載的的中間間過程程或加加載的的先后后次序序無關(guān)關(guān)。于于是，，總變變形能能為略去高高階微微量，，得卡氏定定理的的應(yīng)用用由得1.拉壓桿桿件系系統(tǒng)的的位移移計算算對于拉拉壓桿桿件系系統(tǒng)，，能夠夠?qū)懗龀鋈缦孪鹿绞剑?.圓軸扭扭轉(zhuǎn)時時的位位移計計算3.平面彎彎曲梁梁的位位移計計算4.組合變變形時時的位位移計計算卡氏定定理的的應(yīng)用用說明（1）力和和位移移均有有廣義義性；；（2）注意意所求求位移移有無無相應(yīng)應(yīng)的廣廣義力力，有有則直直接對對它求求偏導(dǎo)，無無則需需要虛虛設(shè)一一個相相應(yīng)的的廣義義力；；（3）要注注意所所求位位移相相應(yīng)的的廣義義力，，是否否與所所求位位移不不對應(yīng)的其其它荷荷載，，具有有相同同的名名稱。。如果果是，，需要要先將將與所求求位移移相應(yīng)應(yīng)的廣廣義力力換個個名稱稱，以以避免免求偏偏導(dǎo)發(fā)發(fā)生概念念上的的錯誤誤；(4）在運(yùn)運(yùn)算時時，一一般不不要將將體系系的應(yīng)應(yīng)變能能求出出來后后再求求偏導(dǎo)數(shù)，，應(yīng)當(dāng)當(dāng)先求求偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)再再進(jìn)行行積分分運(yùn)算算（簡簡稱““先求求導(dǎo)后積分”））；（5）區(qū)分不同同的荷載類類型，分別別應(yīng)用有關(guān)關(guān)公式，還還需要弄清楚，寫寫內(nèi)力方程程需要將桿桿件（或簡簡單結(jié)構(gòu)））分為幾段，來進(jìn)進(jìn)行正確的的描述（應(yīng)應(yīng)變能的計計算同樣需需要分為幾段來計計算）。(6)廣義力與廣廣義位移間間的相應(yīng)關(guān)關(guān)系：一個力相應(yīng)的位移移為該力作作用點(diǎn)沿力力矢正向的的線位移；；一個力偶相應(yīng)的位移移為作用有有該力偶的的平面沿力力偶轉(zhuǎn)向的的角位移；；一對力相應(yīng)的位移移為該對力力兩作用點(diǎn)點(diǎn)沿力矢正正向的相對對線位移；；一對力偶相應(yīng)的位移移為作用有有該對力偶偶的兩平面面間沿力偶偶轉(zhuǎn)向的相相對角位移移。分別別如如圖圖a、b、c、d所示示。。例：：8-4功的的互互等等定定理理和和位位移移互互等等定定理理一、、功功的的互互等等定定理理———貝蒂蒂—瑞利利互互等等定定理理由意意大大利利的的E.Betti于1872年和和英英國國的的Rayleigh于1873年分分別別獨(dú)獨(dú)立立提提出出。。同一根梁，分分別處于圖a和圖b的荷載作用狀狀態(tài)，圖中所所示的位移有有廣義力引起起自己作用點(diǎn)點(diǎn)的位移，也也有一個另一一力作用點(diǎn)的的位移。功的互等定理理功的互等定理理：如果將上述兩兩種荷載同時時作用在該梁梁上，如圖示示，兩種荷載載不同的施加加次序，都將將得出相同的的應(yīng)變能，于于是有：功的互等定理理如在某線彈性性體上作用兩兩組廣義力，，則第一組力力在第二組力力引起的廣義義位移上所做做的功等于第第二組力在第第一組力引起起的廣義位移移上所做的功功?；騣狀態(tài)的力在k狀態(tài)的位移上上所做的功等等于k狀態(tài)的力在i狀態(tài)的位移上上所做的功。。Wik=Wki或Pi.Dik=Pk.Dki二、位移互等定理——麥克斯韋位移移互等定理由英國J.C.Maxwell于1864年提出。由功的互等定理理知：如果廣義力數(shù)數(shù)值上相等，，Pi=Pk則Dik=Dki如在某線彈性性體上作用兩兩個數(shù)值相等等的廣義力Pi和Pk，則Pi單獨(dú)作用下引起Pk作用點(diǎn)沿Pk方向的廣義位位移在數(shù)值上上等于Pk單獨(dú)作用下引起Pi作用點(diǎn)沿Pi方向的廣義位位移。8-5余能與余能原原理一、余能概念念考察圖示非線線性彈性材料料的軸向拉桿桿，荷載伸長長關(guān)系曲線和和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系曲線。顯顯然，荷載與與位移、應(yīng)力力與應(yīng)變之間間不再服從線線性彈性關(guān)系系。由于與具有相同的量綱。且余能概念注意：桿件的余能或或余比能沒有有明確的物理理意義，但有有明確的幾何何意義，就是是曲線上方的的面積。即在和數(shù)PD下，W*為W的余數(shù)。因此此習(xí)慣上稱W*為余功。類似地有稱為余(應(yīng)變)能稱為余比能余能概念應(yīng)變能通常表示為廣義位移的函數(shù)。余能通常表示為廣義力的函數(shù)。特殊情形：線彈性材料，，P-D和s-e曲線為為一斜斜直線線，是是矩形形PD和se的對角角線，，故：：即線彈性性體的的余能能（或或一點(diǎn)點(diǎn)處的的余比比能））與應(yīng)應(yīng)變能能（或或一點(diǎn)點(diǎn)處的的比能能）相相等。三、卡卡氏第第二定定理1.克羅蒂蒂-恩蓋塞塞定理理——適用于于線彈彈性體體與非非線彈彈性體體由意大大利工工程師師F.Crotti于1878年、德德國工工程師師F.Engesser于1889年分別別提出出。若彈性性體上上作用用有n個已知知的廣廣義力力P1、P2、P3、…、Pn，在其共共同作作用下下，每每個廣廣義力力作用用點(diǎn)沿沿各自自廣義義力方方向上上的廣廣義位位移分分別為為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性體體由廣廣義力力表示示的余余能U*對某個個廣義義力Pi的偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，，等于于與Pi相應(yīng)的的廣義義位移移Di。證明仿仿前。。2、卡氏氏第一一定理理由意大大利工工程師師A.Castiliano于1873年提出出。若彈性體體上作用用有n個已知的的廣義力力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同同作用下下，每個個廣義力力作用點(diǎn)點(diǎn)沿各自自廣義力力方向上上的廣義義位移分分別為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性體由由廣義位位移表示示的應(yīng)變變能U對某個廣廣義位移移Di的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，等于于與Di相應(yīng)的廣廣義力Pi。證明：——適用于線線彈性體體與非線線彈性體體，求彈彈性體