配套課件-概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導及習題解析-馬繼豐

第1章隨機事件與概率第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析第三節(jié)典型例題第四節(jié)習題全解第1章隨機事件與概率第一節(jié)知識梳理第一節(jié)知識梳理第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析

1.隨機事件

1)隨機試驗

定義：在一定條件下，對某隨機現(xiàn)象的一次觀察或測量稱為隨機試驗（簡稱試驗），記為E。第二節(jié)重點解析

1.隨機事隨機試驗具有以下三條性質(zhì)：

（1）可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行。

（2）可觀察性：每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果。

（3）不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)。隨機試驗具有以下三條性質(zhì)：

（1）可重復性：

2)樣本空間

定義：設E是一試驗，其所有可能出現(xiàn)的結果組成的集合稱為試驗E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，也就是隨機試驗的直接結果，稱為樣本點。2)樣本空間

定義：設E是一試驗，其所有可

3)隨機事件

定義：隨機試驗的若干個結果組成的集合稱為隨機事件（簡稱事件），常用大寫字母A、B、C等表示。只含一個試驗結果的事件稱為基本事件。3)隨機事件

定義：隨機試驗的若干個結果組成的

4)事件間的關系與運算

（1）事件的包含：如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B，記做A

B。

（2）事件的相等:如果事件A包含于事件B，同時事件B也包含于事件A,即A

B且B

A，則稱事件A與事件B相等，記做A=B。

（3）事件的和:“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的和，記做A∪B，當A與B不同時發(fā)生時，也可記做A+B。4)事件間的關系與運算

（1）事件的包含：如果（4）事件的積：“事件A與事件B同時發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的積，記做A∩B或AB。

（5）事件的差：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的差，記做A－B。

（6）互不相容事件：若事件A與事件B不可能同時發(fā)生，即AB=，則稱事件A與事件B互不相容,也稱為互斥。

（7）對立事件:“事件A不發(fā)生”的事件稱為事件A的對立事件，記做A。事件A與事件B互為對立事件當且僅當AB=，A+B=S。（4）事件的積：“事件A與事件B同時發(fā)生”的事件

（8）事件運算滿足的定律:設A、B、C為樣本空間S中的事件，則有（8）事件運算滿足的定律:設A、B、C

2.概率的統(tǒng)計定義

1)頻率

定義：設隨機事件A在n次重復試驗中發(fā)生了m次，則稱比值為事件A在n次重復試驗中發(fā)生的頻率。2.概率的統(tǒng)計定義

1)頻率

定義：設

2)概率的統(tǒng)計定義

定義：設有隨機試驗E，若當試驗的次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動，而且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動幅度越來越小，則稱數(shù)p為事件A的概率，記為P(A)=p。概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義。2)概率的統(tǒng)計定義

定義：設有隨機試驗E，若

3)概率的公理化定義

定義：設隨機試驗E的樣本空間為S,若對于E的每一個事件A都有一個實數(shù)P(A)與之對應，且P(A)滿足下列三個條件：

(1)非負性：P(A)≥0;

(2)規(guī)范性：P(S)=1;

(3)可列可加性：對于兩兩互不相容的事件A1,A2,…,A3,…,有

則稱P(A)為事件A的概率。

概率的這種定義稱為概率的公理化定義。3)概率的公理化定義

定義：設隨機試驗E的樣本空4)概率的性質(zhì)4)概率的性質(zhì)

3.古典概型

1)古典概型（等可能概型）

定義：在古典型試驗中，隨機事件A發(fā)生的概率定義為

。其中，n為S中包含的基本事件總數(shù)，m為事件A中包含的基本事件數(shù)。由關系式計算事件概率的數(shù)學模型稱為古典概型。3.古典概型

1)古典概型（等可能概型）

2)幾何概型

定義：如果一個隨機試驗E具有以下兩個特點：

（1）樣本空間S是一個大小可以計量的幾何區(qū)域（如線段、平面、立體）；

（2）向區(qū)域S內(nèi)任意投一點，該點落在區(qū)域內(nèi)任意點處都是“等可能的”,那么，隨機點落在區(qū)域A的概率為

由上式計算事件概率的數(shù)學模型稱為幾何概型。2)幾何概型

定義：如果一個隨機試驗E具有以下

4.條件概率

1)條件概率

定義：設A與B是兩個隨機事件，其中P(B)>0，規(guī)定

為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。4.條件概率

1)條件概率

定義：設A

2)乘法定理

定理：設P(A)>0，P(B)>0，則有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)2)乘法定理

定理：設P(A)>0，P(B)

3)全概率公式

定理：設S為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為一組事件，且滿足下列條件：

（1）B1，B2，…，Bn兩兩互斥，且；

（2）P(Bi)＞0(i=1，2，…，n),則對S中的任意一個事件

A都有3)全概率公式

定理：設S為隨機試驗E的樣本空

4)貝葉斯公式

定理：設S為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn

為樣本空間S的一個劃分，且P(A)＞0，P(Bi)＞0(i=1，2，…，n)，則有4)貝葉斯公式

定理：設S為隨機試驗E的樣本空定義：設A、

B是隨機試驗E的兩個事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。

定理：若事件A、B相互獨立，且P(B)＞0，則P(A|B)=P(A)。定義：設A、B是隨機試驗E的兩個事件，若滿足P(A第三節(jié)典型例題

【例1.1】一個工人生產(chǎn)了3個零件，以事件Ai來表示他生產(chǎn)的i個零件是合格品(i=1，2，3)，試用Ai(i=1，2，3)表示下列事件：

(1)只有第一個零件是合格品(B1)；

(2)三個零件中只有一個合格品(B2)；

(3)第一個是合格品，后兩個零件中至少有一個是次品(B3)；(4)三個零件中最多只有兩個合格品(B4)；

(5)三個零件都是次品(B5)；

(6)三個零件中最多有一個次品(B6)。第三節(jié)典型例題

【例1.1】解（1）B1等價于“第一個零件是合格品，同時第二、三個都是次品”，故有

（2）B2等價于“第一個是合格品而第二、三個是次品”或“第二個是合格品而第一、三個是次品”或“第三個是合格品而第一、二個是次品”,故有解（1）B1等價于“第一個零件是合格品，同時（3）

（4）方法一:B4的逆事件是“三個零件都是合格品”,

故有

方法二：與B4等價的事件是“三個零件中至少有一個次品”，故有（3）

（4）方法一:B4的逆事件是“三（5）也可以利用事件“三個零件中至少有一個合格品”的逆事件與B5等價，得出

（6）B6等價于“三個事件中無次品”或“三個零件中只有一個次品”，故有

另外，也可以利用B6與事件“三個零件中至少有兩個合格品”等價，得出（5）也可以利用事件“三個零件中至少

【例1.2】設隨機事件A、

B、C滿足CAB，

ＣAB,

證明AC=AB∪CB。

證明由于

故

【例1.2】設隨機事件A、B、C滿足CAB，從而故從而故

【例1.3】假設目標出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時射擊命中目標的概率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標的概率。

解記A={目標進入射程}，Bi={第i次射擊命中目標}(i=1，2),故所求概率為事件B=B1∪B2的概率。由于目標不在射程之內(nèi)是不可能命中目標的，因此可利用全概率公式來求解?！纠?.3】假設目標出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7由題意知P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.6

(i=1，2),由于

P(AB)=0(A表示目標不在射程之內(nèi))，因此由全概率公式有由題意知P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.由題意知B1與B2相互獨立,從而

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.6×0.6=0.36

由加法公式得

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)

=0.6+0.6－0.36=0.84

故

P(B)=P(A)P(B1∪B2|A)=0.7×0.84=0.588由題意知B1與B2相互獨立,從而

P(B1B

【例1.4】將n個人等可能地分配到N(n≤N)間房中去，試求下列事件的概率:

(1)A={某指定的n間房中各有一人}；

(2)B={恰有n間房，其中各有一人}；

(3)C={某指定的房中恰有m(m≤n)個人}?！纠?.4】將n個人等可能地分配到N(n≤N)間解把n個人等可能地分配到N間房中去，由于并沒有限定每間房中的人數(shù)，因此這是一個可重復的排列問題，分法共有Nn種。

（1）對于事件A，今固定某n間房，第一個人可分配到

n間房的任一間，有n種分法；第二個人可分配到余下的n－1間房中的任一間，有n－1種分法。依次類推，得到A共含有

n!個樣本點。

故解把n個人等可能地分配到N間房中去，由于并沒有（2）對于事件B，因為n間房沒有指定，所以可先在N

間房中任意選出n間房（共有CnN種選法），然后對于選出來的某n間房，按照上面的分析，可知B共含有CnN·n!個樣本

點。故（2）對于事件B，因為n間房沒有指定，所以可先在N

(3)對于事件C，由于m個人可從n個人中任意選出，并不是指定的，因此有Cmn種選法，而其余的n－m個人可任意地分配到其余的N－1間房中，共有(N－1)n－m種分法，故C中共含有Cmn·(N－1)n－m個樣本點。

因此(3)對于事件C，由于m個人可從n個人中任意選出，

【例1.5】從1~100的整數(shù)中任取一數(shù)，已知取出的數(shù)是不超過50的整數(shù)，求它是2或3的倍數(shù)的概率。

解記A={取出的數(shù)不超過50}，B={取出的數(shù)是2的倍數(shù)}，C={取出的數(shù)是3的倍數(shù)}，則所求概率為條件概率P(B∪C|A)，利用條件概率的性質(zhì)進行計算?！纠?.5】從1~100的整數(shù)中任取一數(shù)，已知由條件概率的性質(zhì)知由條件概率的性質(zhì)知由于，，故由于，，故

【例1.6】設P(A)＞0，試證。

證明由于P(A∪B)≤1，即P(A)+P(B)－P(AB)≤1,從而由乘法公式知

P(A)+P(B)－P(A)P(B|A)≤1

故

P(A)·P(B|A)≥P(A)－［1－P(B)］【例1.6】設P(A)＞0，試證因而有由于P(A)>0,因此得因而有由于P(A)>0,因此得

【例1.7】設有甲、乙、丙三門炮，同時獨立地向某目標射擊，各炮的命中率分別為0.2、0.3和0.5，目標被命中一發(fā)而被擊毀的概率為0.2，被命中兩發(fā)而被擊毀的概率為0.6，被命中三發(fā)而被擊毀的概率為0.9，求：

（1）三門炮在一次射擊中擊毀目標的概率；

（2）在目標被擊毀的條件下，只由甲炮擊中的概率?！纠?.7】設有甲、乙、丙三門炮，同時獨立地解設事件A1、A2、A3分別表示甲、乙、丙炮擊中目標，D表示目標被擊毀，Hi表示由i門炮同時擊中目標(i=1，2，3)，則由全概率公式有

其中P(Hi)由題設條件及獨立性求出，而第二問可由貝葉斯公式來處理。解設事件A1、A2、A3分別表示甲、乙、丙炮由題設知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.5

P(D|H1)=0.2，P(D|H2)=0.6，P(D|H3)=0.9

由于A1、A2、A3相互獨立，故同理由題設知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A（1）由全概率公式得（2）由貝葉斯公式得（1）由全概率公式得（2）由貝葉斯公式得第四節(jié)習題全解

1.1

簡述下列基本概念：

（1）隨機試驗具有的三個特點；

（2）隨機事件的定義；

（3）概率的統(tǒng)計定義。第四節(jié)習題全解

1.1簡答（1）①可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行；②可觀察性：每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；③不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)。

（2）隨機試驗的若干個結果組成的集合稱為隨機事件（簡稱事件），常用大寫字母A、B、C等表示。答（1）①可重復性：試驗可以在相同的條件下（3）設有隨機試驗E，若當試驗的次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動，而且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動幅度越來越小，則稱數(shù)p為事件A的概率，

記為P(A)=p。概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義。（3）設有隨機試驗E，若當試驗的次數(shù)n充分大時，事

1.2

寫出下列隨機試驗的樣本空間:

（1）同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和；

（2）會議室的所有人員是教師、學生或工人，從中隨機地喊一個人出來，記錄被喊人的職業(yè)；

（3）記錄一個班級一次考試的平均分數(shù)（以百分制計分）；

（4）記錄某話務員在一個工作日內(nèi)接聽電話的次數(shù)；

（5）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。1.2寫出下列隨機試驗的樣本空間:

（1）解（1）設第一、二、三顆骰子點數(shù)的樣本空間分別為S1、S2、S3，三顆骰子點數(shù)之和的樣本空間為S，則

S1={1，2，3，4，5，6}

S2={1，2，3，4，5，6}

S3={1，2，3，4，5，6}

故S={3，4，…，18}。

（2）設試驗的樣本空間為S，則

S={教師，學生，工人}解（1）設第一、二、三顆骰子點數(shù)的樣本空間分（3）設試驗的樣本空間為S，以n表示該班的學生數(shù)，因以百分制計分，故該班在一次考試中的總成績的可能取值為0，1，2，…，100n。該班在一次考試中平均分數(shù)的所有可能結果即為該隨機試驗的樣本空間，因而所求的樣本空

間為

（4）設試驗的樣本空間為S，則

S={0，1，2，…}（3）設試驗的樣本空間為S，以n表示該班的學生數(shù)，（5）設試驗的樣本空間為S，由題設可知，若生產(chǎn)的10件產(chǎn)品均為正品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)為10；若生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中有1件次品，則需繼續(xù)生產(chǎn)，且若第11件產(chǎn)品恰為正品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)為11。一般假設在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)的所有可能結果，即樣本空間為

S={10+k|k=0，1，2，…}

或?qū)懗蒘={10，11，12，13，14，15，…}（5）設試驗的樣本空間為S，由題設可知，若生產(chǎn)的10

1.3

從某班學生中任選一名學生，設A={選出的學生是男生}，B={選出的學生是數(shù)學愛好者}，C={選出的學生是班干部}，試問下列運算結果分別表示什么事件。1.3從某班學生中任選一名學生，設A={選出的解（1）A表示選出的學生是男生,B表示選出的學生是數(shù)學愛好者,C表示選出的學生是班干部,故ABC表示選出的學生是愛好數(shù)學的男生班干部。

（2）A表示選出的學生是女生，B表示選出的學生是數(shù)學愛好者，C

表示選出的學生不是班干部，故ABC表示選出的學生是愛好數(shù)學的女生，且不是班干部。解（1）A表示選出的學生是男生,B表示選出的學生是（3）A表示選出的學生是男生，C表示選出的學生是班干部，則A∪C表示選出的學生是男生班干部，故A∪C表示選出的學生為不是班干部的女生。

（4）A表示選出的學生是男生，B表示選出的學生是數(shù)學愛好者，C表示選出的學生是班干部，則B∪C表示選出的學生是數(shù)學愛好者也是班干部，故A－(B∪C)表示選出的學生是不是數(shù)學愛好者也不是班干部的男生。（3）A表示選出的學生是男生，C表示選出的學生是班干部

1.7

朋友聚會，其中有a位男士，b位女士，大家隨機地圍繞圓桌就座，求其中甲、乙兩人坐在一起（即座位相鄰）的概率。1.7朋友聚會，其中有a位男士，b位女士，解a+b圍成一圈共有(a+b－1)!種排法。而甲乙兩人相鄰時，將甲乙兩人視為一個整體，與余下的a+b－2個人圍成一圈共有(a+b－2)!種排法。再考慮到甲乙兩人本身有2種排列方法，故甲乙兩人相鄰時，大家圍成一圈共有2(a+b－2)!種排法。所以甲乙兩人相鄰的概率為解a+b圍成一圈共有(a+b－1)!種排法。而甲

1.8

某教研室共有20名教師，其中中老年教師12名，

年輕教師8名，現(xiàn)要選4名優(yōu)秀教師，求：

（1）至少有1名年輕教師的概率；

（2）有2名年輕教師的概率。1.8某教研室共有20名教師，其中中老年教師1解（1）令事件A={4名優(yōu)秀教師中至少有1名年輕教師}，A的對立事件A={4名優(yōu)秀教師中沒有1名年輕教師}，從12名中老年教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C412種選法，從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C420種選法，故所以解（1）令事件A={4名優(yōu)秀教師中至少有1名年（2）令事件B={有2名年輕教師}，從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C420種選法，從8名年輕教師中選出2名優(yōu)秀教師共有C28種選法，然后從12名中老年教師中選出2名優(yōu)秀教師共有C212種選法。因此從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師且其中有2名是年輕教師共有C212C28種選法，故（2）令事件B={有2名年輕教師}，從20名教師中選

1.9

兩艘船都要停泊在同一個碼頭，而這個碼頭不能同時停泊兩艘船，它們可能在一個晝夜的任何時刻到達，設兩艘船?？康臅r間分別是1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。1.9兩艘船都要停泊在同一個碼頭，而這個碼頭不

解以X、Y分別表示兩艘船到達時刻，那么0≤X≤24，0≤Y≤24；若以（X，Y）表示平面上的點的坐標，則所有基本事件可以用這平面上的邊長為24的一個正方形：0≤X≤24,0≤Y≤24內(nèi)的所有的點表示出來。于是一艘船停靠時需要等待空出碼頭分兩種情況：甲先到，乙在隨后的1小時內(nèi)到達；乙先到，甲在隨后的2小時內(nèi)到達。解以X、Y分別表示兩艘船到達時刻，那么0≤X于是這一事件可表示為（X，Y）落在區(qū)域：{(X，Y)|0≤

X≤24，0≤Y≤24，0≤Y－X≤1}∪{(X，Y)|0≤X≤24，

0≤Y≤24，0≤X－Y≤2}。如圖1-1所示，根據(jù)幾何概型計

算可得于是這一事件可表示為（X，Y）落在區(qū)域：{(X，Y)|0圖1-1圖1-1

1.11

設A、B、C是三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/8，P(AC)=0，求：

（1）A、B、C都發(fā)生的概率；

（2）A、B、C至少有一個發(fā)生的概率；

（3）A、B、C都不發(fā)生的概率。1.11設A、B、C是三個事件，P(A)=

解（1）由ABC

AC可知P(ABC)≤P(AC)=0,又由

概率的公理化定義可知P(ABC)≥0，所以

P(ABC)=0解（1）由ABCAC可知P(ABC)≤P(（2）由概率的性質(zhì)可知（3）由（2）得（2）由概率的性質(zhì)可知（3）由（2）得

1.12

設A、B是兩個隨機事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，問：

（1）在什么條件下P(AB)取最小值？最小值是多少？

（2）在什么條件下P(AB)取最大值？最大值是多少？

解由A、B兩事件的概率看，A、B兩事件相容。利用加法公式有

P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)1.12設A、B是兩個隨機事件，且P(A)=0.（1）因為P(B)≤P(A∪B)≤1，故當P(A∪B)=1時，P(AB)最小，且

P(AB)|min=P(A)+P(B)－1=0.6+0.7－1=0.3

（2）由P(B)=0.7和P(A)=0.6可知，P(B)>P(A)。

當BA時，AB=A，

A∪B=B，P(A∪B)=P(B)為最小，此時P(AB)為最大，故

P(AB)|max=P(A)=0.6（1）因為P(B)≤P(A∪B)≤1，故當P(A∪

1.13

袋中有10個球，8紅2白，現(xiàn)從袋中任取兩次，每次取一個球做不放回抽樣，求下列事件的概率：

（1）兩次都是紅球；

（2）兩次中一次取紅球，另一次取白球；

（3）至少有一次取到白球；

（4）第二次取到的是白球。1.13袋中有10個球，8紅2白，現(xiàn)從袋中任解（1）令事件A={兩次都是紅球}，從10個球中取

2個球有C210種取法，從8個紅球中取2個球有C28種取法，故解（1）令事件A={兩次都是紅球}，從10個（2）令事件B={兩次中一次取紅球，另一次取白球}，從10個球中取2個球有C210種取法，從8個紅球中取1個球有C18種取法，從2個白球中取1個球有C12種取法，則兩次中一次取紅球，另一次取白球有C18C12種取法，故（2）令事件B={兩次中一次取紅球，另一次取白球}，（3）令事件C={至少有一次取到白球}，則事件C的對立事件是事件A，所以（3）令事件C={至少有一次取到白球}，則事件C的對（4）令事件D={第二次取到的是白球}，從10個球中取2個球有C210種取法，從10個球中取2個球且第一次取到的是紅球，第二次取到的是白球有C18C12種取法；從10個球中取2個球且第一次和第二次取到的都是白球有C12種取法。因為第一次取到紅球和取到白球的概率各占一半，故（4）令事件D={第二次取到的是白球}，從10個球中

1.14

假設某學校學生四級英語考試及格率為98%，其中70%的學生通過英語六級考試，試求從該學校隨機地選出一名學生通過六級英語考試的概率。1.14假設某學校學生四級英語考試及格率為98%，解令事件A={通過四級英語考試}，B={通過六級英語考試}。由條件知

P(A)=0.98，P(B|A)=0.7

故隨機地選出一名學生通過六級英語考試的概率為

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.686解令事件A={通過四級英語考試}，B={通過六

1.15

設某事件分兩階段進行，已知通過第一階段試驗的概率為60%，通過第二階段試驗的概率為40%，試求已通過第一階段試驗后再通過第二階段試驗的概率。1.15設某事件分兩階段進行，已知通過第一階段解令事件A＝｛通過第一階段｝，事件B＝｛通過第二階段｝，那么條件A下事件B的概率可由條件概率的公式求得。由于先要通過第一階段然后才能通過第二階段，所以AB=B，于是解令事件A＝｛通過第一階段｝，事件B＝｛通過第

1.16

某商店出售尚未過關的某電子產(chǎn)品，進貨10件，其中有3件是次品，已出售2件，現(xiàn)從剩下的8件產(chǎn)品中任取一件，求這件是正品的概率。1.16某商店出售尚未過關的某電子產(chǎn)品，進貨1解令事件B={顧客買到的是正品}，Ai={售出的兩件中有i件次品}，由題意知由全概率公式有解令事件B={顧客買到的是正品}，Ai={售出

1.17

有兩批產(chǎn)品：第一批20件，其中有5件特級品；第二批12件，其中有2件特級品。今按下列兩種方法抽樣：（1）將兩批產(chǎn)品混在一起，從中任取2件；

（2）從第一批中任取2件混入第二批中，再從混合后的第二批中抽取2件。

試分別求出兩種抽樣情況下所抽兩件都是特級品的概率。1.17有兩批產(chǎn)品：第一批20件，其中有5件解（1）將兩批產(chǎn)品混在一起后共有32件產(chǎn)品，其中有7件是特級品。從32件產(chǎn)品中任取2件有C232種取法，從7件特級品中任取2件有C27種取法，故兩件都是特級品的概率為解（1）將兩批產(chǎn)品混在一起后共有32件產(chǎn)品，（2）令事件A0、A1、A2分別表示從第一批產(chǎn)品中抽到的2件有0、1、2件是特級品，事件B表示從混合后的第二批中抽到的2件產(chǎn)品都是特級品，由題意知由全概率公式算得（2）令事件A0、A1、A2分別表示從第一批產(chǎn)品中抽到的

1.18

某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占該工廠總產(chǎn)量的25%、35%、40%，每個車間的產(chǎn)品中次品的概率分別為0.05、0.04、0.02，現(xiàn)從該廠總產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，結果是次品，求取出的這件次品是乙車間生產(chǎn)的概率。1.18某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生解令事件A1、A2、A3分別表示所抽出的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，事件B表示抽到一個次品，由題意知解令事件A1、A2、A3分別表示所抽出的產(chǎn)品是由由全概率公式算得由貝葉斯公式算得由全概率公式算得由貝葉斯公式算得

1.19

甲、乙、丙三個人各自去破譯一個密碼，他們能破譯出的概率分別為1／3、1/4、1/5，試求：

（1）恰有一人能破譯出的概率；

（2）密碼能被破譯的概率。1.19甲、乙、丙三個人各自去破譯一個密碼，解（1）令事件A、

B、C分別表示甲、乙、丙三人譯出密碼，事件D表示恰有一人能破譯密碼。

由題意知解（1）令事件A、B、C分別表示甲、乙、故所以恰有一人能破譯密碼的概率為故所以恰有一人能破譯密碼的概率為（2）令事件A、B、C分別表示甲、乙、丙三人譯出密碼，則所求的概率為A、B、C至少有一個發(fā)生的概率，所以（2）令事件A、B、C分別表示甲、乙、丙三人譯出密碼

1.20已知P(A)=a，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.7。

（1）若事件A與事件B互不相容，求a；

（2）若事件A與事件B相互獨立，a應取何值？1.20已知P(A)=a，P(B)=0.3，解由概率的性質(zhì)可知解由概率的性質(zhì)可知所以故（1）由題意知事件A與事件B互不相容，即所以故（1）由題意知事件A與事件B互不相容，即（2）由題意知事件A與事件B相互獨立，故所以（2）由題意知事件A與事件B相互獨立，故所以

1.21

有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在這兩批種子中各隨機地抽取一粒，試求下列事件的概率：

（1）兩粒種子都能發(fā)芽；

（2）至少有一粒種子能發(fā)芽；

（3）恰有一粒種子能發(fā)芽。1.21有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8解（1）令事件A={甲種子發(fā)芽}，B={乙種子發(fā)芽}，AB={兩粒種子都能發(fā)芽},由題意知

P(A)=0.8，P(B)=0.7

故兩粒種子都能發(fā)芽的概率為

P(AB)=P(A)P(B)=0.56解（1）令事件A={甲種子發(fā)芽}，B={乙種子發(fā)（2）令事件AB={兩粒種子都沒有發(fā)芽}，其對立事件

AB={至少有一粒種子能發(fā)芽},則兩粒種子都沒有發(fā)芽的概

率為

所以至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為（2）令事件AB={兩粒種子都沒有發(fā)芽}，其對立事件

（3）令事件C={恰有一粒種子能發(fā)芽}，則故恰有一粒種子能發(fā)芽的概率（3）令事件C={恰有一粒種子能發(fā)芽}，則故恰有一粒第2章隨機變量及其分布第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析第三節(jié)典型例題第四節(jié)習題全解第2章隨機變量及其分布第一節(jié)知識梳理第一節(jié)知識梳理

第一節(jié)知識梳理

第二節(jié)重點解析

1.隨機變量及其分布函數(shù)

1)隨機變量

定義：設隨機試驗E的樣本空間為S={e},X=X(e)是定義

在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，對于任意實數(shù)x，集合{e|X(e)≤x}有確定的概率,則稱X=X(e)為隨機變量。第二節(jié)重點解析

1.隨機變量及

2)隨機變量的分布函數(shù)

定義：設X是一個隨機變量，x為任意實數(shù)，函數(shù)F(x)=P{X≤x}（－∞<x<+∞）稱為X的分布函數(shù)，記為

X～F(x)。

性質(zhì)1：F(x)是一個單調(diào)非減函數(shù)，若x1＜x2，則F(x1)≤F(x2)。

2)隨機變量的分布函數(shù)

定義：設X是一個隨機變性質(zhì)2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性質(zhì)3：F(x)右連續(xù)，即性質(zhì)2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性

2.離散型隨機變量及其分布律

1)離散型隨機變量的分布律

定義：設X是離散型隨機變量，X可能的取值為x1，x2，…，則稱

P{X=xi}=pi

（i=1，2，…）

為離散型隨機變量X的概率分布律或分布律。

由概率定義知，離散型隨機變量的分布律具有如下性質(zhì)：（1）非負性：pi≥0（i=1，2，…）；

（2）歸一性：。2.離散型隨機變量及其分布律

1)離散型隨機變

2)常用離散型分布

（1）兩點分布（（0-1）分布）：

P{X=1}=p，P{X=0}=1－p

（0<p<1）

（2）二項分布：X～b(n，p)，

P{X=k}=Cknpk(1－p)n－k

(k=0，1，…，n；0＜p＜1;n和p是參數(shù))2)常用離散型分布

（1）兩點分布（（0-1）（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超幾何分布:（5）幾何分布:

P{X=k}=(1－p)k－1p(k=1，2，…；0<p<1)（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超幾何分布:

3.連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)

1)密度函數(shù)及其性質(zhì)

定義：設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負函數(shù)f(x)，使對任意實數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，并稱X的分布為連續(xù)型分布。3.連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)

1)密度函數(shù)及密度函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì)：

（1）f(x)≥0(－∞＜x＜+∞)；

（2）；

（3）對任意實數(shù)x1、x2(x1≤x2)，有

（4）若f(x)在點x處連續(xù)，則有F′(x)=f(x)。密度函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì)：

（1）f(x)≥定理：設X為任意一個連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)與f(x)分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)，則

（1）對任意一個常數(shù)a(－∞<a<+∞)，有P{X=a}=0；

（2）對任意兩個常數(shù)a、b（－∞<a<b<+∞），有

P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}

=P{a<X≤b}=定理：設X為任意一個連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)與f(x

2)三種重要的連續(xù)型分布

（1）均勻分布：X～U(a，b)，2)三種重要的連續(xù)型分布

（1）均勻分布：X（2）指數(shù)分布:X～e(λ)，（2）指數(shù)分布:X～e(λ)，（3）正態(tài)分布:X~N(μ，σ2)，引理1：若X~N(μ，σ2)，則Y=aX+b~N(aμ+b，a2σ2)(a≠0)。引理2：若X~N(μ，σ2)，則~N(0，1)。（3）正態(tài)分布:X~N(μ，σ2)，引理1：

4.隨機變量函數(shù)的分布

1)離散型隨機變量函數(shù)的分布

設離散型隨機變量X的分布律為則隨機變量函數(shù)Y=g(X)的分布律可由下表求得,即4.隨機變量函數(shù)的分布

1)離散型隨機變量函數(shù)

2)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)，則隨機變量Y=g(X)的分布函數(shù)為其中，{X∈Iy}與{g(X)≤y}是等價的隨機事件，而Iy={x|g(x)≤y}是實數(shù)軸上的某個集合，隨機變量Y的概率密度函數(shù)fY(y)可由fY(y)=F′Y(y)得到。2)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

設連續(xù)型隨機變量X定理：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)

（－∞<x<+∞），設y=g(x)處可導且恒有g′(x)>0（或恒有g′(x)<0），

x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的概率密度函數(shù)為其中α=min{g(－∞)，g(+∞)}，β=max{g(－∞)，g(+∞)}。定理：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)

（第三節(jié)典型例題

【例2.1】一實習生用同一臺機器制造3個同種零件，第i個零件是不合格品的概率為。用X表示3個零件合格品的個數(shù)，求X的分布律。第三節(jié)典型例題

【例2.1】

解因為利用同一臺機器制造3個同種零件，所以可認為這3個零件是否合格是相互獨立的，以Ai表示第i個零件是合格的，則。因X表示零件的合格數(shù)，所以X的分布律為解因為利用同一臺機器制造3個同種零件，所以可認配套課件-概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導及習題解析--馬繼豐

【例2.2】甲、乙兩選手輪流射擊，直到有一個命中

為止，若甲命中率為0.6，乙命中率為0.7，如果甲首先射擊，求:

（1）兩人射擊總次數(shù)X的分布律；

（2）甲射擊次數(shù)X1的分布律；

（3）乙射擊次數(shù)X2的分布律?！纠?.2】甲、乙兩選手輪流射擊，直到有一個

解因為輪流射擊，直到有一個命中為止，且由甲首先射擊，所以可以看出，如果由甲射中，則總的射擊次數(shù)應為奇數(shù)，乙比甲少射一次，而由乙射中的話，則甲、乙兩人射擊次數(shù)相同，并且可以知道，乙可能沒有射擊。而由題意可知，每次是否射中是相互獨立的。解因為輪流射擊，直到有一個命中為止，且由甲首令Ai表示甲第i次射擊時射中，則P(Ai)=0.6(i=1，2，…)；令Bi表示乙第i次射擊時射中，則P(Bi)=0.7(i=1，2，…)。由此可知（1）令Ai表示甲第i次射擊時射中，則P(Ai)=0.6(i（3）（2）（3）（2）

【例2.3】若X的分布函數(shù)為N(60，9)，求分點x1、x2、x3、x4，使得X落在(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)，(x4，+∞)中的概率之比為7∶24∶38∶24∶7。【例2.3】若X的分布函數(shù)為N(60，9)，

解由正態(tài)分布對稱性和題目比例知x1、x2分別與x4、

x3關于x=60對稱，且故解由正態(tài)分布對稱性和題目比例知x1、x2分別與

【例2.6】某科統(tǒng)考成績X近似服從正態(tài)分布

N(70，102)，第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約

為多少分？【例2.6】某科統(tǒng)考成績X近似服從正態(tài)分布

N(解設第20名的成績?yōu)閤,因為而又因為解設第20名的成績?yōu)閤,因為而又因為所以

P{X≥x}=0.2×0.8413=0.16826

即所以，，所以

P{X≥x}=0.2×0.8413=0

【例2.7】設隨機變量X服從［a，b］上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0)，試求隨機變量Y的密度函數(shù)。

解因為【例2.7】設隨機變量X服從［a，b］上的均勻分當c>0時，當c<0時，當c>0時，當c<0時，

【例2.8】設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為

求:

（1）Y=2X+3；

（2）Y=X2的密度函數(shù)。【例2.8】設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為

解（1）由Y=2X+3有，，所以解（1）由Y=2X+3有，，所以（2）利用分布函數(shù)法求解，即所以（2）利用分布函數(shù)法求解，即所以第四節(jié)習題全解

2.1下列給出的數(shù)列，哪些是隨機變量分布律，并說明理由。第四節(jié)習題全解

2.1解（1）因為pk≥0(k=0，1，2，3，4，5)，且所以滿足概率分布的條件，故該數(shù)列是隨機變量分布律。解（1）因為pk≥0(k=0，1，2，（2）因為所以不滿足概率分布的條件，故該數(shù)列不是隨機變量分布律。（2）因為所以不滿足概率分布的條件，故該數(shù)列不是隨機變（3）因為，且所以滿足概率分布的條件，故該數(shù)列是隨機變量分布律。（3）因為，且所以滿足概率分布的條件，故該數(shù)列是隨

2.2

設隨機變量X的分布函數(shù)為

F(x)=α+βarctanx(－∞<x<+∞)

試求：

（1）常數(shù)α和β；

（2）隨機變量X落在區(qū)間(－1，1］內(nèi)的概率。2.2設隨機變量X的分布函數(shù)為

F(解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知，解得解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知，解得（2）由（1）知故隨機變量X落在區(qū)間(－1，1］內(nèi)的概率為（2）由（1）知故隨機變量X落在區(qū)間(－1，1］內(nèi)的

2.3

一個袋中裝有5個編號為1、2、3、4、5的乒乓球，從袋中同時取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律和分布函數(shù)。2.3一個袋中裝有5個編號為1、2、3、4解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大號碼，所以X的分布律為解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓或?qū)懗苫驅(qū)懗上旅媲骕的分布函數(shù)F(x)。

當x<3時，{X≤x}是不可能事件，因此

F(x)=0

當3≤x<4時，{X≤x}等同于{X=3}，因此下面求X的分布函數(shù)F(x)。

當x<3時，{X≤當4≤x<5時，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，因此當x≥5時，{X≤x}為必然事件，因此

F(x)=1當4≤x<5時，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，綜上可得，F(xiàn)(x)的分布函數(shù)為

綜上可得，F(xiàn)(x)的分布函數(shù)為

2.4

試確定常數(shù)a，使

成為某個隨機變量X的分布律，并求：

（1）P{X≤1}；

（2）2.4試確定常數(shù)a，使

成為某個隨機變量X的分解由于，因此。

而因此由等式解得將代入原式得解由于，因此。

而因（1）對于該題{X≤1}等價于{X=0或X=1}，因此（2）對于該題等價于{X=1或X=2}，因此（1）對于該題{X≤1}等價于{X=0或X=1}，因

2.5從含有10個黑球及3個白球的袋中一個一個隨機摸球，在下列三種情形下，分別求出直到摸到黑球為止所需次數(shù)X的分布律：

（1）每次取出的球，待觀察顏色后，立即放回袋中再取下一個；

（2）每次取出的球都不放回袋中；

（3）每次取出一個球后總是放回一個黑球。2.5從含有10個黑球及3個白球的袋中一個一個隨解（1）事件“X=1，2，3，…，k”表示摸到黑球所需要的次數(shù)，所以X的分布律為解（1）事件“X=1，2，3，…，k”或?qū)懗桑?）作不放回抽取時，由于白球共3個，至多到第4次抽取便會抽到黑球，所以X的可能取值為1、2、3、4，故X的分布律為或?qū)懗桑?）作不放回抽取時，由于白球共3個，至多到第4次配套課件-概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導及習題解析--馬繼豐或?qū)懗桑?）由于每次取出一球后總放回一個黑球，所以至多到第4次抽取時便可取到黑球，因此X的可能取值為1、2、3、4，故X的分布律為或?qū)懗桑?）由于每次取出一球后總放回一個黑球，所以至多到配套課件-概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導及習題解析--馬繼豐或?qū)懗苫驅(qū)懗?/p>

2.6

設離散型隨機變量X的分布函數(shù)為且，試求常數(shù)a、b的值和X的分布律。2.6設離散型隨機變量X的分布函數(shù)為且解

X的分布律為據(jù)題意，故①解X的分布律為據(jù)題意，故①再利用分布律的歸一性知

a+b=1②將①和②聯(lián)立方程組解得代入X的分布律中有再利用分布律的歸一性知

a+b=1

2.9

設隨機變量X的密度函數(shù)為

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）X的分布函數(shù)F(x)。2.9設隨機變量X的密度函數(shù)為

試求：

解（1）由于，即故

a=2解（1）由于，即故（2）由(1)得X的密度函數(shù)為由定義，得當x≤0時，

F(x)=0當0<x<1時，（2）由(1)得X的密度函數(shù)為由定義當0<x<1時，所以X的分布函數(shù)為當x≥1時，當0<x<1時，所以X的分布函數(shù)為當x≥1時，

2.10

設隨機變量X的密度函數(shù)為

（1）求常數(shù)a；

（2）求X的分布函數(shù)F(x)；

（3）畫出f(x)和F(x)的圖形。2.10設隨機變量X的密度函數(shù)為

解（1）由于，即故

a=2解（1）由于，即故（2）由（1）得X的密度函數(shù)為由定義，得當x<0時，

F(x)=0當0≤x<1時，（2）由（1）得X的密度函數(shù)為由定義當1≤x<2時，當x≥2時，當1≤x<2時，當x≥2時，所以X的分布函數(shù)為所以X的分布函數(shù)為（3）圖2－1所示為f(x)的圖形，圖2－2所示為F(x)的

圖形。圖2-1（3）圖2－1所示為f(x)的圖形，圖2－2所示為F圖2-2圖2-2

2.11

設隨機變量X的密度函數(shù)為

f(x)=ae－|x|(－∞<x<+∞)

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）P{－1<X<2}；

（3）X的分布函數(shù)F(x)。2.11設隨機變量X的密度函數(shù)為

解（1）由于，即故。解（1）由于，即故。（2）由（1）得X的密度函數(shù)為（2）由（1）得X的密度函數(shù)為由連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)可得由連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)可得（3）由定義，得

當x<0時，當x≥0時，（3）由定義，得

當x<0時，所以X的分布函數(shù)為所以X的分布函數(shù)為

2.12

設隨機變量X的分布函數(shù)為

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）P{X≥4}；

（3）P{3<X<4}；

（4）P{X=2.5}；

（5）X的密度函數(shù)f(x)。2.12設隨機變量X的分布函數(shù)為

試求：解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知F(x)是右連續(xù)的，故

即

1－a=0

所以a=1。解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知F(x)是右連續(xù)的（2）由（1）知X的分布函數(shù)為

由F(x)的形式知X~e(0.4)，故X為連續(xù)型隨機變量。

根據(jù)連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)知

P{X=4}=0，

所以

P{X≥4}=1－P{X≤4}=1－F(4)

=1－(1－e－0.4×4)=e－1.6（2）由（1）知X的分布函數(shù)為

（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F(3)

=(1－e－0.4×4)－(1－e－0.4×3)=e－1.2－e－1.6

（4）根據(jù)連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)知對于任意一個常數(shù)x，恒有

P{X=x}=0

所以

P{X=2.5}=0（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F（5）隨機變量X的密度函數(shù)f(x)在連續(xù)點x處可由f(x)=F′(x)得到。

當x>0時，

f(x)=F′(x)=(1－e－0.4x)′=0.4e－0.4x

當x≤0時，

f(x)=F′(x)=0

故X的密度函數(shù)為（5）隨機變量X的密度函數(shù)f(x)在連續(xù)點x處可由f(

2.16

設X~N(3，22)。

（1）求P{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{|X|>2}，P{X>3}；

（2）確定c，使得P{X>c}=P{X≤c}；

（3）設d滿足P{X>d}≥0.9015，問d至多為多少？2.16設X~N(3，22)。

（1）解（1）隨機變量X服從正態(tài)分布，且μ=3，σ=2,

故對于任意區(qū)間(x1，x2］有①解（1）隨機變量X服從正態(tài)分布，且μ=3，σ=②②③③④

P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)

因為所以④P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)（2）對于X~N(3，22)有μ=3,因為正態(tài)概率密度曲線關于直線x=μ對稱,所以有

P{X≤μ}=P{X>μ}

故

c=μ=3（2）對于X~N(3，22)有μ=3,因為正態(tài)概率（3）由P{X>d}≥0.9015得

1－P{X≤d}≥0.9015

即所以故（3）由P{X>d}≥0.9015得

因為分布函數(shù)Φ(x)是一個不減函數(shù)，故解得因為分布函數(shù)Φ(x)是一個不減函數(shù)，故解得

2.17

設隨機變量X的密度函數(shù)為

（1）求常數(shù)a的值；

（2）X服從什么分布?參數(shù)是多少？2.17設隨機變量X的密度函數(shù)為

（1解（1）依題意有又于是得到，即解（1）依題意有又于是得到，即（2）由（1）知X的密度函數(shù)為即X服從正態(tài)分布，且，記做X～N(2，2)。（2）由（1）知X的密度函數(shù)為即X服從正態(tài)分布，且

2.18

設隨機變量X的分布律為分別求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|－1的分布律。2.18設隨機變量X的分布律為分別求Y=X2，解①Y所有可能取值為0、1、4，因為

P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.4

P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=－1}=0.3

P{Y=4}=P{X2=4}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Y的分布律為解①Y所有可能取值為0、1、4，因為②Z所有可能取值為－5、－2、1、7，因為

P{Z=－5}=P{X=－2}=0.2

P{Z=－2}=P{X=－1}=0.3

P{Z=1}=P{X=0}=0.4

P{Z=7}=P{X=2}=0.1

所以Z的分布律為②Z所有可能取值為－5、－2、1、7，因為

③W所有可能取值為－1、0、1，因為

P{W=－1}=P{X=0}=0.4

P{W=0}=P{X=－1}=0.3

P{W=1}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Z的分布律為③W所有可能取值為－1、0、1，因為

2.19

設隨機變量X的密度函數(shù)為

分別求隨機變量Y=X2，Z=2X，W=－X+1的密度函數(shù)。2.19設隨機變量X的密度函數(shù)為

分別求隨解①Y的分布函數(shù)為當0<y<1時，解①Y的分布函數(shù)為當0<y<1時，當y≥1時，所以Y的分布函數(shù)為因此當y≥1時，所以Y的分布函數(shù)為因此②Z的分布函數(shù)為當z≤0時,當0<z<2時，②Z的分布函數(shù)為當z≤0時,當0<z<2時，當z≥2時，所以Z的分布函數(shù)為因此當z≥2時，所以Z的分布函數(shù)為因此

2.20

設隨機變量X的密度函數(shù)為

試求：

（1）常數(shù)a的值；

（2）Y=arctanX的密