西北工業(yè)大學(xué)數(shù)值分析(附答案)

西北工業(yè)大學(xué)數(shù)值分析習(xí)題集第一章 緒論設(shè)x>0,x的相對(duì)誤差為δ,求的誤差.設(shè)x的相對(duì)誤差為2％,求的相對(duì)誤差.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù)它們是幾位有效數(shù)字 :

,即誤差限不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位

,試指出利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:其中均為第 3題所給的數(shù).5. 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為 1％,問(wèn)度量半徑 R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少 ?設(shè)按遞推公式(n=1,2, ?)計(jì)算到.若取≈27.982(五位有效數(shù)字 ),試問(wèn)計(jì)算將有多大誤差 ?求方程的兩個(gè)根,使它至少具有四位有效數(shù)字(≈27.982).當(dāng)N充分大時(shí),怎樣求?9. 正方形的邊長(zhǎng)大約為 100㎝,應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò) 1㎝?設(shè)假定g是準(zhǔn)確的,而對(duì)t的測(cè)量有±0.1秒的誤差,證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加,而相對(duì)誤差卻減小.序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,?若),(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎?計(jì)算,取,利用下列等式計(jì)算,哪一個(gè)得到的結(jié)果最好?,求f(30)的值.若開(kāi)平方用六位函數(shù)表,問(wèn)求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?若改用另一等價(jià)公式計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大 ?14.試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算

,問(wèn)結(jié)果是否可靠 ?已知三角形面積其中c為弧度,,且測(cè)量a,b,c的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法根據(jù)(2.2)定義的范德蒙行列式,令證明是n次多項(xiàng)式,它的根是,且.2.當(dāng)x=1,-1,2時(shí),f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式.3.給出f(x)=lnx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.給出cosx,0°≤x的≤函90數(shù)°表,步長(zhǎng)h=1′=(1/60)若函°,數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cosx近似值時(shí)的總誤差界.5.設(shè),k=0,1,2,3,求.6.設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,?,n),求證:i)ii)設(shè)且,求證在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過(guò),問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少?若,求及.如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).證明.證明證明若有個(gè)不同實(shí)根,證明證明階均差有下列性質(zhì):若,則;若,則.16.,求及.17.證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限 .18.求一個(gè)次數(shù)不高于 4次的多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限 .試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,,.設(shè),把分為等分,試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時(shí),在上一致收斂到.設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值,并估計(jì)誤差.求在上的分段線性插值函數(shù),并估計(jì)誤差.求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.給定數(shù)據(jù)表如下:0.250.300.390.450.53xj0.50000.54770.62450.67080.7280yj試求三次樣條插值并滿足條件i)ii)若,是三次樣條函數(shù),證明;若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.26.編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖 (可用(8.7)式的表達(dá)式).第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算(a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫(huà)出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較.求證:(a)當(dāng)時(shí),.(b)當(dāng)時(shí),.在次數(shù)不超過(guò)6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.假設(shè)在上連續(xù),求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問(wèn)這個(gè)解是否唯一?求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差.求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.如何選取,使在上與零偏差最小?是否唯一?設(shè),在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.令,求.試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式.設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對(duì)任何,存在常數(shù)、,使設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.在上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式,使誤差不超過(guò)0.005.是上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管是奇數(shù)或偶數(shù),的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇(偶)函數(shù).17.求、使為最小.并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較 .、,定義問(wèn)它們是否構(gòu)成內(nèi)積 ?用許瓦茲不等式(4.5)估計(jì)的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.選擇,使下列積分取得最小值:.設(shè)空間,分別在、上求出一個(gè)元素,使得其為的最佳平方逼近,并比較其結(jié)果.在上,求在上的最佳平方逼近.是第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系.24.將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi) ,求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫(huà)出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差 .把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù).用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差.1925313844xi19.032.349.073.397.8yi觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù):時(shí)間t(秒)00.91.93.03.95.0距離s(米)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下:時(shí)間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘擬合求.29.編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖 .編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:(1);(2);(3);(4).2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分 :(1); (2);(3); (4).直接驗(yàn)證柯特斯公式(2.4)具有5次代數(shù)精度.用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差.推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1);(2);(3).證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當(dāng)時(shí)收斂到積分.用復(fù)化梯形公式求積分,問(wèn)要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(guò)(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過(guò).衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓,橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長(zhǎng)軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,則.我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng).證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.龍貝格方法;三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式;將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式分別求在1.0,1.1和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并估計(jì)誤差.的值由下表給出:x1.01.11.21.31.4f(x)0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程數(shù)值解法1.就初值問(wèn)題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式， 并與準(zhǔn)確解相比較。用改進(jìn)的尤拉方法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。用改進(jìn)的尤拉方法解取步長(zhǎng)h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。用梯形方法解初值問(wèn)題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。取h=0.2，用四階經(jīng)典的龍格－庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題：1）2）證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格－庫(kù)塔公式是二階的：證明下列兩種龍格－庫(kù)塔方法是三階的：1）2）分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問(wèn)題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：將下列方程化為一階方程組：1）2）3）取h=0.25，用差分方法解邊值問(wèn)題對(duì)方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問(wèn)題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解取h=0.2用差分方法解邊值問(wèn)題第六章 方程求根用二分法求方程的正根，要求誤差<0.05。用比例求根法求在區(qū)間[0,1]內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿足精度時(shí)終止計(jì)算。為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1）在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法；2)用迭代法，取初值。5.給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù) λ，迭代過(guò)程均收斂于的根。已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根，而當(dāng)a<x<b時(shí)，，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求 x=4.5（弧度）附近的根。用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值＝1.87938524?，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取。用二分法和牛頓法求的最小正根。研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的。對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1)2)應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初值充分靠近根，求第七章 解線性方程組的直接方法1.考慮方程組：(a)用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算） ，(b)用列主元消去法解上述方程組并且與 (a)比較結(jié)果。2.(a)設(shè)A是對(duì)稱(chēng)陣且，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后， A約化為證明A2是對(duì)稱(chēng)矩陣。用高斯消去法解對(duì)稱(chēng)方程組：4.設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式 A=LU，其中L為單位下三角陣， U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。由高斯消去法說(shuō)明當(dāng)時(shí)，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。6.設(shè)A為n階矩陣，如果稱(chēng) A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。證明：若 A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A具有形式。7.設(shè)A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后， A約化為，其中證明 （1）A的對(duì)角元素2）A2是對(duì)稱(chēng)正定矩陣；3）4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；5）6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對(duì)所有k設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣 I相同）求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為 k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。設(shè)，其中U為三角矩陣。就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫(xiě)出算法。計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。證明（a）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則 A可唯一寫(xiě)成,其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。用高斯－約當(dāng)方法求A的逆陣：用追趕法解三對(duì)角方程組，其中用改進(jìn)的平方根法解方程組下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.如果方陣A有，則稱(chēng)A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對(duì)1） ；2） .設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)， 2-范數(shù)及F-范數(shù)。求證，。設(shè)且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上的一種向量范數(shù)。設(shè)為對(duì)稱(chēng)正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。設(shè)，求證。證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線性相關(guān)且時(shí)，才有。分別描述中（畫(huà)圖）。令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿足設(shè)，求證與特征值相等，即求證。設(shè)A為非奇異矩陣，求證。設(shè)A為非奇異矩陣，且，求證存在且有估計(jì)矩陣第一行乘以一數(shù)，成為。證明當(dāng)時(shí)，有最小值。設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a)(b)設(shè)計(jì)算A的條件數(shù)。33.證明：如果 A是正交陣，則。設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明。第八章 解方程組的迭代法設(shè)方程組考察用雅可比迭代法,高斯-塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性;用雅可比迭代法,高斯-塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M,要求當(dāng)時(shí)迭代終止．2.設(shè),證明:即使級(jí)數(shù)也收斂．證明對(duì)于任意選擇的A,序列收斂于零．.設(shè)方程組迭代公式為求證:由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是設(shè)方程組(a)(b)-塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃?。試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯求證的充要條件是對(duì)任何向量x，都有7.設(shè)，其中A對(duì)稱(chēng)正定，問(wèn)解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。8.設(shè)方程組求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；求解此方程組的高斯－塞德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?.用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。10.用SOR方法解方程組（?。?0.9）要求當(dāng)時(shí)迭代終止。設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣，迭代公式試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂（其中）12.用高斯－塞德?tīng)柗椒ń猓糜浀牡?/p>

。i個(gè)分量，且。證明；如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。設(shè)A是對(duì)稱(chēng)的，二次型證明

。(d) 由此推出，如果量是收斂的，則

A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，A是正定陣。

且高斯－塞德?tīng)柗椒▽?duì)任意初始向13.設(shè)A與

B為

n階矩陣，

A為非奇異，考慮解方程組其中。找出下列迭代方法收斂的充要條件找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。設(shè)，試說(shuō)明A為可約矩陣。16.給定迭代過(guò)程，，其中，試證明：如果C的特征值，則迭代過(guò)程最多迭代n次收斂于方程組的解。畫(huà)出SOR迭代法的框圖。18.設(shè)A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣且，求證：解的 SOR方法收斂。設(shè)，其中A為非奇異陣。求證為對(duì)稱(chēng)正定陣；求證。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：2.

(a) , (b),當(dāng)特征值有 3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。方陣T分塊形式為,其中為方陣，

T稱(chēng)為塊上三角陣， 如果對(duì)角塊的階數(shù)至多不超過(guò)

2，則稱(chēng)

T

為準(zhǔn)三角形形式，用記矩陣

T的特征值集合，證明利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。4.求矩陣與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。5.用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6.(a)設(shè)A是對(duì)稱(chēng)矩陣，λ和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了 λ外其余元素均為零。對(duì)于矩陣,λ=9是其特征值，是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計(jì)算。7.利用初等反射陣將正交相似約化為對(duì)稱(chēng)三對(duì)角陣。8.設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的計(jì)算公式。設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個(gè)特征向量。(a)證明矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量是；(b)對(duì)于給出的 y應(yīng)如何計(jì)算 x？用帶位移的QR方法計(jì)算(a) , (b)全部特征值。試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣，。數(shù)值分析習(xí)題簡(jiǎn)答（適合課程《數(shù)值方法 A》和《數(shù)值方法 B》）西北工業(yè)大學(xué)第一章 緒論習(xí)題參考答案1．ε（lnx）≈。2．。3．有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字，有4位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字。4．。5．。6．。7．，。8．9．。10．，，故t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。11．，計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定。12．，如果令，則，，，，，的結(jié)果最好。13．，開(kāi)平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為，分別代入等價(jià)公式中計(jì)算可得，。14．方程組的真解為，而無(wú)論用方程一還是方程二代入消元均解得，結(jié)果十分可靠。15．第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2..線性插值：取，則；二次插值：取，則＝－0.616707.，其中.所以總誤差界.5.當(dāng) 時(shí)，取得最大值.i)對(duì)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有由于，故有.構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .以a,b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，，由于故截?cái)嗾`差其中 則時(shí)取得最大值.由題意，所以，則可得，，則可得數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，為m－1次多項(xiàng)式；假設(shè)是m-k次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m-(k+1)次多項(xiàng)式，得證。右左12.13..由于是的n個(gè)互異的零點(diǎn)，所以對(duì)求導(dǎo)得，則 ，記則由以上兩式得15.i).證明同上。16.17.即均為的二重零點(diǎn)。因而有形式：作輔助函數(shù)則由羅爾定理，存在使得類(lèi)似再用三次羅爾定理，存在使得又可得即采用牛頓插值，作均差表：一階均差 二階均差xi f(xi)01110-1/2又由 得所以記則因?yàn)椋栽谏弦恢逻B續(xù)。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。在每個(gè)小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的 C程序如下：#include"stdio.h"#include"math.h"floatf(floatx){return(1/(1+x*x));}floatI(floatx,floata,floatb){return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));}voidmain(){inti;floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}for(i=0;i<10;i++){xc=(x[i]+x[i+1])/2;I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));}for(i=0;i<10;i++){xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));}}在每個(gè)小區(qū)間上為則在每個(gè)小區(qū)間上表示為23.則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為由，得，關(guān)于的方程組為i)因?yàn)樗杂遥剑阶?。由于為三次函?shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。第三章函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考答案1.(a)區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項(xiàng)式為;(b)，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為，部分和誤差則為，，大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。2.，故，當(dāng)時(shí)，。3.，對(duì)任意不超過(guò)6次的多項(xiàng)式，在時(shí)，若有，則在上至少有7個(gè)零點(diǎn)，這與不超過(guò)6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多項(xiàng)式。設(shè)所求為，，由47頁(yè)定理4可知在上至少有兩個(gè)正負(fù)交錯(cuò)的偏差點(diǎn)，恰好分別為的最大值和最小值處，故由可以解得即為所求。原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別為，故，解方程可得出唯一解。，故，得，，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為，又因?yàn)閮蓚€(gè)偏差點(diǎn)必在區(qū)間端點(diǎn)，故誤差限為。，故由可以解得，，則有，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為。8. 切比雪夫多項(xiàng)式在上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，，解得唯一解。作變換代入得，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為，作逆變換代入，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為。，，，，其中。，故正交。用的4個(gè)零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。13.，則有，其中。由拉格朗日插值的余項(xiàng)表達(dá)公式可得出，令， 則待證不等式成立，得證。由泰勒級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約，在上有，即其中誤差限為。15. ，取為的近似，誤差限為，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項(xiàng)式，其誤差限為，即為所求當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，則，對(duì)有，所以也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性，，即是奇函數(shù)。同理可證，當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí)，最佳逼近多項(xiàng)式也是偶函數(shù)。，為使均方誤差最小，則有，解得。(a)，，c為常數(shù)，，，但當(dāng)時(shí)，,不滿足定義，所以不構(gòu)成內(nèi)積。（b），，，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足定義，所以構(gòu)成內(nèi)積。，，其中，則，由此可知用積分中值定理估計(jì)比許瓦茲不等式估計(jì)更精確。，時(shí)最小。在時(shí)，值為，時(shí)，值為1，時(shí)，值為，時(shí)最小。要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，前者誤差小。上均為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則最小，由拉格朗日乘子法可解得。，和差化積得證。由積分區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性及勒讓德多項(xiàng)式的奇偶性可知，，將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項(xiàng)式三次展開(kāi)就可以求得，，代入可得，均方誤差為。，其中。，，解方程得，均方誤差。經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，運(yùn)動(dòng)方程為。經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。29.30.31.，，，，，，，，，。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1)公式可對(duì)均準(zhǔn)確成立，即解得 ，具有3次代數(shù)精度。，具有3次代數(shù)精度。或具有2次代數(shù)精度。，具有3次代數(shù)精度。1)＝0.11140.11162)3)4)柯特斯公式為.其中.驗(yàn)證對(duì)于，均成立，但時(shí)不成立。＝0.63233，所以。1)此差值型求積公式的余項(xiàng)為由于在上恒為正，故在上存在一點(diǎn)，使所以有。2)3)梯形公式和辛甫森公式的余項(xiàng)分別為其中，所以當(dāng)時(shí)，，即兩公式均收斂到積分，且分別為二階和四階收斂。設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中，解得。8.首先算出，然后逐次應(yīng)用

3個(gè)加速公式計(jì)算結(jié)果如下表kT2kS2kC2kR2k00.683940.632340.632130.6321210.645240.632130.6321220.635410.6321230.63294所以，積分。，，所以4×7782.5×1.5652948728（可任選一種數(shù)值積分方法，如柯特斯公式）。由泰勒展開(kāi)式有由于，用外推算法，令，則，，，即的近似值為 3.14159。11.計(jì)算結(jié)果如下表kT2kS2kC2kR2k01.333331.111121.099261.0986211.166671.100001.0986321.116671.0987231.10321即積分I＝1.09862。，令三點(diǎn)高斯公式五點(diǎn)高斯公式1.09862。3)對(duì)每個(gè)積分用高斯公式 ，得＝1.09854。此積分精確值為。三點(diǎn)公式：。，，的誤差的誤差的誤差 。五點(diǎn)公式：。誤差分別為，，。第五章 常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案1．尤拉法表達(dá)式，誤差，改進(jìn)尤拉法表達(dá)式，無(wú)誤差。2．近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解0.11.111.110340.62.040862.044240.21.242051.242810.72.323152.327510.31.398471.399720.82.645582.651080.41.581811.583650.93.012373.019210.51.794901.797441.03.428173.436563．近似解準(zhǔn)確解0.10.00550.005162580.20.02192750.02126920.30.05014440.04918180.40.09093070.08968000.50.1449920.1434694．，即，又由，則有。當(dāng)時(shí)， 。5．取步長(zhǎng)h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。6．(1)近似解(2)近似解0.21.242800.21.727630.41.583640.42.743020.62.044210.64.094240.82.651030.85.829271.03.436551.07.996017．，，，則8．(1)令，泰勒展開(kāi)可得，，，同理有，代入龍格-庫(kù)塔公式可得。(2)類(lèi)似(1)展開(kāi)可得，，，同理有，代入龍格-庫(kù)塔公式可得。9．二階顯式公式為，代入得，二階隱式公式為，代入得，真解為。10．，，，，代入得，截?cái)嗾`差首項(xiàng)為。11．，，，，，代入待定系數(shù)的公式中可得系數(shù)之間的關(guān)系式為，，，。12．(1)，其中。(2)，其中。(3)，其中。13．用差商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得，解此方程組可得。14．，初值條件等于準(zhǔn)確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于準(zhǔn)確解。15．差分方程，，代入得，。第六章 方程求根令，則kakbkxkf(xk)符號(hào)0021－1121.5－21.521.75＋31.51.751.625＋41.51.6251.5625－51.56251.6251.5938－2.1)，在附近，，迭代公式收斂。，在附近，迭代公式收斂，迭代得近似值1.466。，，，迭代公式發(fā)散。1)二分14次得0.0905456；迭代5次得0.0905246。迭代函數(shù)，，由已知，有，所以即迭代過(guò)程收斂。將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)在附近，，所以迭代格式為，迭代三次得 4.4934。1)牛頓法迭代格式，迭代三次得1.879。弦截法迭代格式，迭代三次得1.879。拋物線法，故，則，迭代三次得 1.879。最小正根為4.4934。，即。，即，序列單調(diào)遞減。迭代函數(shù)為，且有，， .其中介于與之間。將上式兩邊除以，并將處泰勒展開(kāi)得，其中介于與之間。將上式兩邊取極限，及， ，得。1)，迭代格式發(fā)散。，迭代格式收斂，且收斂到。要使，則，為一階收斂。令，迭代公式為。，則，所以，又，所以，因此迭代格式為線性收斂。13. ，取，迭代三次得。求的迭代公式分別為，設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15.記迭代函數(shù)

，則，由上

①兩邊求導(dǎo)得則可得對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得則可得對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得則可得所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習(xí)題參考答案1． (a)高斯消去法解得； (b)列主元消去法解得。2． (a)，故對(duì)稱(chēng)。(b)高斯消去法解得。3． (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得,。4． 因?yàn)榉瞧娈?，的?duì)角元不為零，又分解等價(jià)于高斯消去法，，由引理可知，矩陣的順序主子式均不為零。5．高斯消去法第步等價(jià)于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對(duì)角元不為零，可進(jìn)行第步消元，，。6．，則是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱(chēng)的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。7．(1)，(2)，又有當(dāng)時(shí)，故是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，(3)，(4)若，令，由于和也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上，(5)，(6)對(duì)所有均有對(duì)稱(chēng)正定，。8．，其中與位置互換。9．對(duì)施行初等列變換，，進(jìn)行次初等列變換后，令即為所求。10．(a)若為階可逆下三角矩陣，，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，算法即從第一行開(kāi)始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，算法即從最后一行開(kāi)始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法，共進(jìn)行次乘除法，(c)。11．(a)，由此可知也是對(duì)稱(chēng)矩陣，，由此可知也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，(b)，得出唯一正對(duì)角元的下三角陣使得。12．。13．。14．。15．按高斯消去法，無(wú)法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。16．，解得。17．高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。18．。19．(a),(b)。20．，，，故是上的向量范數(shù)。21．，故，故是上的向量范數(shù)。22．。23．充分性：若有和線性相關(guān)且，即，代入得；唯一性：若有，由于，兩邊同時(shí)平方可得出，消去共同項(xiàng)可得，當(dāng)且僅當(dāng)和線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。24．以上圖像分別為，，。25．。26．由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令>0，>0，則對(duì)任意，均有不等式。27．若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。28．。29．，則，故存在，。30．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最小值7。31．(a)，(b),，。32．，。33．。34．。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1.(a)Jacobi迭代矩陣特征方程為特征根均小于 1，Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣特征方程為特征根均小于 1，Gauss-Seidel迭代法收斂。(b)Jacobi迭代格式為其中B如上，，迭代18次得，Gauss-Seidel迭代格式為其中G如上，，迭代8次得。2.證： ，則 故，因此，即級(jí)數(shù)收斂。證：設(shè)，一方面，，另一方面，因此，即序列收斂于零。證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。(a)譜半徑，Jacobi迭代法不收斂；矩陣A對(duì)稱(chēng)正定，故 Gauss-Seidel迭代法收斂。譜半徑，Jacobi迭代法收斂；譜半徑，Gauss-Seidel迭代法不收斂；證：必要性，則，對(duì)任意向量，有因而有 ，即。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為 A的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有7.8.

。A