橢圓地定義及幾何性質(zhì)

標準文案標準文案橢圓【教學目標】（1）掌握橢圓的定義（2）掌握橢圓的幾何性質(zhì)（3）掌握求橢圓的標準方程【教學重難點】（1）橢圓的離心率有關的問題（2）橢圓焦點三角形面積的求法【教學過程】一、知識點梳理知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點尸到兩個定點耳、的距離之和等于常數(shù)忙片|+|F%]=2"二網(wǎng)為],這個動點F的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若閡+用二忸闖，則動點尸的軌跡為線段及瑪；若因十歸國T啊L則動點尸的軌跡無圖形。知識點二：橢圓的標準方程TOC\o"1-5"\h\z.當焦點在工軸上時，橢圓的標準方程：，（厘：“>,其中；22匕+三=1.當焦點在尸軸上時，橢圓的標準方程：后，g：s，0）,其中；注意：1．只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；.在橢圓的兩種標準方程中，都有值>i>0和1=履一匕.橢圓的焦點總在長軸上當焦點在工軸上時，橢圓的焦點坐標為,；當焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為（0戶），。知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

對于橢圓標準方程口卜,把換成一，或把換成一，或把、同時換成一一，方程都不變，所以橢圓口b對于橢圓標準方程口卜,把換成一，或把換成一，或把、同時換成一一，方程都不變，所以橢圓口b是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。講練結合：（2）范圍橢圓上所有的點都位于直線土和土所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足（3）頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓門（>>）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為②橢圓門（一a）,（a，），(01),(0）。③線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，（a，），(01),(0）。③線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率2cc①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作0②因為>>0所以的取值范圍是①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作0②因為>>0所以的取值范圍是vv°越接近，則就越接近，從而b越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于,就越接近，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當時，,這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為橢圓1薩的圖像中線段的幾何特征(如下圖):1^11_1^1()|郎川空|二巴|H此|()|期|二同二一()巴可書周二”巴司=忸/1=4,十七,;F+~2~1知識點四：橢圓以心與(>>)的區(qū)別和聯(lián)系標準方程W+二=1俗>b>Q)ab卻二=1似>占>6ba圖形民性質(zhì)隹點/1*、八、、及㈠⑼，用(Q，f),焦距[&及[=2ig=Jd—V)1號瑪卜勿(=■〃)范圍㈤汽對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點曲功電土碩,,軸長軸長=b，短軸長離心率曰二三（0〈曰<1）a準線方程焦半徑1尸/1=,+事不|尸月1=1+",-2+f=1注意：橢圓3b,（>>）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間e=—（0<<1）的關系都有>>和口,c不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。二、考點分析考點一：橢圓的定義【例】方程%曄?2■■y2?%隆?2?■y2■10化簡的結果是。【例】已知,，，，動點滿足，則點的軌跡為（）圓橢圓線段直線x2y2【變式訓練】已知橢圓-+4-上的一點到橢圓一個焦點的距離為則到另一焦點169距離為?？键c二：求橢圓的標準方程【例】若橢圓經(jīng)過點，，3則該橢圓的標準方程為?！纠縙ABC的底邊BC■16,AC和AB兩邊上中線長之和為，求此三角形重心G的軌跡和頂點A的軌跡.

【例】求以橢圓9X2■5w■45的焦點為焦點，且經(jīng)過點M(2,46)的橢圓的標準方程.【變式訓練】、焦點在坐標軸上，且a2■13,c2■12的橢圓的標準方程為。、焦點在％軸上，a:b■2:1，c■v6橢圓的標準方程為。、已知三點(5)、F(-,)、F(,)，求以F、F為焦點且過點的橢圓的

1212標準方程；、已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為435和235，過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.考點三：利用標準方程確定參數(shù)【例】若方程就【例】若方程就()表示圓，則實數(shù)的取值是()表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是()表示焦點在型上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是()表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是【例】橢圓4x2■25y2■100的長軸長等于，短軸長等于頂點坐標是焦點的坐標是焦距是,離心率等于。

x2y2【變式訓練】1橢圓—■—■1的焦距為2,1則m4m、橢圓5x2■ky2■5的一個焦點是(0,2),那么k■考點四：離心率的有關問題一、求離心率1、用定義(求出或找到)求離心率()已知橢圓CQQi,(a■b■0)的兩個焦點分別為勺(?，一、求離心率1、用定義(求出或找到)求離心率()已知橢圓CQQi,(a■b■0)的兩個焦點分別為勺(?，0)，F(xiàn)2(1，0)且橢圓C41經(jīng)過點P(3,3)則橢圓C的離心率x2y23a()設F1F2是橢圓E:a■高.13■b■0)的左、右焦點，P為直線x■工上一點，■空勺是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為(x2y2()橢圓a■卷■1(>>0的左、右頂點分別是左、右焦點分別是，。若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()在給定的橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為亞，焦點到相應準線距離為，則該橢圓的離心率為、根據(jù)題設條件構造、的齊次式方程，解出ema2■nac■pc2■0■m■—?■p(c)2■0maa(1)若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(()在平面直角坐標系％°y中橢圓C的標準方程為上■y2■1(a■0,b■0)右焦點為a2b2F右準線為l短軸的一個端點為B設原點到直線BF的距離為dF至Ijl的距離為d12若d■*6d則橢圓C的離心率為21C)設橢圓的兩個焦點分別為F過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若三角形為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為。二)、求離心率的范圍(關鍵是建立離心率相關不等式)、直接根據(jù)題意建立a,c不等關系求解TOC\o"1-5"\h\z()橢圓一■y~■1(a■b■0)的焦點為F,F，兩條準線與X軸的交點分別為M，N,a2b212若MN■■F1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是。()已知F，F(xiàn)為橢圓三■y2■l?■b■0■勺焦點，B為橢圓短軸上的端點，12a2b2BF?BF■1FF，求橢圓離心率的取值范圍。12212、借助平面幾何關系(或圓錐曲線之間的數(shù)形結合)建立a,c不等關系求解—4—4—設f,f分別是橢圓上■y2■1(a?b印)的左、右焦點，若在其右準線上存在尸，使12a2b2線段PF的中垂線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是。12、利用圓錐曲線相關性質(zhì)建立a,c不等關系求解(焦半徑或橫縱坐標范圍建立不等式)X2y2()橢圓一■y~■1(>>)的兩個焦點為、若為其上一點，且a2b21212則橢圓離心率的取值范圍為。X2y2()已知橢圓一■y~■1(a■b■0)右頂為點在橢圓上，為坐標原點，且垂直a2b2于，求橢圓的離心率的取值范圍。()橢圓蘭■^2■1(a■b■0)和圓X2■y2■工■cH(其中c為橢圓半焦距)有四個a2b2■2■不同的交點，求橢圓的離心率的取值范圍。

考點五：橢圓焦點三角形面積公式的應用TOC\o"1-5"\h\z【例】已知橢圓方程?■y2■1ta■b■0■，長軸端點為A,A,焦點為F,F,Pa2b21212是橢圓上一點，■APA■■,■FPF■■.求：?FPF的面積（用a、b、■表示）.121212分析：求面積要結合余弦定理及定義求角■的兩鄰邊，從而利用S.-1absinC求面積.x2y2【變式訓練】、若是橢圓—■匚■1上的一點，F(xiàn)、F是其焦點，且■FPF■60n100641212求^FPF的面積、已知x2y2是橢圓25■y、已知x2y2是橢圓25■y-■1上的點,F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，若PF■PF11——2■—IPFI■PFI212貝必F1PF2的面積為（課后作業(yè)：一、選擇題已知,已知,,,）動點滿足A圓橢圓B線段,則點的軌跡為直線Dx2yx2y2已知漆而■藍■1表示橢圓，則的取值范圍是2、橢圓二十22與橢圓工十之■■■有（）3223相等的焦距相同的離心率相同的準線8橢圓正■上■1與三■■1（k的關系為（2599■■25■■相等的焦距相同的的焦點相同的準線軸二、填空題以上都不對）有相等的長軸、短x2x2y2、橢圓—■4-■1左右焦點為169為過的弦，則■的周長為、求滿足以下條件的橢圓的標準方程長軸長為，短軸長為長軸是短軸的倍，且過點，經(jīng)過點，，，、若/頂點B、若/頂點B坐標分別為的重心的軌跡方程為邊上的中線長之和為0則,x242，過點作軸的垂線交橢圓于橢圓菊■唱叫"b■0）的左右焦點分別是，過點作軸的垂線交橢圓于點。若N60則橢圓的離心率為、已知正方形，則以、為焦點，且過C兩點的橢圓的的離心率為橢圓方程為已知橢圓的方程為田■與■1,點是橢圓上的點且■FPF2■60?求產(chǎn)F2的面積—若橢圓的短軸為，它的一個焦點為1則滿足△為等邊三角形的橢圓的離心率為一TOC\o"1-5"\h\zx2y2橢圓loo■|6■1上的點到它的左焦點的距離是，那么點到它的右焦點的距離是1已知橢圓上■三■1（。■5）的兩個焦點為F、F，且FF■8，弦過點F，則a22512121△ABF2的周長。3中心在原點、長軸是短軸的兩倍一條準線方程為1■4那么這個橢圓的方程為。、橢圓的兩個焦點三等分它