工程彈塑性力學(xué)教學(xué)課件第二章應(yīng)力狀態(tài)理論

第二章應(yīng)力狀態(tài)理論

2.1體力和面力

2.2應(yīng)力和一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

2.3與坐標(biāo)傾斜的微分面上的應(yīng)力

2.4平衡微分方程應(yīng)力邊界條件

2.5轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的變換

2.6主應(yīng)力應(yīng)力張量不變量＊2.7應(yīng)力二次曲面

2.8最大切應(yīng)力第二章應(yīng)力狀態(tài)理論彈性力學(xué)所研究的都是超靜定問(wèn)題。要解決超靜定問(wèn)題，必須考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面的條件，缺一不可。本章的任務(wù)是要從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，分析一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并建立連續(xù)介質(zhì)力學(xué)普遍適用的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。在本章的推導(dǎo)中，將忽略物體的變形，顯然這對(duì)小變形物體來(lái)說(shuō)是不會(huì)引起明顯誤差的。2.1體力和面力

作用在物體上的外力有兩種類型，即體力和面力。

1、體力：分布在物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)上的力（重力、慣性力和電磁力等）

2、面力：作用在物體表面上的力（風(fēng)力、液體壓力、物體間接觸壓力等）體力分量投影于坐標(biāo)軸M體力和體力矢量投影于坐標(biāo)軸面力矢量面力和面力矢量面力分量?jī)?nèi)力內(nèi)力和應(yīng)力2.2應(yīng)力和一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)1、內(nèi)力：物體受外界作用，在物體內(nèi)部不同部分之間產(chǎn)生的相互作用力正應(yīng)力切應(yīng)力投影于法線和平面投影于坐標(biāo)軸內(nèi)力和應(yīng)力凡提到應(yīng)力，應(yīng)同時(shí)指明它是對(duì)物體內(nèi)哪一點(diǎn)并過(guò)該點(diǎn)的哪一個(gè)微分面來(lái)說(shuō)的。因?yàn)?，通過(guò)物體內(nèi)同一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)方位不同的微分面。顯然，各微分面上的應(yīng)力一般說(shuō)是不同的。物體內(nèi)同點(diǎn)各微分面上的應(yīng)力情況，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。為了表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，過(guò)物體內(nèi)某一點(diǎn)M分別作3個(gè)彼此垂直的微分面，使之與坐標(biāo)平面平行此3個(gè)微分面分別把物體在M點(diǎn)的微分鄰域分割成前后、左右以及上下兩部分（假定取x軸垂直紙面而指向讀者，z軸垂直向上）我們只保留其表面外法線方向和坐標(biāo)軸正方向一致的那一部分（下圖）三個(gè)個(gè)特特殊殊面面上上的的應(yīng)應(yīng)力力應(yīng)力力張張量量為了了表表示示一一點(diǎn)點(diǎn)的的應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)，，過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)M作三三個(gè)個(gè)與與坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面平平行行的的三三個(gè)個(gè)特特殊殊微微分分面面。。分分別別將將物物體體分分成成前前后后、、上上下下、、左左右右兩兩個(gè)個(gè)部部分分，，保保留留外外法法線線方方向向與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸正正方方向向一一致致的的部部分分，，稱稱為為M點(diǎn)的的三三個(gè)個(gè)特特殊殊微微分分面面上上的的9個(gè)應(yīng)應(yīng)力力分分量量，，即即應(yīng)力力張張量量。正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)的的規(guī)規(guī)定定：：當(dāng)微微分分面面外外法法線線指指向向與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸正正方方向向一一致致時(shí)時(shí)，，應(yīng)應(yīng)力力分分量量沿沿正正方方向向?yàn)闉檎?；；?dāng)當(dāng)微微分分外外法法線線指指向向與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸負(fù)負(fù)方方向向一一致致，，則則應(yīng)應(yīng)力力分分量量以以沿沿坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸負(fù)負(fù)方方向向?yàn)闉檎?。。正?yīng)力力的下下標(biāo)表表示作作用面面的方方位和和它的的方向向切應(yīng)力力的下下標(biāo)第第一個(gè)個(gè)表示示作用用面的的方位位，第第二個(gè)個(gè)下標(biāo)標(biāo)表示示它的的方向向下標(biāo)的的含義義：物體的受力內(nèi)力外力集度應(yīng)力體力面力正應(yīng)力剪應(yīng)力集度體力矢量集度面力矢量2.3與坐標(biāo)標(biāo)傾斜斜的微微分面面上的的應(yīng)力力abcMxyz由平衡條件，得同理2.4平衡微微分方方程應(yīng)應(yīng)力邊邊界條條件如果一一物體體在外外力（（包括括體力力和面面力））作用用下處處于平平衡狀狀態(tài)，，則將將其分分割成成若干干個(gè)任任意形形狀的的單元元體以以后，，每一一個(gè)單單元體體仍然然是平平衡的的；反反之，，分割割后每每一個(gè)個(gè)單元元體的的平衡衡，也也保證證了整整個(gè)物物體的的平衡衡?；谶@這樣的的理由由，假假想穿穿過(guò)物物體作作三組組分別別與3個(gè)坐標(biāo)標(biāo)平面面平行行的截截面，，在物物體內(nèi)內(nèi)部，，它們們把物物體分分割成成無(wú)數(shù)數(shù)個(gè)微微分平平行六六面體體；在在靠近近物體體的表表面處處，只只要這這三組組平面面取得得足夠夠密，，則不不失一一般性性地被被切割割成微微分四四面體體（見(jiàn)見(jiàn)下圖圖）。。如果我我們分分別考考慮物物體內(nèi)內(nèi)部任任意一一個(gè)微微分平平行六六面體體和表表面處處任意意一個(gè)個(gè)微分分四面面體的的平衡衡，可可以導(dǎo)導(dǎo)得平平衡微微分方方程和和應(yīng)力力邊界界條件件。AABB物體受受外力力作用用處于于平衡衡狀態(tài)態(tài)也保保證了了單元元體的的平衡衡分別在物體體內(nèi)取任意意一個(gè)平行行六面體和和表面處一一個(gè)四面體體分析其平平衡應(yīng)滿足平衡方程：考慮，有同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應(yīng)力互等等定理應(yīng)力邊界條條件：表示物體體在邊界上上應(yīng)力與面面力之間的平衡關(guān)關(guān)系。2.5轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力力分量的變變換當(dāng)坐標(biāo)系改改變時(shí),同一點(diǎn)的各各應(yīng)力分量量應(yīng)作如何何改變易證明,如坐標(biāo)系作作平移變換換,同一點(diǎn)的各各應(yīng)力分量量是不會(huì)改改變的,因此只考慮慮轉(zhuǎn)軸的情情形§2-6主應(yīng)力應(yīng)應(yīng)力張量量不變量既然物體內(nèi)內(nèi)任一確定定點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量量要隨著坐坐標(biāo)系的旋旋轉(zhuǎn)而分別別改變，于于是就產(chǎn)生生了一個(gè)問(wèn)問(wèn)題：對(duì)于于這任一確確定的點(diǎn)，，能否找到到這樣一個(gè)個(gè)坐標(biāo)系，，在這個(gè)坐坐標(biāo)系下，，該點(diǎn)只有有正應(yīng)力分分量，而切切應(yīng)力分量量為零；也也就是說(shuō)，，通過(guò)該點(diǎn)點(diǎn)，能否找找到這樣3個(gè)互相垂直直的微分面面，其上只只有正應(yīng)力力而無(wú)切應(yīng)應(yīng)力?；卮鹗强隙ǘǖ?。我們們把這樣的的微分面稱稱為主平面面，其法線線方向稱為為應(yīng)力主方方向，而其其上的應(yīng)力力稱為主應(yīng)應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力力和應(yīng)力主主方向的定定義去建立立它們所滿滿足的方程程。設(shè)通過(guò)M點(diǎn)（設(shè)坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)O與其重合））的與坐標(biāo)標(biāo)傾斜的微微分面abc為主微分平平面其法線方向向（即主方方向）v的三個(gè)方向余余弦為l，m，n，而其上的應(yīng)應(yīng)力矢量f-v（即主應(yīng)力））的三個(gè)分量量為fvx，fvy，fvz。2.6主應(yīng)力應(yīng)應(yīng)力張量不變變量通過(guò)一點(diǎn)M，可以找到3個(gè)互相垂直的的微分面，其其上