習(xí)題1：全稱量詞與存在量詞

全稱量詞與存在量詞eq\a\vs4\al(1.)(2022·唐山調(diào)研)將“x2＋y2≥2xy”改寫(xiě)成全稱命題，下列說(shuō)法正確的是()A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．?x0，y0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≥2x0y0C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xyD．?x0<0，y0<0，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≤2x0y0答案：Aeq\a\vs4\al(2.)下列特稱命題是假命題的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D．有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)解析：選B.對(duì)于任意的x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0恒成立．eq\a\vs4\al(3.)命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”寫(xiě)成特稱命題為_(kāi)_________．解析：正確運(yùn)用特稱命題的表述形式．答案：?x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0eq\a\vs4\al(4.)命題p：?x∈R，x2＋2x＋5<0是__________(填“全稱命題”或“特稱命題”)，它是__________命題(填“真”或“假”)，它的否定命題￢p：__________，它是__________命題(填“真”或“假”)．解析：因?yàn)閤2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，所以命題p是假命題．答案：特稱命題假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]eq\a\vs4\al(1.)下列命題不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對(duì)有些x∈R，使得x2>3C．任選一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3答案：Ceq\a\vs4\al(2.)下列命題中的假命題是()A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R，2x>0解析：選C.當(dāng)x≤0時(shí)，x3≤0，故C為假命題．eq\a\vs4\al(3.)命題“一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”的否定是()A．一次函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)B．非一次函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)C．有些一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)D．有些一次函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)解析：選D.命題的否定只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．eq\a\vs4\al(4.)“等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等”的否定是__________．解析：命題“等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等”是全稱命題，其否定是“存在一對(duì)等圓，其面積不相等或周長(zhǎng)不相等．”答案：存在一對(duì)等圓，其面積不相等或周長(zhǎng)不相等eq\a\vs4\al(5.)命題“存在實(shí)數(shù)x，y，使得x＋y>1”，用符號(hào)表示為_(kāi)_________；此命題的否定是__________(用符號(hào)表示)，是__________命題(填“真”或“假”)．解析：原命題為真，所以它的否定為假．也可以用線性規(guī)劃的知識(shí)判斷．答案：?x，y∈R，x＋y>1?x，y∈R，x＋y≤1假eq\a\vs4\al(6.)判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并用量詞符號(hào)“?”、“?”表示．(1)兩個(gè)有理數(shù)之間，都有一個(gè)無(wú)理數(shù)；(2)有一個(gè)凸n邊形，外角和等于180°；(3)存在一個(gè)三棱錐，使得它的每個(gè)側(cè)面都是直角三角形．解：(1)全稱命題：?兩個(gè)有理數(shù)之間，都有一個(gè)無(wú)理數(shù)．(2)特稱命題：?一個(gè)凸n邊形x0，x0的外角和等于180°.(3)特稱命題：?一個(gè)三棱錐x0，x0的每個(gè)側(cè)面都是直角三角形．[B級(jí)能力提升]eq\a\vs4\al(7.)下列命題中，是正確的全稱命題的是()A．對(duì)任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對(duì)角線相等C．?x∈R，eq\r(x2)＝xD．對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)解析：選中含有全稱量詞“任意”，因?yàn)閍2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命題；B、D在敘述上沒(méi)有全稱量詞，實(shí)際上是指“所有的”，菱形的對(duì)角線不相等；C是特稱命題．所以選D.eq\a\vs4\al(8.)對(duì)下列命題的否定說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．p：對(duì)任意x∈R，x3－x2＋1≤0；￢p：存在x0∈R，xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋1>0B．p：有些矩形是正方形；￢p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形為正三角形；￢p：所有的三角形不都是正三角形D．p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋2≤0；￢p：?x∈R，x2＋x＋2>0解析：選C.“有的三角形為正三角形”為特稱命題，其否定為全稱命題；所有的三角形都不是正三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．eq\a\vs4\al(9.)(2022·臨汾質(zhì)檢)若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．解析：依題意有：0<a2－1<1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1>0,a2－1<1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1,－\r(2)<a<\r(2)))?－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).答案：(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))eq\a\vs4\al(10.)寫(xiě)出下列各命題的否命題和命題的否定，并判斷真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，則a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，則a＝b；(3)若b2＝ac，則a，b，c是等比數(shù)列．解：(1)否命題：?a，b∈R，若a≠b，則a2≠ab，假；命題的否定：?a，b∈R，若a＝b，則a2≠ab，假；(2)否命題：若a·c≠b·c，則a≠b，真；命題的否定：?a，b，c，若a·c＝b·c，則a≠b，假；(3)否命題：若b2≠ac，則a，b，c不是等比數(shù)列，真；命題的否定：?a，b，c∈R，若b2＝ac，則a，b，c不是等比數(shù)列，真．eq\a\vs4\al(11.)(創(chuàng)新題)(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，