材料力學(xué)第12章能量法modified

材料力第十第十二能量 材料力學(xué)－第12章能量 引AC幾何法求位移Δy

如何求水平位移Δx 2.幾何分析（伸長、角度 材料力學(xué)－第12章能量 引如如何確定下圖中載荷作用點的位移RO RO 材料力學(xué)－第12章能量 引應(yīng)用廣泛的能量方法，可以確構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上任不僅可以確定特定點的位移，而且可確定梁的位ABABCC 材料力學(xué)－第12§12-2§12-2變能、余 材料力學(xué)－第12計算外力功的基本公應(yīng)變余應(yīng)變能的疊加原 材料力學(xué)－第12 材料力學(xué)－第12作用在彈性桿件上的力，隨著桿件變形的增加而加，此時，力所作的功為變力功0FFF W FΔΔ 對于材料滿 定律、又在小變形條件下工作的彈桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)這時，力所作的變力功

W1FΔ 材料力學(xué)－第12變力功 常力功 FF

W＝1F'2 22*以上表達式中，力和位移均為廣義力和廣義位 材料力學(xué)－第12廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)W2

F 廣義力 廣義位F 集中力 線位M 力偶M(矩 角位MT T 扭矩 扭轉(zhuǎn)T T 材料力學(xué)－第12廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)W2

F 廣義力 廣義位從量綱的角度分 WN 集中

F

線位

力偶（矩）M

N

T

N

扭轉(zhuǎn)

材料力學(xué)－第12 材料力學(xué)－第12桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能量，于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對外作功的能力，這種能量稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能(lasticngy 材料力學(xué)－第12應(yīng)變能的計odod

V 1Fd

oV

1

F11

1

1 材料力學(xué)－第12對于拉對于拉伸和壓縮桿

FN2

V＝l1F 0 l1

dx

l1

dx

l1

FN

F＝＝

0

0 N

0

N

1

1

V1

FN

F＝V ＝V

2A

NN 材料力學(xué)－第12對于承受扭轉(zhuǎn)對于承受扭轉(zhuǎn)的TTdV1TxdεdTx2dVdV1Txε2p2p22

TVεVε0P

Tx

T ε＝2

ppp Tp 材材料力學(xué)－第12章能量§12-2dV1Mxdε2 MdVεM2 2VMM 0Mε＝21VMxyεdV1Iz M2y2Mzz材料力學(xué)－第12ll例題llΔF 材料力學(xué)－第12llll思路：功能守

Fdllll2lll22lNNlF Fl EA

lFNlNlFlEA

F3 F3兩桿軸力

2FN

tanl

EA

1F應(yīng)變能

V

Fd

l3 d

ΔF幾何非線性彈性問題：材料線彈性，但載荷和位移呈非線性關(guān)ΔF物理非線性彈性問題：材料非線彈 材料力學(xué)－第12例題qll 材料力學(xué)－第12解

梁任一截面上的彎矩 M(x)

q(lxx2 llM(x) l

V

解

w(x)

ql4

) l

l4 l

q2l534VW qdx )dx34 材料力學(xué)－第12 材料力學(xué)－第12一般彈性情況下，力所作的變力功陰影代表什么 F 對于一般彈性材料，力和位移不一定成線性關(guān)這時，力所作的變力功

W

0材料應(yīng)變能密度

0 材料力學(xué)－第12F余功 Δ得余功：Wc

0σ1VW 1 類似的，可定義余能密度：c

1 0O 材料力學(xué)－第12FΔFFΔ 對余功和余能的討論 材料力學(xué)－第12 材料力學(xué)－第12FFV dx

T2

dx

M2(x)

l

FM T＋ 可疊加 可疊加 材料力學(xué)－第12疊加原理的應(yīng)用限線線彈性，位移可以疊FFFΔOΔOΔOΔ2Δ=Δ1+ 材材料力學(xué)－第12章能量§12-2線彈性，位移可以疊加，但是彈性能不能疊FFFOΔΔOVΔOΔVV材料力學(xué)－第12FFFFF OΔOΔΔOΔ1+2 材料力學(xué)－第12FAFAABABM

?V?

VFFABM 材料力學(xué)－第12FC C 課堂思考

AMCBll AMCBll

V2 材料力學(xué)－第12例題例題4（利用應(yīng)變能求位移A

BC圖示簡支梁，在橫截面C處承受載荷F變能與截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù) 材料力學(xué)－第12 解

2 2

aM2()dx

lM2

)dx a

l

0

xdxa

(lx)

F2a2b2

材料力學(xué)－第12A梁的應(yīng)變能為

V

CF

B撓度計算據(jù)能量守恒定

FC2

F所以

C

位移大于0，說明載荷作正功。當彈性體上僅作用有一個義力時，該力所作之功恒為正，相應(yīng)位移必與廣義力同 材料力學(xué)－第12§12-3§12-3氏定 材料力學(xué)－第12卡卡氏第一定 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定卡氏第一定考慮集中載荷F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3…Fn用下的桿件系統(tǒng)（以梁為例設(shè)桿系發(fā)生變形后，載荷F1、F2、F3…Fn作用方向上位移分別為Δ1Δ2,Δ3Δn V

i

fidi應(yīng)變能Ve是位移Δi的函數(shù)，即

1,2,n 材料力學(xué)－第12卡氏第一定

§12-3卡氏定

Vi

fidi

1,2,n假設(shè)，第i個位移Δi發(fā)生微小增量dΔi

VVd

dW

i

Fid

d

Fi

材料力學(xué)－第12F

§12-3卡氏定卡氏第一定理

Fi

i

d 材料力學(xué)－第12例題例題lMe l彎曲剛度為EI的懸臂梁如圖所示，已知自由端轉(zhuǎn)角θ材料為線彈性，用卡氏第一定理確定梁端外力偶矩Me 材料力學(xué)－第12解：卡氏第一

Me

V 11E 應(yīng)變能密度：

y2 y

2 l2應(yīng)變能：V

dV

y2dAdx

E

l

y2dA

EIl l

l2 Me

l 材料力學(xué)－第12例題12例題12FlA 材料力學(xué)－第121解：卡氏第一定理F

F

ii

0

V

F2 F2

E2

N11N2

l2l2

l1

2

y

2l1

xVEA2 2 2 材料力學(xué)－第12余余能定理、卡氏第二定 材料力學(xué)－第12理

§12-3卡氏定nnF00

fi

nFiFi應(yīng)變能增

i

W

i

余能定理

材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定

i

idfi

假設(shè)，第i個載荷Fi發(fā)生微小增量dFi

dV

Vc

ii

dFVc

i

c ic i

dW

材料力學(xué)－第12卡氏第二定FΔFFΔ

§12-3卡氏定

i

c對于線彈性材料，Vc

i

（卡氏第二定理卡氏第二定理只適用于線彈性體 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定在小變形的情形下，桿件的橫截面上同時有軸力、彎在小變形的情形下，桿件的橫截面上同時有軸力、彎V

F dxF

T2

dx

M2(x)

q FFTiiil 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定V

F dxF

T2

dx

M2(x)

iiiPlGP 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定V

F dxF

T2

dx

M2(x)

iiilE 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定矩作用時，應(yīng)變能之和為V

F dxF

T2

dx

M2(x)

iFNxFNxdxliTxTxlPil x yydxlMxMxzz 材料力學(xué)－第12kk2k

§12-3卡氏定VεVε,Vε121n2n當應(yīng)用卡氏定理確定沒有外力作用的點之位移（或所求的位移與加力方向不一致）時，可在所求位移的點、沿著所求位移的方向假設(shè)一個力（廣義力）（包括載荷和假設(shè)力）作用下的應(yīng)變能的表達式，并將其對假設(shè)力求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令其中的假Fk,Fk,k kFk 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定 2根據(jù)所求載荷的位置與方向確定相對應(yīng)的載根據(jù)所有載

FN(x),M(x),T(x)寫出結(jié)構(gòu)應(yīng)變

FV dxF

T2

dx

M2(x)根據(jù)應(yīng)變能求位

l

ilFNxFNdxTxTdxlPilMyxMydxyilMzxMzxzi 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定例題12l圖示桁架，節(jié)點B承受載荷F作12lB 卡氏定理計算節(jié)點B的鉛垂位移。已知桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為。F 材料力學(xué)－第121212l

§12-3卡氏定靜力分析，確定桿件內(nèi)力FFN1BFN2FN2F F

(x)

F2(x)＝ N11 N2F2F2＝ N11 N2F2F2 F2 F2 F F F F系統(tǒng)總應(yīng)變能 N1

N2

2 B點鉛垂位移

2 21

材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定例題圖示簡支梁，承受均布載荷q作用。用卡氏定理計算橫截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。qAABlB 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定例題

解：

B對應(yīng)的廣義位移是B截面處的力偶MB因此，先假設(shè)B截面處有一力偶MB，進行應(yīng)能計算，并在最后令MB＝0qABl支座A的反ABl

2

MBl M 梁彎矩方程：M(x) B

AB則ABMB由卡式定理，并代入MB＝0，得截面B轉(zhuǎn)角

lqlx

x

ql3

0

l

材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定例題BABAC 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定 受力分析，AB段受彎，BC段彎壓組合因為軸力對剛架變形的影響很小，通常忽 不計x 所以，A點鉛垂位移的計算公式為xAyC

M(x)

M(x)其中

M(x1

M(x2)a 1 a

于是：

Fx1x1dx1

Faadx2

材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定例題例題RO RO圖示圓弧形曲梁AB，承受矩為Me的力偶作用試用卡氏定理計算截面B的水平位移。設(shè)彎曲度EI為常數(shù) 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定ROMe 曲梁受力后，橫截面一般有三個內(nèi)力分量：B F 軸力，剪力和彎矩。對于小曲率桿，影響變形的主要內(nèi)力是彎矩。因此，卡式定理中的應(yīng)變能由RO彎矩表達M2V2

M

M Bx

2 FR FRM

M

M()

R(1 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定Bx

V

M2 2

M()RO 其中RO

M()

FR(1cos)Me

R(1B點水平位0101M

BxFR因為FR0 0

2FR(1cos)Me

R(12MR2Bx

2Me

R(1

負值說明位移水平向 材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定關(guān)于卡氏定理的思F A

ll/2l/2A

（思考V(F,FA

材料力學(xué)－第12

§12-3卡氏定關(guān)于卡氏定理的思ll/2l/2 A

FAl/2l/2l/2l/2

（思考A

材料力學(xué)－第12§12-5§12-5位載荷 材料力學(xué)－第12確定結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向位移的單位載荷法（unit-loadmethod）。這種方法又稱為單位力法（unit-forcemethod）或莫爾積分法（Mohr’sintegration），qFTFT

FN

M(x),單位載荷對應(yīng)內(nèi) F0

FN(x),M(x),結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移

FN(x)FN(x)dx

M(x)M(x)dxT(x)T(x)

材料力學(xué)－第12單位載荷法的簡單證…M

F0

M(x)結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移：

M(x)M(x) 材料力學(xué)－第12…單位載荷法證…1.1.力的獨立作用原理，系統(tǒng)的應(yīng)變能只與最終的變形狀態(tài)有關(guān)，F(xiàn)02.2.從零位移狀態(tài)開始施荷所作的功相等F1,從微小變形狀態(tài)開始施加FF10…FF10…

M2(x)… 材料力學(xué)－第12單位載荷法的簡單證11F0F0…

內(nèi)力彎矩為

MM(x)MM(x)M(x)2外力作功

材料力學(xué)－第12單位載荷法的簡單證

F0再加F1, 內(nèi)力彎矩為

M

M2

M(x)M2(x)外力作功

W2

M(x)dx

dxF0 材料力學(xué)－第12單位載荷法的簡單證根根據(jù)力的獨立作用原理，系統(tǒng)的應(yīng)變能只與最終的形狀態(tài)有關(guān)，與加載的先后順序無關(guān)。于是，W1

M(x)M(x)2 考慮

W2

M(x)dx

M2(x)

F0

M(x)M(x) 材料力學(xué)－第12單位載荷法的應(yīng)用范單位載荷法可用于確定直桿和曲桿及其系統(tǒng)上任意點、沿意方向的線位移和角但桿件的材料必須滿足定律，并且在彈性范圍內(nèi)加載，這是因為在推導(dǎo)過程中，利用了彈性變形與彎矩、扭矩、軸力的線彈性關(guān)系式。單位載荷法中的單位力是廣義力，可以是力，也可以是力偶與之相對應(yīng)的位移也是廣義的，既可以是線位移是角位單位力和單位力偶的數(shù)值均為1若要求的是兩點(或兩截面間的相對位移，則在兩點(兩截面)處同時施加一對方向相反的單位 材料力學(xué)－第12例題例題求：B點的垂直位移與水平移(不考慮軸向力和剪力的影響 材料力學(xué)－第121.建立單位載荷系統(tǒng)1.建立單位載荷系統(tǒng)加在什么方向為求點的垂直位移和水平位移，必須首先建立各自的單位載荷系統(tǒng)，即在點分別施加1單位的鉛垂力和水平力。 材料力學(xué)－第12確定B點的鉛垂位移MM1 材料力學(xué)－第12確定B點的鉛垂位移M

M1M

2

FR31 By ds

dπ π

sin2 材料力學(xué)－第12確定B點的水平位移MM1(RRcos 材料力學(xué)－第12確定B點的水平位移MMM

1(RRcosMM

2

12

SBxS

ds0

πcoscos0

材料力學(xué)－第12例題例題圖示簡支梁，右半段受均布載荷q作用。用單位載荷法計算橫截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。ABABCaa 例題

材料力學(xué)－第121.建立單位載荷系統(tǒng) 加什么單位力加在哪里ABCaa 加在什ABCaa

C 材料力學(xué)－第12例題2.確定結(jié)構(gòu)內(nèi)例題2.確定結(jié)構(gòu)內(nèi)力qa/4

q3qa/

實際載荷產(chǎn)生彎矩

x2 x2

M(x1)

4

M(x2)

x2 1ABCa1ABCaa

單位載荷產(chǎn)生彎矩 M(x1)

x11 M(x) x2x 材料力學(xué)－第12例題實際載荷對應(yīng)彎例題實際載荷對應(yīng)彎矩M(xqaM(x)3qaxq單位載荷對應(yīng)彎矩

M(x1)

x11

M

)由單位載荷法公式，截面A轉(zhuǎn)角

aM

)dx

M

EI

EI

a

1

qx2 1

2

0

EI 2a

（負號說明轉(zhuǎn)角與假設(shè)力偶方向相反 材料力學(xué)－第12例題例題BaCBaCaq圖示剛架，承受均布 材料力學(xué)－第12BaCBaC 1.建立單位載荷系統(tǒng)加什么單位力加在哪里加在什么方向CA 1 為求點的水平位移，必須首先建立單位載荷系統(tǒng)，即在點施加水平方向上的單位力。C 材料力學(xué)－第12a

A

2.2.約束支反力實際載荷產(chǎn)生彎矩

M(x)

qa

M

)

q

單位載荷產(chǎn)生彎矩1M(x1)1x2x

M(x2)1

1 材料力學(xué)－第12 實際載荷產(chǎn)生彎矩B M(x)

qa

M

)

q

單位載荷產(chǎn)生彎矩

M(x1)1

M(x2)1

B

ax

xdx

ax

qx23.由單位載3.由單位載荷法公式，截面A水平位1

EI

EI

（正號說明水平位移與假設(shè)單位力方向相同1 材料力學(xué)－第12例題A例題AaDCB 材料力學(xué)－第12 1.建立1.建立單位載荷系統(tǒng)a

加什么單位力加在哪里加在什么方向Aa

B 1a 計算B桿的轉(zhuǎn)角，需要施加單位力偶。因為是二力桿，桿件只是剛性轉(zhuǎn)動，沒有撓曲變形。因此在桿件兩端節(jié)點施加一對大小相等，方向相反的集中力1a，形成

單位力偶 材料力學(xué)－第12 4a

2.確定結(jié)構(gòu)內(nèi) 實際載荷對應(yīng)的軸力

FN1FN3

FN4 單位載荷對應(yīng)的軸力2 2a

FN1

a

FN2

FN3a

FN4 材料力學(xué)－第12A1Ba42D3C A1Ba42D3C FN1

FN3

單位載荷對應(yīng)的軸力 FN1

a

FN2

FN33.由單3.由單位載荷法公式，BC桿轉(zhuǎn)

FN4

2

44

FNiF1 FN3FN

F

C

（反，即沿順時針方向轉(zhuǎn)動。）材料力學(xué)－第12§12-6§12-6乘 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘先來看單位載荷例題例題BaCBaC 圖示剛架，承受均布 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘單位載荷法中的解法BaC 實BaC M(x)qa M(x)qaxq 單位載荷產(chǎn)生彎矩

M(x1)1所求水平位移

M(x2)1

2 A2

M(x)M 缺點：積分比較復(fù)雜、繁 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘BaC在結(jié)構(gòu)上BaC實際載荷產(chǎn)生彎矩 M(x)qa M(x)qaxq 單位載荷產(chǎn)生彎矩

M(x1)1所求水平位移

M(x2)1

AL

M(x)M是否有可能將繁瑣的積分計算轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膱D形相乘 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘圖乘法的方法與結(jié) 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘當EI＝const.

MMdx＝

因為單位載荷引起的內(nèi)力多為線性函數(shù)，當M線性函數(shù) MM

Mdx

MM 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘MMCMMCOx

MMdx

lM(x)M＝

lM(x)(b

M(x)b＝＝EIblM(x)dx M ＝＝1b dM

表示微元面M(x)bO

lM(x)dxM(x)圖的面M(x)xdx表示微元面積對坐標軸M的靜x取M圖的形心C的橫坐標為x 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘MMM

MMdx

lM(x)M

＝

b

xC

M

M

圖的面

表示M圖的形心C的橫坐1

bkxCM(x)b

＝1MllMMdx1MMCb 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘lMMlMMdxM——載荷內(nèi)力圖的面MC ——單位內(nèi)力圖中與載荷內(nèi)力形心坐標對應(yīng)的內(nèi)力數(shù)M(xM(x)CxMOxMCbMO 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘圖乘法的應(yīng)用條 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘前提：等截面直桿(EA、GIP、,Mx應(yīng)用條

,M 等為線性函數(shù)M

M對載荷內(nèi)力圖的要求 x直線？曲線 要不要分段 MCbMCb直線？曲線 要不要分段 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘如果單位載荷產(chǎn)生的彎矩由多段直線構(gòu)lMMdxMMnin

逐段疊M

1 MM

MC1O

CMC3x 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘M M M

1常用圖形的面積置可以查表獲得

MMC1O

MC

MC3x 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘1.三角 2.二次拋物

y3.二次拋物 4.二次拋物線之 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘例題圖示簡支梁，承受均布載荷q作用，用圖乘法計算中點截面D的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)qAADBl/2l/2 例題

材料力學(xué)－第12§12-6圖乘采用圖乘法怎樣加單位力 哪些圖形相乘要畫哪些內(nèi)力圖？怎樣相乘qAADBl/2l/2根據(jù)單位載荷法，求解D截面鉛垂位移，需要在D點加豎直方向上的單位力。 例題

材料力學(xué)－第12§12-6圖乘問題：如何圖乘ADB 實際載荷彎矩ADB M(x) ql2/8

均布載荷q引起的彎矩必然是二次拋物B 單位載荷彎矩圖l/4 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘例題

lMMlMMdxM ql2/8

問題1：是否需要分段問題2：如何分段，分幾段根據(jù)單位載荷彎矩圖的直線段分段，以D截面為分界面，分兩l/4

問題3何確定

MC 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘例題

lMMlMMdxM 25 25lql2/8 5 MDB

問題3何確定

MC載荷彎矩圖對稱，左右面積均

2

3 形心處對應(yīng)的單位載荷彎l/2ll/2l/2

l/4

MC

M

MC

5l 根據(jù)圖乘法公式： 1MC1

MC2

2 5l

EI24 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘例題例題qCBlAlCBlAl求：B點的水平位移 材料力學(xué)－第12例題如何建立單例題如何建立單位載荷系統(tǒng)因為求B點水平位移，因此在B點水平方向加單位qCBl載CBl載荷系A(chǔ) ll單位力系llA 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘BCl載荷系A(chǔ)BqlBql2/8AlCl

qlql 為了計算曲線彎矩圖面積和確定形 位置方便，應(yīng)用疊加原理將集中均布載荷的彎矩圖分 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘lBCA lBCA l單位力系lA 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘Bql2Bql2/8ABClA Cql2

ql2 l lAlBCAlBCA 材料力學(xué)－第12§12-6圖乘 qlql2/8lAlBl/2CA1MM1MMdx1