機械制圖之第二章-點線面基礎(chǔ)知識和投影

第2章

點、直線和平面的投影

我們知道，點、直線和平面是形成立體的基本幾何元素，因此，在學(xué)習(xí)形體的投影之前，我們首先要掌握這些幾何元素的投影規(guī)律。第1頁，共69頁。本章主要內(nèi)容

1.正投影的投影特性2.點的投影規(guī)律3.各類直線的投影特性4.各類平面的投影特性第2頁，共69頁。

§2.1投影的基本知識本節(jié)主要內(nèi)容：投影法的形成與分類

正投影的投影特性第3頁，共69頁。一、投影法的形成光源——投影中心光線——投射線預(yù)設(shè)的平面——投影面得到的圖形——投影由投影現(xiàn)象抽象出投影法：第4頁，共69頁。物體位置改變，投影大小也改變思考:

1、在中心投影下，投影能否反映物體的真實大小?

2、中心投影能否滿足繪制工程圖樣的要求?第5頁，共69頁。投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法畫透視圖畫軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖二、投影法的分類第6頁，共69頁。正投影

斜投影中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。第7頁，共69頁。三、正投影的基本特性真實性積聚性類似性第8頁，共69頁。四、投影體系一般要從幾個方向觀察物體，才能表達清楚物體的形狀？三個方向第9頁，共69頁。單一投影面：單一投影面不能完全確定物體的形狀和大小第10頁，共69頁。兩面投影體系：兩個投影面有時也不能完全確定物體的形狀。第11頁，共69頁。三面投影體系：V——正投影面W——側(cè)投影面H——水平投影面V、H交線——OX軸H、W交線——OY軸V、W交線——OZ軸第12頁，共69頁。三面投影第13頁，共69頁?！?.2點的投影點的投影仍是點。第14頁，共69頁。一、點的三面投影空間點用大寫字母表示：如A。水平投影用相應(yīng)小寫字母：如a。正面投影用相應(yīng)小寫字母加一撇：如aˊ。側(cè)面投影用相應(yīng)小寫字母加兩撇：如a〞。●●●XYZOVHWAaaaxaazay●第15頁，共69頁。HYH

WYWZVX投影面的展開ayayaaO●x●●azaa

線框省略不畫●●●XYZOVHWAaaaxaazay●繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90o不動繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90o第16頁，共69頁。點的三面投影YWZXYHaˊa〞aaxazaywayhoY相等的保證方法有：1．畫45度輔助線2．用圓規(guī)量取第17頁，共69頁。二、點的三面投影和坐標(biāo)關(guān)系水平投影a反映A點X和Y的坐標(biāo)；正面投影a‘反映A點X和Z的坐標(biāo)；側(cè)面投影a"反映A點Y和Z的坐標(biāo)?！瘛瘛馲YZOVHWAaaaxaazay●xyz換言之：A點的水平投影a由X、Y坐標(biāo)確定；A點的下面投影aˊ由X、Z坐標(biāo)確定；A點的側(cè)面投影a〞由Y、Z坐標(biāo)確定。第18頁，共69頁。1.aa⊥OX軸，aa⊥OZ軸aax=aaz=y=Aa（A到V面的距離）aax=aay=z=Aa（A到H面的距離）Z●●YWazaXYHayWOaaxayHa●aay=aaz=x=Aa（A到W面的距離）點的投影規(guī)律第19頁，共69頁。例：已知點的兩個投影，求第三投影。解法一:通過作45°輔助線使aaz=aax解法二:用分規(guī)直接量取aaz=aax●a●●aaaxaz●●aaaxaza●第20頁，共69頁。三、特殊位置點的投影1、投影面上的點點的某一個坐標(biāo)為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。2、投影軸上的點點的兩個坐標(biāo)為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。第21頁，共69頁。例：已知點的兩投影，求其第三投影

e

e’

f’’

e’’

f’

f

d’’xYWz

YH0

d’

d

d

a

a’

a’’A為X軸上的點；D為V面上的點；E為H面上的點；F為W面上的點。第22頁，共69頁。

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上B點在A點之后、之左、之下。四、兩點的相對位置a

a

aXZYWYHb

bb

O第23頁，共69頁。例：已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985第24頁，共69頁。重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。A、C為H面的重影點被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？●●●●●aacca（c）重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。判斷重影點的可見性：左遮右，前遮后，上遮下第25頁，共69頁。

§2.3直線的投影一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。第26頁，共69頁。一、直線的投影根據(jù)兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的同名投影。aabbb●●●●

a●●第27頁，共69頁。直線垂直于投影面投影重合為一點直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos

BA●●●●ab●●AB●●abAMB●a（m）（b）●●●二、直線的投影特性類似性顯實性積聚性第28頁，共69頁。投影面平行線

平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面)正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面直線的投影特性取決于其與三個投影面間的相對位置。三、各類直線及其投影特性第29頁，共69頁。⑴投影面平行線：兩平對一斜水平線與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長βγbaaabb第30頁，共69頁。正平線baababγ實長α第31頁，共69頁。側(cè)平線baabba實長αβ第32頁，共69頁。①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。②另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行線的投影特性：第33頁，共69頁。⑵投影面垂直線：兩垂對一點鉛垂線●aba(b)abZXOYHYWX第34頁，共69頁。正垂線●c(d)cddcZOYHYW第35頁，共69頁。側(cè)垂線●efefe(f)ZOYHYW第36頁，共69頁。2.另外兩個投影，

反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影積聚成一點。投影面垂直線的投影特性:第37頁，共69頁。⑶一般位置直線：三斜相對應(yīng)ZYHaOXabbaYWb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性:HaβγaAbVBbWabZXOY第38頁，共69頁?！?.4直線與點及兩直線的相對位置

一、直線與點的相對位置：

1、點在直線上2、點在直線外

第39頁，共69頁。直線上的點具有兩個特性：

1、從屬性點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。2、定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

ABbbaaXOccC第40頁，共69頁。例：判斷點C是否在線段AB上。cabcab●●abcabc●●在不在ab●c●●aabcbc不在XXZXOYHYW第41頁，共69頁。例：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應(yīng)用從屬性）解法二：（應(yīng)用定比性）●aa

bbkab●k●k●aabbk●●k●XZOXYHYW第42頁，共69頁。例：已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三點分別在三棱錐的SA、AB、SC棱線上，求此三點的水平投影和側(cè)面投影，然后將它們的同面投影用直線連接起來，并判別ⅠA、ⅡB、ⅢC直線的空間位置。ⅠA是線ⅡB是線ⅢC是線。正平側(cè)平任意abca'b'c'1'2'3'c"a"b"ss's"1231"2"3"第43頁，共69頁。二、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOXOX第44頁，共69頁。⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkkX第45頁，共69頁。⒊兩直線交叉

cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′X

同面投影可能相交，但“交點”不符合空間一點的投影規(guī)律?！敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影。同面投影也可能平行，但只有一面或兩面投影平行，并非三面投影同時平行。第46頁，共69頁?！?.5平面的投影一般情況下，平面的投影仍然為平面，特殊情況為一條直線。第47頁，共69頁。一、平面的表示法不共線三個點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線c直線及線外一點b●●●●●●acabcc●●●●●●ababXXXX平面圖形c●●●abcab●●●X跡線表示平面正面跡線—PV

水平跡線—PH

側(cè)面跡線—PW第48頁，共69頁。二、平面的投影特性平面平行投影面——投影就把實形現(xiàn)平面垂直投影面——投影積聚成直線平面傾斜投影面——投影類似原平面顯實性類似性積聚性平行ABCabc垂直ABCabc傾斜ABCabc第49頁，共69頁。三、各類平面的投影特性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面平面的投影特性取決于其與三個投影面間的相對位置。第50頁，共69頁。⑴投影面的垂直面：兩框?qū)σ痪€投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。ccabcabba積聚性鉛垂面γβZ類似性類似性XOYHYW第51頁，共69頁。⑵投影面的平行面：兩線對一框投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。abcabcabc積聚性積聚性顯實性水平面ZXOYHYW第52頁，共69頁。⑶一般位置平面：三框相對應(yīng)投影特性：三個投影都類似。abcacbabcZXOYHYW第53頁，共69頁。例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。acbca●abcb思考：此題有幾個解？45°ZXOYHYW第54頁，共69頁?！?.6平面上的直線和點

一、平面上的直線幾何條件：1、直線通過平面上的兩個已知點，則此直線必在該平面內(nèi)。2、直線通過平面上一點，并且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)?！瘛馦NAB●M第55頁，共69頁。平面上的投影面平行線一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。第56頁，共69頁。例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。abcbca

dd解法一：解法二：有無數(shù)解！n●m●n●m●abcbcaXX有多少解？第57頁，共69頁。例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？第58頁，共69頁。二、平面上的點

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。求作方法：先在面上取線幾何條件：點在平面內(nèi)的一條直線上。第59頁，共69頁。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。bacakb●cdd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解k●●abcabkck●XX第60頁，共69頁。例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。bckadadbck解法一：解法二：cadadbcXX第61頁，共69頁。例3：在△ABC內(nèi)取一點M，并使其到H面V面的距離均為10mm。dede1010m●m●bcXbcaaO第62頁，共69頁。例4：根據(jù)主、左視圖完成俯視圖。又知屬于該體前表面的點N的一面投影，求另兩面的投影。第63頁，共69頁?！?.7直線與平面及兩平面的交一、直線與平面相交

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：(1)

求直線與平面的交點。(2)

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們一般只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。第64頁，共69頁。第65頁，共69頁。二、兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平