平面向量的物理背景及其含義課件

平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含1定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時,λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時,λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0定義：一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個2運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)3已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab已知兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=4我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計(jì)算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生5已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。已知兩個非零向量a與b，它們的定規(guī)定:零向量6向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，什么時候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時a·b為零。向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，?重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地8解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos129a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長度與的乘積。a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長10練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．7．對任意向量a有√×××××√練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b，有a·b=0．211二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三12

則(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)則ONMa+bbac13例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（214例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（215例4、的夾角為解:例4、的夾角為解:16平面向量的物理背景及其含義課件17作業(yè)：作業(yè)：183、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，∠ACB=90°3、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。ABCO如圖所示19平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含20定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時,λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時,λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0定義：一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個21運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)22已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab已知兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=23我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計(jì)算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生24已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。已知兩個非零向量a與b，它們的定規(guī)定:零向量25向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎裁磿r候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時a·b為零。向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，?6重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地27解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos1228a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長度與的乘積。a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長29練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．7．對任意向量a有√×××××√練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b，有a·b=0．230二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三31

則(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)則ONMa+bbac32例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求