信號(hào)與線性系統(tǒng)題解 閻鴻森 第五章

信號(hào)與線性系統(tǒng)題解閻鴻森第五章習(xí)題答案對(duì)下面離散時(shí)間周期信號(hào)，確定其離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Ak。(a) x(n)7)(b)

x(n)1n

2n

x(n)

以6為周期。 (c) x(n1n4)0nx(n4為周期。(d) x(n1n4)0nx(n12為周期。(e) x(n)如圖P5.1(a)所示。 (f) x(n)如圖P5.1(b)所示。x(n)如圖P5.1(c)所示。 (h) x(n)如圖P5.1(d)所示。（a）(b)(c)解：1 2

(d)2 1

2 2 x(n) e

3ne

3n e

7nej

7n, N=212 2j 1 2

2 1 2 2 ej217

ej217n ej21

ej213n2 2j 若取0k20，則有：1 1 1 1a ;a a ;a ;a a ;其余a 07 2 14 7 2 3 2j 18 3 2j k11n 1 jknjkn

2 16j k 3 2

j2k

e 3 k 6 2 6n2

11ejk3231 1612 2= k

, (0k5)3 12 ej3k 2 n 1 x[n]1sin 1 (ej44 2j

ej4n), (0n3)a 1

ej

1

ejn(k)

1

ejn(k) 2k 4n0

8jn0

2 2 2 28jn0 j2(k1

j2(k1)=11ej2

11e 2

1e 22 2 24 1ej2 2 2

8j 1ej(k1

8j 1ej(k1)=11ej

1 2224 1ejk2

22cosk

2 23 211(1 2)3 20 4 41 k2a (1)k(1 cos ), k2k 4 21a 1

ej

1

ejn(k)

1

jn(k)

k 12

6n0

24j

6n0

224j

6 2n0 j2(k3

j2(k3)1ej6(k32)= 11ej6(k32)

1 1

2 1

1e 2612 1ej6

24

1e

(k36 2

24j= 11ej

221 2212 1ejk

6 2cosk即：a0

6 6222 211 21222 211 26 12

2cosk1a

1

6 , 1k1112122cosk12122cosk26

cos3

kj4k

a 15k 6n0

x[n]ej3kn

156n0

ej3kn

11e 36 1ej3k 1ej2ksin k 2= 3 1k5; a

6a k 6

sin k63n2[nej3n2

1[ej2363

02ej3

3312ej3

ej2k]3=12cosk1cos3

k, 0k56 3 3 3 3

a k 5

2n2

x[n]ej2

1[2ej4555

2ej5

e2

452ej5k]55=-2j(sink2sin5

k), (0k4)5 5 5a 15[nejkn11ejkejk)

0k5

3 3 3 ,k 6 6n08的離散時(shí)間信號(hào)具有如下傅立葉技術(shù)系數(shù)，試確定信號(hào)x(n)。Ak

4)4) (b) Ak k ),0kk (d)

如圖P5.2(a)所示。如圖P5.2(b)所示。k ,k7 k(a)（b）1 1 1 1 解：(a)

ej4

ej4

ej4

ej48k, N8k 2 2 2j 2j x[n]4[n1]4[n1]4j[n4j[n4], 3n4(b)

x[n]

r

x[n8r], 即為所求周期信號(hào)。a 2[k][k1][k1]1[k2]1[k2]1[kk 2 2 41[k4n1cosn1cos4224 x[n]

akek3

22cos

cos n

n, (0n7)

x[n]=

r

x[n8r]即為所求周期信號(hào)。a 2[k]3[k1]3[k1][k2][k2]k 2 21[k1[k2 2 [n]

aej4kn

22cos

ncos

1 n cos

n, 0n7kk3

4 2 2 4

x[n]

r

x[n8r]即為所求周期信號(hào)。a [k][k1][k1][k[k[k4],(3k4)k4 x[n]

akk3

ej4

12cos n(1)n2cos n, (0n7)4 4[n]r

x[n8r]即為所求周期信號(hào)。x(n)是以NAk

a jbk

a和b均k k為實(shí)數(shù)。(a)A

。進(jìn)而推出a與

b與

之間的關(guān)系。k k

k

k k證明當(dāng)NAN

是實(shí)數(shù)，AN

是實(shí)數(shù)，A a 。N N2 2 2 2x(n)能夠表示為三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)，即N為奇數(shù)時(shí)x(n)

(N1)22 2

)

)]0N為偶數(shù)時(shí)

kk1

NN21N

k

NN2knNx(n)[a0

(1)n

]2

k

[acos(k

)bk

sin(

N)]Ak

Ae，其中Ak

A ,k

是A的相角，證明三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)k也可以表示為如下形式：N為奇數(shù)時(shí)：N為偶數(shù)時(shí)：

x(n)a0

(N1)A22A2kk1

NN21N

)k2knx(n)[a0

(1)n

]2

k

[Ak

Nk)]如果P5.3所示信號(hào)x(n)和y(n)的三角函數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)為：x(n)a

28[

)b)]0 k1

7 k 7y(n)b0

28[dkk1

)f7k7

sin(2kn7)]試畫出z(n)的圖形z(n)(a0

d)28[d0 k1

)(f7k7

b)sin(2kn )]7k7解：(a) x[n]是實(shí)信號(hào)x*[n]x[n]而x*[n]N1akk0

jk2n

N1akk0

2jkN

x[n]NN＝x*[n]N1aejknNN＝kk0 a a *或?qū)憺閍*ak k k k令a bk k

jck

，則有ak

b jck

，從而有b b ，ck k k

ck當(dāng)NN2為一整數(shù)。1N1

j2Nn 1

N

1N1a 2N N20

x[n]e

N 2 x[n]ejN0

Nn0

(1)nx[n]顯然，aN2

是一個(gè)實(shí)數(shù)。設(shè)ak

b jck

,由傅立葉級(jí)數(shù)綜合公式有。N[n]N1aejkNkk0

N1bkk0

jck

2)ejkNn當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，上式可寫為：x[n]a0

(N1)2(a2kk1

2jkNna

eNk

2jN(Nk)n)a 0

(N1)2(a2kk1

2jkNnak

2*ejN(Nk)n)()2

＝a 0

k

(bcosk

kncN

sin( kn))N當(dāng)N

()2

2jk

2j (Nk)nx[n]a 0

(1)nN2N

(akk1

N

e N )Nk＝a 0

(1)nN2N

(N)－12(a2kk1

2jkNnak

2*ejN(Nk)n)()21

＝a a0 N2

(1)n2

k

(bcosk

kncN

sin( kn))N由(c)知，當(dāng)akN

Aejk時(shí)，有kx[n]a

(N1)2

Re{a

2jkNn}為奇數(shù)時(shí)：

0＝a 0

k12(N1)2(Akk1

kcos(kn )N KN為偶數(shù)時(shí)：x[n]a0

a N2

(N)22k1

Re{ak

2jkNn}a a0 N2

(1)n2

()2AkAk1

cos(kn)N k y(n)(a0

d)28[d0 k1

)(f7k7

c)sin(2kn )]7k7{x[n]}

28bkk1

cos2kn7{[n]}28cd k1

sin2kn7{z[n]}

28dkk1

cos2kn7{[n]}28dk1

sinknk 7 y(n)a0

2d0

{z[n]}v

{x[n]}d

{z[n]}而a d 0 0

{z[n]},{z[n]}d

{x[nPS5.3-1所示，因此y[n]如圖PS5.3-2所示。PS5.3-1PS5.3-2x(n)N為周期得序列，其傅立葉級(jí)數(shù)表示式為x(n)

Aej2knN,Ak kkN表示下列信號(hào)得傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)(a) x(nn) (b) x(n)x(n1) (c) x*(n)(d) Nx(nN為偶數(shù)0Nx(n(假定N為奇數(shù)，此時(shí)該信號(hào)得周期為2N).x(nm),得倍數(shù)

(m)

n1

]ejk2n1

x[m]ejk2mejk2n

ejk2n0解：(a)

N N N Nk N nN

N kmN1

(x[n]x[n1])ejk2

aejk2(b)k

N NN k knN1

x*[n]ejk2

1[x[n]ejk2n]*a*(c)k

NnN

N NN knN(d) 1 k N

(1)nx[n]e

jk2N

1[N

x[n]e

j(kN)22 N

]

(kN)nN(k=0,1,2, N-1)

nN 2? 1

jkn 1

jkn ak

2Nn2N

(1)nx[n]e

N N ejn2Nn2N 1[N1[nejn(kN

N

[n]ej2n(kN)]2Nn0

N 2 x N 2nN1 N1

j2n(kN

N

j2n(kN) [2Nn0

2 n0

N

N 2 e

(kN)]12 a12(kN)2

(1ej(kN))a(kN)

，k為奇數(shù)2為偶數(shù) x[nmN為周期的序列，m k

1 x [n]ejk2mNmN (m)mNnmN

1 x[n/m]ejk2nmN＝mNmN＝nmNmN＝1 x[r]ejk2mN＝mNnr

1am

,(k0,1,2,mN1)(a)如果x(n和y(n都是以N為周期的，它們的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)分別為k和k，試推倒離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)的調(diào)制特性。即證明 x(n)y(n)

ej(N)kn，其中kk

kN

l k

kN

kl l

kN利用調(diào)制特性求下列信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，其中x(n的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的。kN1．x[n]cos(n ) 2. x[n](nKN)NKx[nn3，y(n)12，且,n3y[n],4n8求x(n)y(n)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。解：

(ab

2)ejkNn

a(

2)ejkNnlklkNlN

l klkN lNabejm2nejl2n=llN

N NmmNN=aej2nlN=lN

2bbejm mmNx[n]y[n]=

cejk2nN kN kN

其中ck

abl kllN同樣可以證明：ck

alN

bkllb (i)

cosn

1 j2eNe

1ej23n b

1

其余b 0N得：N 2 2N得：

3 3 2 kc

a b1a 1aklN

kll 2 k3 2 k36x[n]cosN

n kN=

121

k

aka

2)ejkNn2)ejkNn2kN

k

k3N(ii)

[nrN]bejknN 令kN 令r kNNb [n]ejk2n1Nk NnNc k

a bklllN

abllklN

1 aN iN[n][nrN](1Nr kN

iN

2a)ejkNnicosn

ej2

1ej2n

6 6 ,3 2 2 a a2 2

a 10

12,其余a＝02k 7

sin7k18

jkn

1ej2k(1

j6k) 1 12b k 12

e 6 12n8

1ej

12sink

(0k11)6 12sin7

(k2) sin

(k10)c ab 1 12

1 12

(0k11)k l12

k

24sin(k2) 24sin

(k10)12 12:1(a) ( )nu(n2)(b) 2nu(n)(c) (an14

n)u(n),a 101(a

sin

n),a1) (e)(53n) (f) n( )n3)3)n4)n4 14

18n(g)

k

(n3k) (h) cos( )sin(2n) (i)[ cosn3)

][ ](j) x(n),

,4n4(k)x(n)如圖P5.6(a)所示。(l)x(n)如圖P5.6(b)所示(m)如圖P5.6(c)所示 (n)x(n)如圖P5.6(d)所示(a)(b)(c)(d)1 1解：(a) x()(1)ne4

( ej)2 4 1

ej2161(b) x()

n2n

ne

1 ej41 111 e2

1 ej4(c) x[n[ancos0

n]u(n)

1an[ej0n2

ej0nx()

1(a)nej(

)n1

anej()n

1(

1 )002n0=

01aejcos0

2n0

0 21aej(

1aej(0)12acos

ej0

a2ej2(d)

x()

1n

nsin(n)ejn0n0

ansin(n)ejn01[

1 ]

1[ aej(0)

aej(0) ]2j1aej(0) 1aej(0) 2j1aej(0) 1aej(0)2ja(a21)sin0

sin(12a2cos0

)24a(1a2)cos0

cos2a2cos2(e)(63n) x()ej21(f) 令x1

( )2

, 則有：1x()11

1n

2nejn

n0

( )ne231ej12 4 1 1 51 ej 1 ej cos2 2 3 x()jd Xd 1

()

3sin45( cos)2141(g) x() nk0

( )n[n3k]e4

k

1( )3k4

[nkejnn=

( )3kej3k 114 11k0

1( ej)341 j18

j18n 1(h) cos( n)sin2n (e 7 7 2

7 )

(ejj

ej2n)1 j(18)n 1

j(18)n 1

1 x()

e2n

7 2n

7 2jn

jn(

2)

e2jn

jn( 2)=

(2k)(2k)j(22k)j(22k)]k(i)

7 7sin(n3)1,sin(n3)X() 31 0, 2sin(n4)1,sin(n4)X() 42 0, 4 如圖PS5.5所示。(j)

X()

12

jn()e3e

12

jn()e3en4 n42[1ej(2[1ej(3)]

ej6()

2[1ej(3)]32[1ej(3)]3

ej5()3s3ej3ej4ej5ej62(1ejej2)(k) X()

x(n)e

jn

4e

jn

1ej51ejn n0(l) X()

3n3

x(n)ejn23cos2cos2cos(m) x[n]6為周期的序列，因此有a 11k 6n1

x(n)ejk3

1(14jsink)6 3X()

5ak

(3

k2l)3

lk0(14jsin3

k(3

k2l)lk0(n) X()=

Nn

x(n)ejn2Nsin(N)2(N1)sin[(N1)]2sinNejN(N1)ej(N1)ej0ej2e2j(N1)ej(N1)NejN=N(ejNej)(N1)(ejej)(ejej)= 2Nsin(N)2(N1)sin[(N1)]2sin已知離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換為X(ej),求信號(hào)(a) X(ej)13ej2ej24ej41,0 WX(ej)0,WX(ej)

(1k(k)2kX(ej)cos(2)jsinX(ej)

ej1 1 ej ej2w1 6 60,0 (f) X(ej)3 30,3X(ej如圖P5.7(a)所示X(ej如圖P5.7(b)所示解：(a) x(n)[(n)3(n1)2(n2)4(n4)](b) x(n)1W

ejwndw

sinWnn(c) X(如圖PS5.7-1所示，在一個(gè)周期內(nèi)可表示為PS5.7-1X()()()()()2 21

1 n x[n]2

(1e

ej2

ej2n)

cos (1ej2n21 j 1 j 1 1(d)

X() e2 e 2 ej e2 2 2 2

() x[n]1

(ej

2

j

ejej)ejnd=1 1 1

1 1 1 [ j(n2) ej(n2) ej(n1) ej(n1)]1j(n11

j(n

j(n1) j(n1) =1

2 2sin(n1) sin(n1)2 2 (n1)(n1)]1n1 n1(1)n1=

2 211[n1]1[n1]1(n2 ) 2 24(e)

1(sin3nsin5n)8 861 6 1x[n] ()nu[n] ( )n53 5 2(f) x[n] 12

23ej2ejnd1 3

323

ej2ejnd23233=2(n2)ej(n2) 2(n2)ej(n2)

323= 1 [sin(n2)sin

(n2)](n2) 3 31 0 (g) x[n] [( 1)ejnd( )ejnd]0 1(1)n= 2

(h)X(＝X()＋X(X(X(如圖PS5.15-2所示。1 2 1 21(sinnsinn)8 81＝ [ejn

5

e

38

ejn ]jn

8 58＝1(sin3nsin5n)8 8x(n)2

178ejnd1 1 8

8 ejnd88

1 ejnd78＝ [e

ejn ejn ]jn

8 8＝1(sinnsinn)8 81(23cos2cos2cos3)8x(n)如圖P5.8(a)所示得周期信號(hào)，x1

(n)x2

x(n中截取一個(gè)周期所得到得非周期信號(hào)，如圖P5.8(b),(c)所示。(a)(b)(c)x(nAkX(ej)X(ej1 2方式不同，因而所得到得非周期信號(hào)具有不同得傅立葉變換。證明無論怎樣截取，下列關(guān)系總是成立得：A1k N

X(ej)

2kN解：(a)

A 1k

x(n)ej(2)knNnNN

=138n3

x(n)ej()kn4=1(23cos(k)2coskcos3k)48 4 2 42 2 a 1 a 2 20 3 5

aa1

,a22 2

a 0,a 06 4X1

(ej)

3n4

x(n)ejn

=23cos2cos2cos3X(ej)72n0

x(n)ejn

2 ejej2 ej30 ej5ej6 ej73 1 1 2 2 2 23 1 1 X(ejX(ej不同。1 2由(a)與(b)Ak

1x8

(ej)w

2k81 1 3 j

1 j3kx(ej)81 w

2

[2 e 4 e 4 8 2 2又 8jk 1 j5k 3 j7ke 2 e 2

ej6k e 4 ]4 2＝1(23cos2cos2cos3)8X(ej是圖P5.9所示信號(hào)x(n)X(ej而完成下列計(jì)算。5.9a) 求X(ej0) (b)求X(ej)的相位(ej)。(c)求X(ej)的值。計(jì)算

X(ej (e)計(jì)算

X(ej)d和22

dX(ej

2d。dd(a) X()

n

x[n]ejn,X(0)

n

x[n]6(b)

x[n+2是一個(gè)偶實(shí)序列，[n2]X()ej2而偶實(shí)序列的頻譜為偶實(shí)函數(shù)。即X()2() X(2(,其中(x[n+2]的相位頻譜。(c) X()(d)

n

X[n]ejn

n

(1)nx[n](11211211)2x[n]

1

X()ejnd

X()d4(i)由Parseval定理有(ii)

X()2d2n

x[n]

2dddX()dX()dx

X[]j[n2d2n

jnx[n]

2確定圖P5.10所示信號(hào)中哪些信號(hào)的傅立葉變換滿足下列條件之一：Re[X(ej0 (b) Im[X(ej0(c)存在一個(gè)實(shí)數(shù)X(ej)eja是實(shí)函數(shù)。(d)

X(ej)d=0 (e) X(ej0)0解：滿足(a)的有b，g。滿足(b)的有d，e。滿足（c）的有abedf。滿足（d）的有d，b，e，f，g。滿足（e）的有b，c，g如果X(ej是信號(hào)x(n)P5.11中其他傅立葉變換所對(duì)應(yīng)的信號(hào)。0解：由調(diào)制性質(zhì)考慮x(n)ejnX(ej())0取 可知x(n)(1nX(ej())即為圖(b)0(b) x1

(n)x(n)(1)n易知dX(ej)2

(ej)d 2即X(ej)

dX1

(ej)2 2 d又nx(n)

dX(ej)1d dX(ej)(j) nx(n)(j) 1 X(ej)2 2 d 2(j)nx(n)2

(ej)2(c) x2

(n)jnx(n)2X(ej)X3

(ej)X(ej)2(d)x3

x2

(n)x(n)(1jn)x(n)2X(ej)X(ej)X(ej)4 1x(n)x(n)x4

(n)[1(1)n]x(n)X(ej)X(ej)X(ej)5 2x(n)x5

(n)x(n)(1jn)x(n)2如果離散時(shí)間信號(hào)x(n)的傅立葉變換如圖P5.12號(hào)的波形，并加以標(biāo)注。x1

(t)

n

x(n)ej(5)nt (b) x2

(t)

n

x(n)ej(5)nt(c)

(t)

O(n)ej(5)nt (d)

(t)

E(n)ej(3)nt3x(tx(t)1

n

dn

x[n]e

jn5

4;X()

n

n

vjnx(t)X()

t。其實(shí)部與虛部如圖PS5.12-1所示。15...

Re{Re{t)}1…t

2

5 10 {x(t)}m 11…...t-5 -5/2 5/2 5 101010圖PS5.12-11010(b)

x(t)2

n

jn2

m

x[m]ejm2

x(t)1

如圖PS5.12-2所示。Re{x(t)}21...Re{x(t)}21...... {x(t)}m 21…......t-10 -5 -5/2 5/2 5 10PS5.12-2x(t)=1

jn2

1

x[n]ejn2

1X(t)1

X(t)(c)3示：

2n

82n

82 4 2 4

如圖PS5.12-3所Re{xRe{x(t)}312...-8-62-4-2 46 812{{x(t)}m 31/2-62t-4-246-1/266PS5.12-66(d)

x(t)=1

x[n]ejn2

1

x[n]ejn2

1X(t)1

X(t)

如圖，PS5.12-4所4 2n示：

2n

2 3 2 3(t)}41/2......t-6-3/23/26{{x(t)}m 41......1/2t-6-9/2-3/23/29/26PS5.12-4x(n)8為周期的離散時(shí)間方波信號(hào)，且1,0nx(n)0,4n7x(n)X(kX(k)

nN3

x(n)WNj2kn

j3

sin(k)2X(k

nN

x(n)WN

n0

8 e

sin(k)8x(n)y(n8為周期的序列，且n nx(n)0,其n y(n)0,其n 求x(n與y(n得周期卷積fn)x(ny(n，并求出相應(yīng)的F(k。3n,0n解：f(n)N1x(m)y(nm)0,n3m0 n3,4n6f(n)3(n)2(n1)(n2)0(n3)(n4)2(n5)3(n6)f(n) f(n7rr

sin(4k)x(k)

j27

ej3k 7e7e7n0 sin( k)7sin(ey(k)e

j27

ej7k 7n4 sin( k)7sin(4k)sin(k)F(k)x(k)y(k)

j k 7 77 sin2( k)75.15求下列有限長(zhǎng)序列地DFT，并用閉式表示：(a) x(n)R (n)。(b) x(n)sin(n)R (n)(c) x(n)ejnR (n)N N Nx(n)cos(n)R (n) (e) x(n)nR (n) (f) x(n)anR (n) N N N解：(a)x(n)RN

(n)N1

N1 j

1ej2X(k)

n0

WN

n0

1e

j2N＝x(n)sinnR (n)0 Nsinsinn0Im[ejn]由關(guān)系Im[x(n)]2j[X(k)X(k)] 1 1ejn 1 1e 有X(k) DFT[x(n)] [

(k)002j1ejWk 2j1ejWk N00N NWksinsin

Nsin(N1)Wk＝N 0

0 NR

(k)12cosWk

W2k N0x(n)ejnR0N

(n)

0 N NN1

1ejNWkNX(k)DFT[x(n)]

ejNWknR0 N

)

0 N R1ejWk

(k)n0 0 Nj(kN1

sin(

N)20e 20

sin(

R (k)) N02 N0x(n)cosnR (n)0 N1cos(0n)Re[ejn] 由關(guān)系：Re[x(n)]2[x(k)x(k)]有0X(k)DFT[x(n)]0

1[1ejN

1ejN

]R(k)021ejWk 1ejWk N00 N 0 N1cos(N)WkcosWkcos(N1) 0 N 0 N 0R (k)12cosWk

W2k Nx(n)nR (n)NX(k)DFT[x(n)]

N

nWkn

0 N N(k)

dN1WNn0

]R(k)

N Nn0

N dx Nej(kNk(f)

2sin(N

R(k)NX(k)DFT[x(n)]

N

aNWkn

(k)

1(aWkn)NRNR

(k)N N 1aWk N 1aN RN1aej2k N

(k)

n0 N其中RN

(n)RN

(k)

1WN1Wk

1ejkN2NNjk2

n,k00,0,kN 1e N已知有限長(zhǎng)序列地DFTX(k)，求x(n)=IDFT[x(k)]。2N ej,km2NNN

N2－ej,km2NN2X(k)2

ej,kNm (b) X(k)22

jej,kNm0,其他k 0,其他k 其中m為正整數(shù)且0<m<N/2.解：(a)x(n)IDFT[X(K)](1N

N1X(KWkn)kN k0

(n)(1ejWmn1e(Nm)n)k

(n)2 N 2 N N1 j2mn j2mn (eje 2

e N ej)RN

()cos(2mn)R

(n)N N

x(n)IDFT[X(K)](1N

N1X(KWkn)kN k0

(n)(

jejWmn

je(Nm)n)k

(n)2 N1 j2mn

2 N Nj2mn (eje 2j

e N ej)RN

()sin(2mn)R

(n)N Nx(n)N=10的有限長(zhǎng)序列，且0,其他nx(n)n0,其他n

y(n)1,0n41,5n解：x(n)88DFTX(k)P5.18(a)y（n）是一個(gè)16點(diǎn)的序列，且x(n2),為偶數(shù)y(n)0,n

試從圖P5.18(b)～（d）中選出相當(dāng)于y(n)的16點(diǎn)DFT的略0,8n如果y(n)x(n),00,8n如果

則在圖中找哪一個(gè)相當(dāng)于y（n）16點(diǎn)DFT?解：(c) (d)證明若x(n)實(shí)偶對(duì)稱，即x(n)=x(N-n)，則X(K)證明：(1)x(n)

1(x(n)x(Nn))1(x(n)x*(Nn))2 2 實(shí)函數(shù)X(k)1X(k)1X*(k)Re[X(k)]2 2又X(k)N1x(nWkn

(k)N1x(NnWkn

(k)n0

N N N Nn0N1x(mWkm

)N1x(mWkmR(k)m0N

N N N Nm0 x(m)WNk)mR (kX(NkN Nm0(2)11 x(n) (x(n)x(Nn)) (x(n)x*(Nn))2 211 X(k X(kX*(kjIm[X(k純虛數(shù)2N1 X(k)N1x(nWknR (k)－x(NN1

(k)N N N NN1

n0 n0 x(m)WNk)mR(kX(NkN Nm0x(n)Nx(n和x(nx(n)的圓周共軛偶部和圓周共軛奇e o部分。即x(n)e

1[x(n)x*(Nn)]21x(n) [x(n)x*(Nn)]o 21 解：1 DFT[xe

(n)]

DFT[x(n)] DFT[X*(N2 21 1 1 X(k) X*(NNk) X(k) X*(k2 2 2 21 1 1 1 Re[X(k1 DFT[xo

(n)]

DFT[x(n)] DFT[X*(N2 21 1 1 X(k) X*(NNk) X(k) X*(k2 2 2 21 1 1 jIm[X(k)]如果x(n)是N點(diǎn)的序列，它的NDFT為(a)證明當(dāng)x(n)=-X(N-1-n)時(shí)，X(0)＝0證明當(dāng)N為偶數(shù)，且x(n)=x(N-1-n)X(N解：要證明X(0)0,需證明N1x(nWknN k0

0,即需證明N1x(n)n0

n0當(dāng)N當(dāng)N,

N1x(n)21xnN()n0 n0N()

x(N1

n)0x(n)x(N1n)x(N1)x(N1)2 2x(N1)2N11N1x(n)n0

2n0

x(n)x(N1n))x(N1)02當(dāng)N:X(0)0

X(N)22N1x(nWNn2Nn0N1()nx(n)Nn0N21 [(1)nx(n)N1nx(N1n)]n0x(n)x(N1n,且N則:nx(n)N1nx(N1n)0N X

)02如果X(K)N點(diǎn)序列x(n)NDFT,則N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列。若對(duì)X(K)再做DFTx(n，試用x(n)x(n)解：X(K)N1x(nWkn,0kNn0Nx(n)Nx((n))N

N1X(KWknNk0上式中：令：k=m,-n=k則Nx((k))N那么

Nm0

x(m)WkmNNx(n)DFT[x(n)]1x(n)

DFT[x(n)]N假定x(n)是有限長(zhǎng)序列，當(dāng)n<0和nNN為偶數(shù)。圖P5.23(a)繪出了x(n)的包絡(luò)。由x(n)7g(n)~g(n，如圖P5.23(b)中所示。在表P5.23－11 7中的給出了九個(gè)DFTP5.23(b)中的每一個(gè)信號(hào)在表P5.23-1DFT。這里DFT的點(diǎn)數(shù)不少于每個(gè)序列的長(zhǎng)度。解：

(n)x(N1n)1N1

g(n)Wkn1 Nn0N1n0

x(N1knN做變量代換iN1n,:0x(i)Wk(N1i)NiN

x(i)WkiWkiN

N NN1 W kN

i0

x(i)W kiNej

N

X(e

2kN)

H (k)7(n)nx(n)2

j2.NN2

x(n)故DFT[g(n)]H(k)2 8

DFT[g3

(n)]N1x(n)ejNn0N

NxnNx

(n)ejknNN1x(n)ejknN1x(n)ejk(nN)NNn0當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),上式=0;

Nn02k當(dāng)N,2X(ej2N)DFT[g(nH(k.3 3N1

N 4DFT[g4

(n)]2n0

[x(n)x(n )]ejNkn2令n'

n

N2,則:N1

4 4 42 x(n

N)ejNknN 2NN 2N

N1x(n')ej k(n'N

N1x(n)ej knn0 n'N

nN2 2DFT[g4

(n)]

N2n0

4x(n)ejNkn

N1x(n)ejnNN2N

X(e

4kN)H6

(k)(5)

DFT[g5

(n)]N1x(n)ej2n2

H(k)2(6)

DFT[g6

(n)]Ngn0g

(n)ej2kn22N=N1xi)ejkiN=i02當(dāng)0kN1時(shí)DFT[g6

(n)]X(ejNk);2(7)

當(dāng)Nk2N1時(shí),DFT[g6故DFT[g(n)]H(k)6 5

(n)]X(ejN(kN))如果x(n)是一個(gè)無限長(zhǎng)序列，它的離散時(shí)間傅立葉變換為X(ej)x1

(n)是一個(gè)N點(diǎn)NDFTX(KX(KX(ej2kN,k=0,1,2,3,…….N-1。試確定1 1x(n)x1

(n)的關(guān)系。解：

(kx(n)X(ej進(jìn)行頻域采樣，根據(jù)頻域采樣1理論有：x1

(n)(r

x(nrN))RN

(n)1已知x(n)( )nu(n)，它的離散時(shí)間傅立葉變換為X(ej)。y(n)是一個(gè)10點(diǎn)的序12n0n10y(n)0。Y(k)y(n的10點(diǎn)DFT，且Y(k)就等于X(ej)的10個(gè)等間隔樣本，即：2kY(k)X(ej10),k0,1,2,...9求y(n)解：根據(jù)題24可知：y(n)(r

x(n10r))R10

(n)=(

1( )n10r)R

(n)2 10r01( )n1= 211( )102

R (n)10已知x(n)是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，X(k)=DFT[x(n)],現(xiàn)用以下方法將x(n)的長(zhǎng)度擴(kuò)大rN,rN點(diǎn)的序列y(n)rN點(diǎn)DFTX(K)的關(guān)系。x(n),0nN1(a) y(n)0,NnrN1

x(n ),nir,i0,1,2,......N1 (b) y(n) 0,n解：(a) X(k)N1x(nWknNY(k)(b)

n0N1y(nWrNn0

N1Wkn (k)XrN rXrn0X(k)N1x(nWknNn0Y(k)N1y(nWrNn0

N1xiWNi0

X(k1當(dāng)k(r1)N,...rN1Y(k)X(krN)圖P5.278FFT流程是DIT算法還是DIF算法，為什么？解：是DFT算法。因?yàn)榈谓Y(jié)表示DFT的運(yùn)算在第一級(jí)碟形完成，以后各級(jí)只是完成了N2點(diǎn)DFT組合NOFT的工作。W08W28W08WW08W28W08W08W08W08W18W08W38W2W08W288設(shè)M點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，即除nM1外，x(n)=0.x(n)的傅立葉變換為X(ejX(ej的NX(ej2kN0kN1，問在(a) NM (b)N>M解：

(n)(

x(nrN))R

(n),

(n的NFFT即可.1 N 1r(b)先將序列添加一系列等于零的點(diǎn)，使得0 x(n),0nM0 x(n)0,MnN1

2(n的NFFTX(ejNk0

z

x0

(n)ej2kn,0kN1N NFFT運(yùn)算可以一次完成兩個(gè)N2NN 運(yùn)算。本題討論這種算法。x(n)是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列，我們構(gòu)成復(fù)序列h(n)=x(n)+jy(n)如果x(n)2N點(diǎn)實(shí)序列，將其按奇偶位分組得到兩個(gè)N:x(n)x(2n)1x(n)x(2n1),0nN12再組成N 點(diǎn)復(fù)序列h(n)x1

(n)jx2

(n)試用H(k)表示X1

(k)和

(k)。如何從2X1(k)和X2(k)得到全部的X(k)？解：(a) H(k)X(k)jY(k)H*(kX(kjY(k)X(kY(k)

1[H(k)H*(k)]21[H(k)H*(k)]2j當(dāng)kN1X(kX1

(k)Wk2N

X(k)2且有 X(kN)X1

(k)Wk2N

X(k)21X(k)X1

(k)Wk2N

X(k),0k2X1

(kN)Wk2N

X(kN),Nk2N12DFTDFT的點(diǎn)來計(jì)算離散時(shí)間傅立葉變換的樣本。也就是說，如果X (k)X(ejM

(2kN)N,k0,1,2,...N1假設(shè)N為偶數(shù)。序列x(n)的N點(diǎn)修正DFT相當(dāng)于一個(gè)序列X (n)的N點(diǎn)試由x(n)構(gòu)造出Mx (n。Mx(n)是實(shí)序列，則其DFT的所有點(diǎn)并不都是獨(dú)立的，因?yàn)镈FT具有共軛對(duì)稱性。即X(k)X*((k)) R (k)。因此，當(dāng)x(n)是實(shí)序列時(shí)，其修正DFTN N的所有點(diǎn)也不全是獨(dú)立的，試求出此時(shí)X (k)中各點(diǎn)間的關(guān)系。M令R(k)X (2k)根中的結(jié)論證明可以從R(k)確定出X (k)。R(k)M MN點(diǎn)的序列r(n)的修正試求出聯(lián)系r(n)x(n)的表示式。2由此可以看出，一個(gè)實(shí)序列x(n)的修正DFT可以這樣計(jì)算，即先由x(n)構(gòu)造一r(n，然后計(jì)算r(nN點(diǎn)修正DFT。2x1

(n),x2

(n),x3

(nNX1M

(k),X2M

(k),X3M

(k分別代表它們的修正DFT，如果X3M(k)X1M(k)X2M(k)試?yán)脁1

(n)x2

(n)表示x3

(n)。所得到的x3

(n)的表示式應(yīng)該象圓周卷積的形式那樣（但并不相同）表示成x1

(n)x2

(n)的某種組合的單重和式。nN

(n)

(n)都等于2 1 2零，試證明x1

(n)x2

(n)的修正圓周卷積等于x1

(n)x2

(n)的線性卷積。XM

(k)X(ej)

N

,kN1N X (k)N1x(n)ej(k)nMN n0N1x(n)ejnejkn= N Nn0NX (n)x(n)ejMN(b) XM

(k)X*M

(Nk1)(c) XM

(k)X*M

(Nk1)k分，從而可以由序列的偶數(shù)點(diǎn)部分獲取整個(gè)序列，從而由R(k)確定出XM

(k)。因?yàn)镽(k)XM

(2k)，所以R(k)可以看成XM

(k)的二抽取過程，頻域的抽取導(dǎo) 致 時(shí) 域 的 周 期 延 拓 。 故r(n)(

x (nrN/2))RM

(n)(

x(nrN/2)ej(nrN/2))RNNN

(n)r 2 r 2（d）由于X1M

(k),X2M

(k),X3M

(k)可以看成新的序列x1M

(n),x2M

(n),x3M

(n)的DFT，則根據(jù)DFT的性質(zhì)，有：Nx(n)ejn(N1xN3 m0

(m)ejmxN2N

(nm)ej(nm))RNNN

(n)x(n)(N1x3 m0

ejN(nm)(x2

(nm)ej(nm)))RNNNNN

(n)N x(nm)ej(nm) xN 2

ejn

以為周期延拓后再移位m以個(gè)單位，故：

Nx(nm)ej(nm)N2

x2k

(nkNm)ej(nkNm)

，從而有：x(n)(N1x3

ejN(nm)

x(nKNm)ej(nkNm))RN2 N

N(n)Nm0 k=(

N

x(m)x(nkNm)e1 2

jk)RN

(n)km0=(

N

x(m)x1

(nkNm)(1)k)RN

(n)km0顯然，上式可以看成的某種組合的單重和式，與圓周卷積類似，但又不完全一樣。（e）令fL

N1x(m)x1 m0

(nm)，則：x(n)(f (n)f (nN)f (nN)f (n2N)f (n2N)....)R (n)3 L L L L L N由于nN

(n)

(n

(n)僅在0,…N-1上有非零、2 1 2 L值。故修正圓周卷積等于線性卷積。x1

(n),x2

(n),x3

(n),x4

(n)是四個(gè)N 點(diǎn)實(shí)序列，它們的DFT 分別為X(k),1

(k),2

(k),3

(k)。如果x4

(n)x2

(n)是圓周偶對(duì)稱的；x3

(n)x4

(n)是圓周奇對(duì)稱的，即：x(n)x1

((Nn))N

R (n),xN 2

(n)x2

((Nn))N

R (n)Nx(n)x((Nn)) R (n),x(n)x((Nn)) R (n)3 3 N N 4 4 N N我們可以通過一個(gè)N點(diǎn)復(fù)序列的FFT運(yùn)算來計(jì)算上述四個(gè)序列的DFT。本題就討論這種算法。x1

(n)x3

(n)構(gòu)成序列y1

(n)x1

(n)x3

(n)，如果Y1

(ky1

(n的試問如何從Y1

(kX1

(k)

(k。3y(n)x(nx(ny(ny(n組合成、復(fù)序2 2 4 1 2列y(n)y3

(n)jy2

(n)。試問如何由Y3

(k)求出Y1

(k和Y2

(k，再利用的結(jié)果，說明如何從Y3

(kX1

(k),

(k),2

(k3

(k)。44個(gè)序列都是圓周偶對(duì)稱的，即：x(n)xi

((Nn))N

R (n),iN如果將其中x(n)按下列方法組成u(n):3 3u(n)[x((nx((n]R (n)3 3 N 3 N N證明u(n)是圓周奇對(duì)稱的，即：u(n)u((Nn)) R (n).3 3 3 N N若U(k是u(n的X(k求得U(k。3 3 3 3Ny1

(n)x1

(n)u3

(n)，試確定如何從Y1

(k恢X(kX(k。1 3y(n)y(njy(n，其中：3 1 2y(n)x1

(n)u3

(n),y2

(n)x2

(n)u4

(n)u(n)[x3

((nN

x((n

]R (n)Nu(n)[x4

((nN

x((n

]R (n)N試確定如何從Y3

(kX1

(k),

(k),2

(k3

(k)。應(yīng)當(dāng)指出，此時(shí)不能得到4X(0)3

(0)N4

N( )3 2

N( 。4 2證明不需要任何乘法就可以算出k0k

N2

(k3

(k)。4解） x1

(n)x1

((Nn))N

R (n),xN 3

(n)X

((Nn))

R (n)N x(nDFT

(n)的DFT為虛數(shù)。1故有：

3x(n)IDFT[Re(Y1 1x(n)IDFT[Im(Y3

(k))](k))]（b）構(gòu)造Y3

(k)的圓周共軛偶部和圓周共軛奇部，有：1Y (k) (k)Y*(Nk)]3e 2 3 31Y (k) (k)Y*(Nk)]3o 2 3 3根據(jù)DFT的性質(zhì)有：IDFT[Y3e

(k)]y1

(n)IDFT[Y3o

(k)]jy2

(n)y1(n)和y2(n)（a）X(k),X (k),X (k) 和X (k)。1 2 3 4（c）u(n)[x((nx((n]R (n)3 3 N 3 N Nu((Nn)) R (n)[x((Nnx((Nn]R (n)3 N N 3 N 3 N N=[x((N(nx((N(n]R (n)3 N 3 N N又x(n)為圓周偶對(duì)稱，所以有：3u((Nn)) R (n)[x((nx((n]R (n)u(n)3 N N 3 N 3 N N 3故u(n)是圓周奇對(duì)稱的。3（d）U3

(k)WkN

(k)Wk3 N

(k)3(e)

(n)x

(n)

(n,

(n)

(n)為圓周奇對(duì)稱序列，1 1 3 1 3則根據(jù)DFT的性質(zhì)有：11

(k))X1(k))U3

(k)(k)再利用（d）的性質(zhì)可以獲得X(k)。3（f）構(gòu)造Y3

(k)的圓周共軛偶部和圓周共軛奇部，有：Y (k)1(k)Y*(Nk)]3e 2 3 31Y (k) (k)Y*(Nk)]3o 2 3 3則根據(jù)DFT的性質(zhì)，有:Y1

(k)Y3e

(k),Y2

(k)Y3o

(k)。又X(k)Re[Y1 U(k)Im[Y3 3e

(k)],(k)],U

(k)Re[Y2 (k)Y4 3o

(k)](k)]由（d）知：

X(k)U3 3X (k)U4

(k)kN(k)N

Wk)NWk)N當(dāng)k0時(shí)，WN

WN

0；當(dāng)k

NN為偶數(shù)時(shí)也有W2 N

WN

0。

(0),3

(0),4

N( 3 2

NX ( )4 2g）當(dāng)k0時(shí)，X(k)N1x(n)，故不需要乘法。3n0當(dāng)k

N2

( )N3 2N

Nn0

(1)nx3

(n)

，也不需要乘法。對(duì)X (k)上述結(jié)論同樣成立。4如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)1n，對(duì)下列輸入信號(hào)求該系統(tǒng)響應(yīng)y(n)2的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：4(a) x(n)sin(n ) (b) x(n)4

(n4k)(c)x(n)是周期為6的信號(hào)，并且0.1x(n)0,n2,3

k(d) x(n)(1)njn1 1 1 1 h[n]( )|n|( )nu[n]( )nu[n]2 2 2

e

1 11 ej121x[n]

1(ej3nej3nN8,于是有4 42j1 1

a

0,(3k4)3 2j 3 2j ky[n]

1H(3)ej3n1H(3)ej3n 3 sin(3n)52 2442j 4 2j 4 452 244x[n]令

[n4k],N4akk

1(0k3)4y[n]3k0

jbek2n，則可得kjbaH(k

)1( 1

1 1),k k

411ejk

11ejk 0 2222 2222cosk 33cosk2 1 25

k

k52 2[n]

bej

63ejn3ej

66cosn2k2k0

5 5 5 2221a 1 [ne kn1(1ejkejk)221

1(12cosk)(c) 3 3 3k 6n1

6 6 34(2cosk)b

1(1

k

3 1]k 6 3 5cosk3 213

k2cos2 k3 3cos k3 213cos kcos2 k25y[n]

3 3 ]ejk3n(d)

03 cosk5k3kjnx[n](1)ne2 ejn,N4a1,a1 2

1,a0

a 由b3

aH(kk

)可得b b0 3

0,b1

1 1 131111ej211ej22 21 1 b 1 1 111 1 2 1 ej 1 ej2 23 jn 1 3 1y[n] e2 ejn (j)n 5 3 5 31已知某離散時(shí)間LTI系統(tǒng)得單位脈沖響應(yīng)為h(n)( )nu(n)，對(duì)下列輸入信號(hào)求該系2統(tǒng)得輸出響應(yīng)y(n):3(a)x(n)( )nu(n) (b) x(n)(1)n3343解：(a) x[n]( )nu[n] X()4

(c) x(n)(n1)()nu(n) (d) x(n)cos(n2)1413131 ej41 1Y()X()H() 1 3(1 ej)(1 ej2 41 2 31 1 ej 1 ej2 41 3y(n)[2( )n3( )n2 4(b) x[n]

ejn,X()2k

()Y()

43k

(2k),y[n]

2(1)n23

( )n[n]

()1 14 1 ej 11 141 d 1n( )n[n]j X4 d

()X()

(1 ej)21411 1Y()

1 e

1(1 ej)2112 41= 4 2 11 1 11 e

(1 ej) (1 ej)21 1 2 4 41 1 y[n][4( )n2( )n(n1)()n2 4 41 12 (d) h[n]( )nu[n],H()2 1 ej2x(n)

(ejnejn)222224cos

n2sin n5sin(n3)( 22y(n)1H ejn1H()ejn 2 25sin(n3)( 222 2 2 2某離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)

系統(tǒng)的輸出。x(n)

k

(n4k) (b) x(n)(n1)(n1)x(n)為圖P5.35所示的方波信號(hào)x(n)等于(1)n乘以圖P5.35所示的信號(hào)。解：(a) x(n)

(n8k),N8,0

P5.35；同樣只有直流分量與基波分量可以通過系4k統(tǒng)。1 1 1 1 a ,a .y[n] cos0 8 1

2 8 4 45 1 (b) y(n) y(n1) y(n2)x(n) x(n5 1 4 8 2X()ejej2cos;2cos3

(b)Y() 0, 3(c)x(n)的周期N=8，0

;只有x[n]的直流分量4a1

je4e

ej2ej34

sin581 85n25a 0 8

ej4) 8sin6 5 sin(5) y[n]

cos1 8 4sin(8) 4(d)x(n)如圖P5.35-2所示N=8, 0

；只有直流分量與基波分量可以通過系統(tǒng)。41 12

1ej2ej

1cos(5 )a ;a

x[n]ej4n 80 8 1

8n2

8 1ej

8cos(8) 1 1cos58 y[n]

cos3 8 4cos(8) 4對(duì)下列差分方程所描述的因果LTI描述逆系統(tǒng)的差分方程。1 1y(n)x(n)1 1y(n1)1 1y(n1)x(n) x(n1)245 1y(n1) y(n2)(n)1x(n1)148485 1y(n1) y(n2)(n)485 1y(n1) y(n2)x(n)1x(n1)482

x(n1) (b) y(n) y(n1)x(n)4 2(d) y(n) x(n2)y(n)y(n)1 1解：(a) y(n)x[n] x[n1],H()1 ej4 41 1G()

11 e14

;g[n]( )nu[n]4逆系統(tǒng)的差分方程：y[n]14

y[n1]x[n]1 1(b) y[n]2

y[n1]x[n],H() 11 ej2112ej 1 1111G()1

1 e4

;g(n)( )nu(n) ( )n1u(n1)4 241 1逆系統(tǒng)的差分方程為：y[n] y[n1]x[n] x[n1]5 1 1 5 1 1 1 (d) y[n] y[n1] y[n2]x[n] x[n1] x[n4 8 4 81 1 ej ej2H() 4 85 11 ej ej25 5 14ej8ej2 2 2G() 1

1

1 1(1 ej)(1 ej) 1 e

1 ej4 2 2 41 1g[n]2( )nu[n]2(