光學與原子物理2015秋

上節(jié)小▲一維無限深勢22n2

2E2ma

,n

1,2

E1

2ma

▲一維諧振子Vx

1m2x22

xxd22d mx,m

12,

~e22nx

m

e2x

2Hn

Hn

為厄密多項式EEEnn12,n氫原定態(tài)方22m

2ur

e240r

ur

Eur

1r21

r

r.

r2sin

sinr2sin2uun,llr,rllml2

lm2 lm2

ll

sin

sin2dr

dRr

2mr2 e2

ll

1Rr

2

ER本節(jié)要氫原子 波函數(shù)能量概率密度分原子波函數(shù)的量子數(shù)的物理方程的 2

Aeiml

為了

到2區(qū)域內(nèi)滿足單值,需滿02這樣，只有當

是整數(shù)時才能滿足，ml

另外滿 0

A0

A21A 1因此

,ml

0m12 m12

ll

sin

sin2其解為締和勒讓德多項

,

ll0l0,1,2ml0,1,2,,l▲徑向方d

dR

2mr2 e2 dr

dr

2

40r

ER

ll

1R,d

dR

d2 dr

2r rdr

d2rr

d2R

2rdR

2mr2 e2

ER

ll

1R,d2rd2

2

2m

40re2

ll

1即dr

r

E

40r

Rr

RrrrddrRd

1drdr

1rd2R

ddR

d1d

1

drdr

drr

r

d

1d2

2

1r2

rdr r

r21d22d2rdr

r2 r 2Rr

1d2r

dr

2

d

dr2 r dr1d2r dr2

rrr3 r dr r r1d2

2m

e2

ll

1r

E

0r

r

0 2m

e2

ll

1即

E

40r

rr

漸進解

e2

llr

40r

0 rE

0以上方程可寫r

2mEr2令k

2

E,

k2

0.該方程的一般解r

eikr

eikr

Rr

eikr

eikr 說明Rr

1

eikrt

eikrt 上式

1eikrt表示向 的球面波r1eikrt表示向 的球面波.對應r雙曲線軌道.E

0,相應于非束縛態(tài),粒能量可以具有連續(xù)值E

0,

,方可寫

r

2

Er

0k

2mE2

k2

0.該方程的一般解r

ekr

ekr

Rr

ekr

ekr 考慮R應該有限,所以c1

0,這Rcekrr

R2

ce2kr,r2上式表明,隨著r的增加,發(fā)現(xiàn)電子的幾率呈指數(shù)下降,即電子是局限在一點的空間E02m2m

2me

ll

1 2

2

40r

r

即將以上方程兩邊同除2m12m18mE

8m

2,可d2

2

2me

ll

18mdrE8mE8mdrE8mE2 2

24020

8m2

Er2E

整理可得d2

8m2 2me8m2

ll

8m28m2

4

2

8mE28m8mE28m2

d r

r d2

m2em2

18mr22 8mr22 8mE d r d

40

8mE r 8m2r,nm12Ee40d2

1

ll

1d

e

2f,其中

,

e2E 情況下，只有n取整數(shù)并Enl情況下，以nlE考E

滿足方程有解m1 e2

m1 e2n 2E

40

2

0n 8mEr2

m8218212

e2r2402me2

r 2r402

402 其中

0.53于是，徑向波函數(shù)可表示2l1

2r

na0

是締合 多項式，Rr

ll

na0

n,lrn,lex r2rl2r002l1n 0最低的幾條能級的徑向波函數(shù)總un,lun,llr,n,lrllmln1,2,3,40ln1,l0,1,2,,n1mll,mll,l1,,l3.1.2概率密l概率密l

*n,l

iEne

un,l

iEnl l

*n,l

un,lRn,lR

Rn,l

l,ml

d體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概R*dR

n,l

Rn,l

lll

l

r r

n,l

Rn,l

l

dPrdrPdPd角分▲在

區(qū)間發(fā)現(xiàn)電子的概PPd*d 1d,P 1不同處發(fā)現(xiàn)電子的概率都相,即對z軸旋轉(zhuǎn)是對稱的▲

d

區(qū)間發(fā)現(xiàn)電子的概PPdll

球諧函,lmmYlm

2

1

2▲說明s態(tài)呈球?qū)ΨQ隨著

增大,概率密度從集中于z軸向分布逐漸過渡到z軸垂直方向分布可以證明,對于給定l,不同之和呈球?qū)ΨQ徑向分

的概率密▲r

dr

球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率RPrdrR

n,l

Rn,l

r2dr▲說明

ln單峰，lnrnn2rnn2a, n1,2,3,,

rn

極大值所在的位l

n

多峰，在靠近原點附近電子出的概率不大n一定，l越小，電子出現(xiàn)在靠近原點原子核）附近的概率逐漸增大.因此，對l

情形，原點（原子核）附近的概并不太小▲rk

r r 0

Rn,l

r2dr對于類氫離r

13n2

ll

1a0Z上式表明：若n一定,l越大

r

越小r

1

1.5a0a0是對應最大電子徑向幾率的半徑，即概然半an

n2a02 1 2

2a0

l

l

n Z1r n2a01r

與l無關1r Z1r

a0例3.1.1n=1氫原子最概然半徑以

r和類氫離

r

Pr

2r

ea a3 ea

r2

r2e2ra3

a0 adPra

43

r2e

a00404a3a30

2r

2r

2e

a08r8ra31a3

2r

0ra0比較

3a類氫離

Z

r

32

3a043.1.3原子波函數(shù)的宇波函數(shù)的宇稱：波函數(shù)空間反演的稱性宇稱算對原點反演

?

可見

?

的本征值為r?2

可見?本征值為1.并當當

相乘的波函數(shù)宇稱等于每個波函數(shù)的lll稱的乘積lll氫原子

un,l

r

,Rn,lrl

若

xx,

y,z

z.x

r

sin,y

r

,z

rcosrllRn,lll

0,r

,

l令YllYlYll,lYl

m稱為球諧函數(shù)量子數(shù)的物理解m22主量子數(shù)m22n

1 meme

n2 2E

40

2

40