自動控制理論拉普拉斯變換正規(guī)版資料

自動控制理論(lǐlùn)拉普拉斯變換第一頁，共37頁。微分方程式是描述線性系統(tǒng)運動的一種基本(jīběn)形式的數(shù)學(xué)模型。通過對它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。然而，用微分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實際應(yīng)用中一般會遇到一些困難。拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是分析研究線性動態(tài)系統(tǒng)的有力數(shù)學(xué)工具(gōngjù)。通過拉氏變換將時域的微分方程變換為復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程，這不僅運算方便，也使系統(tǒng)的分析大為簡化。第二頁，共37頁。在控制工程中,使用拉氏變換的主要(zhǔyào)目的:用它來研究(yánjiū)系統(tǒng)動態(tài)特性.因為描述(miáoshù)系統(tǒng)動態(tài)特性的傳遞函數(shù)和頻率特性都是建立在拉氏變換的基礎(chǔ)之上的。第三頁，共37頁。一、拉氏變換(biànhuàn)定義對時間函數(shù)(hánshù)f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯變換L[f(t)]（簡稱拉氏變換）或F(s)定義為(2.20)原函數(shù)象函數(shù)(hánshù)一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充要條件是：(1)在t<0時，(2)在t≥0的任一有限區(qū)間內(nèi)，f(t)是分段連續(xù)的；(3)第四頁，共37頁。二、一些常用(chánɡyònɡ)的拉氏變換加于控制系統(tǒng)的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常隨著時間任意變化.為了便于對系統(tǒng)進行理論(lǐlùn)分析,工程實踐中允許采用以下幾種簡單的時間函數(shù)作為系統(tǒng)的典型輸入,即單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、等加速函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正玄函數(shù)、以及單位脈沖函數(shù)等。第五頁，共37頁。1、單位(dānwèi)階躍函數(shù)t<0

t≥0圖2-5單位(dānwèi)階躍函數(shù)10t其拉氏變換(biànhuàn)第六頁，共37頁。2、單位斜坡(xiépō)函數(shù)t<0t≥0

圖2-6單位斜坡函數(shù)其拉氏變換(biànhuàn)第七頁，共37頁。3、等加速(jiāsù)函數(shù)t<0t≥0其拉氏變換(biànhuàn)第八頁，共37頁。4、指數(shù)函數(shù)(zhǐshùhánshù)t<0t≥0其拉氏變換(biànhuàn)第九頁，共37頁。t<0t≥0其拉氏變換(biànhuàn)5、正弦(zhèngxián)函數(shù)第十頁，共37頁。注:歐拉公式(gōngshì)第十一頁，共37頁。t<0t≥0其拉氏變換(biànhuàn)余弦(yúxián)函數(shù)第十二頁，共37頁。6、單位脈沖(màichōng)函數(shù)1性質(zhì)(xìngzhì)其拉氏變換(biànhuàn)且圖2-7單位脈沖函數(shù)第十三頁，共37頁。

設(shè)

則

三、拉氏變換(biànhuàn)的性質(zhì)1、線性性質(zhì)(xìngzhì)－－齊次性和疊加性第十四頁，共37頁。因此(yīncǐ),原函數(shù)為三、拉氏變換(biànhuàn)的性質(zhì)性質(zhì)(xìngzhì)1、線性性質(zhì)(xìngzhì)－－齊次性和疊加性通過對它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。課堂練習(xí)：求F（s）的拉氏反變換(biànhuàn)(3)有理分式(yǒulǐfēnshì)法然而，用微分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實際應(yīng)用中一般會遇到一些困難。例6已知，試求原函數(shù)f(t)。第三十六頁，共37頁。3、積分(jīfēn)性質(zhì)2、微分(wēifēn)性質(zhì)(1)對方程兩邊取拉氏變換，得函數(shù)的代數(shù)方程；第二十五頁，共37頁。性質(zhì)(xìngzhì)五、拉氏變換(biànhuàn)解微分方程2、微分(wēifēn)性質(zhì)第十五頁，共37頁。第十六頁，共37頁。3、積分(jīfēn)性質(zhì)第十七頁，共37頁。第十八頁，共37頁。4、終值定理(dìnglǐ)且F(s)在s平面的右半平面及除原點以外的虛軸上解析(jiěxī)，則函數(shù)的終值為第十九頁，共37頁。5、初值定理(dìnglǐ)第二十頁，共37頁。時域位移(wèiyí)定理復(fù)數(shù)域位移(wèiyí)定理6、位移(wèiyí)定理第二十一頁，共37頁。7、卷積定理則若卷積符號(fúhào)表明兩個時間函數(shù)卷積的拉氏變換(biànhuàn)等于兩個時間的拉氏變換(biànhuàn)的乘積。這個關(guān)系式在拉氏反變換(biànhuàn)中可以簡化計算第二十二頁，共37頁。四、拉氏反變換(biànhuàn)從象函數(shù)中找出原函數(shù)，這就是(jiùshì)拉氏反變換。第二十三頁，共37頁。求拉氏反變換(biànhuàn)的方法有：(1)查表法(2)部分(bùfen)分式法(3)有理分式(yǒulǐfēnshì)法第二十四頁，共37頁。一般象函數(shù)可以表示(biǎoshì)成如下的有理分式分母進行(jìnxíng)因式分解第二十五頁，共37頁。1、當(dāng)A(s)=0無重極點(jídiǎn)(n個不等根)時，F(xiàn)(s)可表示為第二十六頁，共37頁。因此(yīncǐ),原函數(shù)為第二十七頁，共37頁。例5

已知

,試求原函數(shù).解：寫成部分分式(fēnshì)形式第二十八頁，共37頁。第二十九頁，共37頁。課堂練習(xí)：求F（s）的拉氏反變換(biànhuàn)第三十頁，共37頁。2、當(dāng)A(s)=0有重根時，F(xiàn)(s)可表示(biǎoshì)為第三十一頁，共37頁。第三十二頁，共37頁。第三十六頁，共37頁。復(fù)數(shù)域位移(wèiyí)定理1、單位(dānwèi)階躍函數(shù)2、當(dāng)A(s)=0有重根時，F(xiàn)(s)可表示(biǎoshì)為且F(s)在s平面的右半平面及除原點以外的虛軸上解析(jiěxī)，則函數(shù)的終值為(3)有理分式(yǒulǐfēnshì)法5、初值定理(dìnglǐ)2、當(dāng)A(s)=0有重根時，F(xiàn)(s)可表示(biǎoshì)為第二十七頁，共37頁。用它來研究(yánjiū)系統(tǒng)動態(tài)特性.分母進行(jìnxíng)因式分解余弦(yúxián)函數(shù)2、當(dāng)A(s)=0有重根時，F(xiàn)(s)可表示(biǎoshì)為一般象函數(shù)可以表示(biǎoshì)成如下的有理分式4、終值定理(dìnglǐ)2、微分(wēifēn)性質(zhì)因此(yīncǐ)，原函數(shù)為第三十三頁，共37頁。例6已知，試求原函數(shù)f(t)。解：第三十四頁，共37頁。第三