高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)典型例題 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

)xx)xx利公2函的數(shù)例

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：．

y

；2

y

1x

；3yx

．分：根所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的構(gòu)施行調(diào)整．函數(shù)

y

1x

和y

的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．解1

y

12)12.．

y

)

4x5

.．

y

x)

35說明對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)數(shù)或系數(shù)的運算失誤算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會求，而且求對、求好的解題標(biāo)準(zhǔn)．根斜求應(yīng)線切方例

求曲線

yx2

的斜率等于的切線方程．分：導(dǎo)反映了函數(shù)在某點處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)線在該點處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點在曲線上確定切點的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程．解設(shè)切點為

,y)0

，則y

2

，y

x

，4x∴0當(dāng)

x0

時，

y0

，故切點P坐標(biāo)為（11∴所求切線方程為

y4(x即

xy0.說：數(shù)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢的消極影響先設(shè)切線方程再利用直線和拋物線相切的條件得解題的運算量變大．

122122求線程例

求過曲線上P

12

這點的切線垂直的直線方程．分：要與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從已條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導(dǎo)確定曲線在點P處線的斜，再根據(jù)點斜式求出與切線垂直的直線方程．解

cos

，∴y.曲線在點P,線率是

y

x

3.3∴過點且切線垂直的直線的斜率為

23

，∴所求的直線方程為

12233即23

332

．說曲上某點的切線這一條件具有雙重含義與切線垂直的直線方程時，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)零當(dāng)直于切線的直線斜率不存在．

時，切線平行于軸，過切點垂求線程交處線夾例

設(shè)曲線

y

1和曲線yxx

在它們的交點處的兩切線的夾角，

的值．分：要兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點處的切線的斜．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可．解聯(lián)立兩曲線方程

解得兩曲線交點為（，1設(shè)兩曲線在交點處的切線斜率分別為

k、

，則k

x

x3x

k

x

xx

由兩直線夾角公式

1113說：探正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉\算．兩線交點是一個關(guān)鍵條件數(shù)交點處是否要導(dǎo)是一個不能忽視的問題準(zhǔn)確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提．求函的數(shù)例

設(shè)

y