邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

關(guān)于邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)第1頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六1

數(shù)字邏輯電路是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息工程、網(wǎng)絡(luò)工程各專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)必修課。主要研究數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)的理論與方法。數(shù)字邏輯電路是計(jì)算機(jī)組成原理、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、微型機(jī)與接口、單片機(jī)原理及其應(yīng)用、數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)化等課程的基礎(chǔ)，對(duì)理解計(jì)算機(jī)的工作原理有十分重要的作用。它的主要內(nèi)容包括邏輯代數(shù)基礎(chǔ)、集成門電路、組合邏輯電路、觸發(fā)器、時(shí)序邏輯電路、脈沖產(chǎn)生電路、模數(shù)與數(shù)模電路等。數(shù)字邏輯電路是重要的專業(yè)基礎(chǔ)第2頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六2第1章邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 8學(xué)時(shí)第2章門電路 12學(xué)時(shí)第3章組合邏輯電路 12學(xué)時(shí)第4章觸發(fā)器 8學(xué)時(shí)第5章時(shí)序邏輯電路 8學(xué)時(shí)第6章脈沖產(chǎn)生與整形電路 8學(xué)時(shí)第7章數(shù)模與模數(shù)轉(zhuǎn)換電路 4學(xué)時(shí)復(fù)習(xí)及小測(cè)驗(yàn)

4學(xué)時(shí)教學(xué)計(jì)劃第3頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六3

教材：

《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)簡(jiǎn)明教程》(第三版)余孟嘗主編高等教育出版社2006年參考書：

《數(shù)字邏輯》(第二版)歐陽(yáng)星明主編華中科技大學(xué)出版社2005年

《數(shù)字邏輯電路》魏達(dá)、高強(qiáng)、金玉善、曹英暉編著科學(xué)出版社2005年

《電子技術(shù)基礎(chǔ)：數(shù)字部分》(第四版)康華光主編高等教育出版社2000年教材及參考書第4頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六4

按時(shí)上課，認(rèn)真聽(tīng)講，師生互動(dòng)，培養(yǎng)能力。

課后及時(shí)認(rèn)真復(fù)習(xí)，獨(dú)立完成作業(yè)。每周一交上周的作業(yè)，按學(xué)號(hào)順序排好。

平時(shí)多努力，基礎(chǔ)打扎實(shí)，考出好成績(jī)，用時(shí)不費(fèi)力。要求第5頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六5第1章

邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

第6頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六6第1章邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)概述1.1邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理1.2邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1.3邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換第7頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六7

模擬信號(hào)：在時(shí)間和幅值上均是連續(xù)變化的信號(hào)，即時(shí)間上的連續(xù)，量上的連續(xù)的信號(hào)。如水位，電壓，電流，溫度，亮度，顏色等。在自然環(huán)境下，大多數(shù)物理信號(hào)都是模擬量。如溫度是一個(gè)模擬量，某一天的溫度在不同時(shí)間的變化情況就是一條光滑、連續(xù)的曲線：概述一、數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)第8頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六8

數(shù)字信號(hào)：在時(shí)間和幅值上都是離散取值的物理量。即時(shí)間上的離散，量上的離散的信號(hào)。如數(shù)值，開(kāi)關(guān)位置，數(shù)字邏輯等。用邏輯1和0表示的數(shù)字信號(hào)波形如下圖所示：模擬世界A/D數(shù)字處理和存儲(chǔ)系統(tǒng)D/A

可以把模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)，其方法是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，并用數(shù)字代碼表示后的信號(hào)即為數(shù)字信號(hào)。當(dāng)數(shù)字系統(tǒng)要與模擬信號(hào)發(fā)生聯(lián)系時(shí)，必須經(jīng)過(guò)模-數(shù)和數(shù)-模轉(zhuǎn)換電路對(duì)信號(hào)類型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。第9頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六9模擬電路主要研究：輸入、輸出信號(hào)間的大小、相位關(guān)系、失真與否。模擬電路包括交直流放大器、濾波器、信號(hào)發(fā)生器等。在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)；在數(shù)字電路中，三極管工作在開(kāi)關(guān)狀態(tài)，即工作在飽和和截止?fàn)顟B(tài)。數(shù)字電路主要研究：電路輸出、輸入間的邏輯關(guān)系。主要的工具是邏輯代數(shù)，電路的功能用真值表、邏輯表達(dá)式及波形圖表示。模擬電路與數(shù)字電路比較1.電路的特點(diǎn)2.研究的內(nèi)容第10頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六10二、邏輯代數(shù)1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾（GeorgeBoole）首先提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，被稱為布爾代數(shù)。后來(lái)，由于布爾代數(shù)被廣泛應(yīng)用于解決開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)上，所以也把布爾代數(shù)叫做開(kāi)關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。

邏輯代數(shù)也是用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。和普通代數(shù)不同的是，邏輯變量只有兩種取值，即0和1。在邏輯代數(shù)中，1和0已不再表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)，即命題的真和假、信號(hào)的有和無(wú)、電平的高和低、開(kāi)關(guān)的閉合和斷開(kāi)等。

在客觀世界中，事物發(fā)展變化所遵循的因果關(guān)系，一般稱為邏輯關(guān)系，反映和處理這種關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，就是邏輯代數(shù)。第11頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六111、進(jìn)位計(jì)數(shù)制

進(jìn)位計(jì)數(shù)制的基本因素：基數(shù)和位權(quán)。

基數(shù)是指計(jì)數(shù)制中所有到的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)。在基數(shù)為R的計(jì)數(shù)制中，包含0、1、…、R－1共R個(gè)數(shù)字符號(hào)，進(jìn)位規(guī)律是“逢R進(jìn)一、借一當(dāng)R”，稱為R進(jìn)位計(jì)數(shù)制。

位權(quán)是指在一種進(jìn)位計(jì)數(shù)制表示的數(shù)中，用來(lái)表明不同數(shù)位上數(shù)值大小的一個(gè)固定常數(shù)。不同數(shù)位有不同的位權(quán)，某一個(gè)數(shù)位的數(shù)值等于這一位的數(shù)字符號(hào)乘上與該位對(duì)應(yīng)的位權(quán)。三、二進(jìn)制數(shù)表示法第12頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六12數(shù)字符號(hào)為：0～9；基數(shù)是10。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，借一當(dāng)十，即：9＋1＝10，10－9＝1。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式：５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。＋任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開(kāi)式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－22、十進(jìn)制數(shù)第13頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六133、二進(jìn)制數(shù)數(shù)字符號(hào)為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二，即：1＋1＝10，10－1＝1。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式：如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2＝(5.25)10加法規(guī)則：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10減法規(guī)則：0－0＝0，0－1＝1，1－0＝1，1－1＝0乘法規(guī)則：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1除法規(guī)則：0÷1＝0，1÷1＝1運(yùn)算規(guī)則各數(shù)位的權(quán)是２的冪

二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，它的每一位都可以用電子元件來(lái)實(shí)現(xiàn)，且運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn)。第14頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六144、八進(jìn)制數(shù)數(shù)字符號(hào)為：0～7；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，借一當(dāng)八，即：7＋1＝10，10－1＝7。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式：如：(65.2)8＝6×81＋5×80＋2×8－1＝(53.25)10各數(shù)位的權(quán)是8的冪5、十六進(jìn)制數(shù)數(shù)字符號(hào)為：0～9、A～F；基數(shù)是16。運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六，即：F＋1＝10，10－1＝F。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式：如：(D8.A)16＝13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是16的冪第15頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六15

十進(jìn)制的缺點(diǎn)：若在數(shù)字電路中采用十進(jìn)制，必須要有十個(gè)電路狀態(tài)與十個(gè)記數(shù)碼相對(duì)應(yīng)。這樣將在技術(shù)上帶來(lái)許多困難，而且很不經(jīng)濟(jì)。

二進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：電路中任何具有的兩個(gè)不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件都可用來(lái)表示一位二進(jìn)制數(shù)，數(shù)碼的存儲(chǔ)和傳輸簡(jiǎn)單、可靠。

二進(jìn)制的缺點(diǎn)：位數(shù)較多，不便于讀數(shù)；不合人們的習(xí)慣，輸入時(shí)將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，運(yùn)算結(jié)果輸出時(shí)再轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。第16頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六161、非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)：————按權(quán)相加法二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換：八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換：(1010.1)2=1×23＋0×22＋1×21＋0×20＋1×2－1＝(10.5)10十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換：把各個(gè)非十進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開(kāi)求和即可。(406.1)8＝4×82＋0×81＋6×80＋1×8－1＝(262.125)10(2AE.4)16＝2×162＋10×161＋14×160＋4×16－1＝(686.25)10四、幾種常用進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換第17頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六172、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分采用除2取余法轉(zhuǎn)換，小數(shù)部分采用乘2取整法轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換后再合并。除2取余法：將十進(jìn)制整數(shù)N除以2，取余數(shù)記為K0；再將所得商除以2，取余數(shù)記為K1依此類推，直至商為0，取余數(shù)記為Kn－1為止。即可得到與N對(duì)應(yīng)的n位二進(jìn)制整數(shù)Kn－1······K1K0。乘2取整法：將十進(jìn)制小數(shù)N乘以2，取整數(shù)部分記為K－1；再將其小數(shù)部分乘以2，取整數(shù)部分記為K－2；······依此類推，直至其小數(shù)部分為0或達(dá)到規(guī)定的精度要求，取整數(shù)部分記為K－m為止。即可得到與N對(duì)應(yīng)的m位二進(jìn)制小數(shù)0．K－1K－2······K－m。第18頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六18整數(shù)部分采用除2取余法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。小數(shù)部分采用乘2取整法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2第19頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六19

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的另一種方法是降冪比較法。如果熟記20～210的數(shù)值是1～1024，2－1～2－4的數(shù)值是0.5～0.0625，那么用降冪比較法，便可很容易地獲得一個(gè)十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換值。例如（153.375）10＝（10011001.011）2

153.375－）1282725.375－）16249.375－）8231.375－）1200.375－）0.252－20.125－）0.1252－3028＝256＞153.375＞27＝12825＝32＞25.375＞24＝1624＝16＞9.375＞23＝821＝2＞1.375＞20＝12－1＝0.5＞0.375＞2－2＝0.252－2＝0.25＞0.125＝2－3＝0.125第20頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六20

八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，只需將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。例：(56.7)8＝(101110.111)23、二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換：

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)時(shí)，以小數(shù)點(diǎn)為界，分別往高、往低每3位為一組，最后不足3位用0補(bǔ)充，然后寫出每組對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)字符，即為相應(yīng)八進(jìn)制數(shù)?！苯訉?duì)應(yīng)法例：(1110011.1011)2

＝(001110011.101100)2

＝（163.54）8第21頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六21

十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，只需將每位十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)表示。例：(111010100.011)2＝(000111010100.0110)2

＝(1D4.6)16例：(AF4.76)16＝(101011110100.01110110)24、二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換：

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)，以小數(shù)點(diǎn)為界，分別往高、往低每4位為一組，最后不足4位用0補(bǔ)充，然后寫出每組對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)字符即可?！苯訉?duì)應(yīng)法第22頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六22五、二進(jìn)制代碼

用二進(jìn)制數(shù)表示文字、符號(hào)等信息的過(guò)程就叫二進(jìn)制編碼。用來(lái)進(jìn)行編碼之后的二進(jìn)制數(shù)稱為二進(jìn)制代碼。

由于人們生活中習(xí)慣采用的是十進(jìn)制，而數(shù)字電路便于采用的是二進(jìn)制，這自然就提出了如何用二進(jìn)制編碼來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)的問(wèn)題，即二—十進(jìn)制編碼的問(wèn)題。數(shù)字系統(tǒng)有一種數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法：每一位十進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制代碼表示，稱為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)——BCD碼（BinaryCodedDecimal），或稱二—十進(jìn)制編碼。它既有二進(jìn)制數(shù)的形式，又有十進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)，便于傳遞、處理。第23頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六23

最常用的BCD碼是8421BCD碼，它與十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)對(duì)應(yīng)的編碼如下表所示。8

4

2

1位權(quán)0

0

0

00

0

0

10

0

1

00

0

1

10

1

0

00

1

0

10

1

1

00

1

1

11

0

0

01

0

0

10123456789B3B2B1B08421BCD碼十進(jìn)制數(shù)字第24頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六241.1邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理1.1.1基本和常用邏輯運(yùn)算一、三種基本邏輯運(yùn)算

定義：當(dāng)決定一個(gè)事情的各個(gè)條件全部具備時(shí)，這件事情才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系。1、與運(yùn)算（邏輯乘）+VABY

如圖開(kāi)關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y。開(kāi)關(guān)A，B都斷開(kāi)，燈泡Y不亮；開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)，開(kāi)關(guān)B閉合，燈泡Y不亮；開(kāi)關(guān)A閉合，開(kāi)關(guān)B斷開(kāi)，燈泡Y不亮；開(kāi)關(guān)A，B都閉合，燈泡Y亮。第25頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六25功能表

開(kāi)關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y的功能表如左下圖。

將開(kāi)關(guān)閉合記作1，斷開(kāi)記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒龇Q之為真值表的右下表來(lái)描述與邏輯關(guān)系。真值表Ｙ＝Ａ?Ｂ兩個(gè)開(kāi)關(guān)均接通時(shí)，燈才會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：滅滅滅亮斷開(kāi)

斷開(kāi)斷開(kāi)

閉合閉合

斷開(kāi)閉合

閉合燈泡Y開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B00010

00

11

01

1YAB第26頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六26

實(shí)現(xiàn)與邏輯關(guān)系的電路稱為與門。與門的邏輯符號(hào)如左下圖所示?！?”是and的花寫，表示“與”的意思。

Ｙ＝Ａ?Ｂ邏輯與（邏輯乘）的運(yùn)算規(guī)則為：有0出0全1為1第27頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六27

定義：決定某一件事情的各個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上的條件具備，這件事情就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為或邏輯關(guān)系?；蜻壿嬯P(guān)系用或運(yùn)算（邏輯加）描述。兩變量或邏輯關(guān)系式為：Y＝A＋B。該邏輯關(guān)系可用稱之為真值表右下表描述。實(shí)現(xiàn)或邏輯關(guān)系的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號(hào)如左下圖所示?！啊?”的意思是：當(dāng)輸入邏輯變量A、B為1的個(gè)數(shù)大于等于1個(gè)時(shí)，輸出Y為1。2、或運(yùn)算（邏輯加）ABY000110110111ABY

≥1第28頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六28

例如，開(kāi)關(guān)A和B并聯(lián)控制燈F?？梢钥闯?，當(dāng)開(kāi)關(guān)A、B中有一個(gè)閉合或兩個(gè)均閉合時(shí)，燈Y亮。因此，燈Y與開(kāi)關(guān)A、B之間的關(guān)系是“或”邏輯關(guān)系。A+VBY邏輯或（邏輯加）的運(yùn)算規(guī)則為：有1出1全0為0第29頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六293、非運(yùn)算（邏輯非）

定義：某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則稱這種因果關(guān)系為非邏輯。非邏輯關(guān)系用非運(yùn)算（邏輯非）描述。非邏輯關(guān)系式為：。該邏輯關(guān)系可用稱之為真值表右下表描述。實(shí)現(xiàn)非邏輯關(guān)系的電路稱為非門。非門的邏輯符號(hào)如左下圖所示。小圓圈“○”為非的符號(hào)，“1”表示輸入端只有1個(gè)。AY0110第30頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六30

例如，開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)。顯然，僅當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，燈亮。一旦開(kāi)關(guān)閉合，則燈滅。因此，燈F與開(kāi)關(guān)A的關(guān)系是“非”邏輯關(guān)系。邏輯非的運(yùn)算規(guī)則為：+VAF第31頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六31

邏輯代數(shù)中，和普通代數(shù)一樣，也是用英文字母表示變量，稱為邏輯變量。如果輸入邏輯變量為A、B、…的取值確定之后，輸出邏輯變量Y的值就惟一地確定了，則稱Y為A、B、…的邏輯函數(shù)，記為

1、邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯電路AB…Y二、邏輯變量與邏輯函數(shù)及幾種常用邏輯運(yùn)算

邏輯代數(shù)中的函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)類似，但邏輯函數(shù)具有它自身的特點(diǎn)：⑴、邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只有0和1兩種可能；⑵、邏輯函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由或、與、非3種基本運(yùn)算決定的。第32頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六32（1）與非邏輯運(yùn)算

與非邏輯是由與、非兩種基本邏輯復(fù)合形成的，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

實(shí)現(xiàn)與非功能的邏輯門稱為與非門。與非門的邏輯符號(hào)和真值表如下圖所示。YAB與非門的邏輯符號(hào)&ABY0001101111102、復(fù)合邏輯運(yùn)算在邏輯代數(shù)中，除了與、或、非三種基本邏輯外，經(jīng)常用到的還有這三種基本運(yùn)算構(gòu)成的復(fù)合運(yùn)算。第33頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六33（2）或非邏輯

或非邏輯是由或、非兩種基本邏輯復(fù)合形成的，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

實(shí)現(xiàn)或非功能的邏輯門稱為或非門?；蚍情T的邏輯符號(hào)和真值表如下圖所示。YAB或非門的邏輯符號(hào)≥1ABY000110111000第34頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六34

與或非邏輯是由3種基本邏輯復(fù)合形成的，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：（3）與或非邏輯

實(shí)現(xiàn)與或非功能的邏輯門稱為與或非門。與或非門的邏輯符號(hào)和電路結(jié)構(gòu)如下圖所示。ABCD&&≥1Y與或非門的電路結(jié)構(gòu)CDABY+=Y≥1&ABCD與或非門的邏輯符號(hào)第35頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六35

A0＝A

A1＝A

AA＝0

AA＝1

（4）異或邏輯

根據(jù)異或邏輯的定義可知：YAB異或門的邏輯符號(hào)=1ABY000110110110

異或邏輯表達(dá)式：

式中，是異或運(yùn)算的運(yùn)算符。邏輯功能：變量A、B取值相異，Y為1,反之為0。

實(shí)現(xiàn)異或運(yùn)算的邏輯門稱為異或門。異或門的邏輯符號(hào)和真值表如下?！埃?”的意思是指兩個(gè)輸入變量A、B的狀態(tài)為1的個(gè)數(shù)等于1個(gè)時(shí)，輸出為1。第36頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六36（5）同或邏輯

同或邏輯與異或邏輯的關(guān)系既互為相反，又互為對(duì)偶，即有YAB同或門的邏輯符號(hào)=ABY000110111001

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB

同或邏輯表達(dá)式：

式中，⊙是同或運(yùn)算的運(yùn)算符。邏輯功能：變量A、B取值相同，Y為1,反之為0。

實(shí)現(xiàn)同或運(yùn)算的邏輯門稱為同或門。同或門的邏輯符號(hào)和真值表如下?！埃健钡囊馑际侵竷蓚€(gè)變量的狀態(tài)相等時(shí)，輸出為1，不等時(shí)輸出為0。第37頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六37一、常量之間的關(guān)系0＋0＝01＋0＝10＋1＝11＋1＝10·0＝01·0＝00·1＝01·1＝11＝00＝1三、與普通代數(shù)相似的定理交換律：A＋B＝B＋AA·B＝B·A結(jié)合律：（A＋B）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）分配律：Ａ·(Ｂ＋Ｃ)＝A·B＋A·C

Ａ＋(Ｂ·Ｃ)＝(A＋B)·(A＋C)證明：右邊＝(A＋B)·(A＋C)＝AA＋AC＋AB＋BC＝A＋AC＋AB＋BC＝A(1＋C＋B)＋BC＝A＋BC＝左邊1.1.2公式和定理二、變量和常量的關(guān)系0－1律：A＋1＝1A＋0＝AA·0＝0A·1＝A互補(bǔ)律：A＋A＝1A·A＝0第38頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六38還原律：A＝A111011101000100000011011A＋BA·BA·BA＋BAB四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理同一律：A＋A＝A，A·A＝A德·摩根定理（又稱反演律）：A+B=A·B，A·B=A+B證明：用真值表來(lái)證明，真值表如右表。記憶：“上面砍一刀，下面變個(gè)號(hào)”。第39頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六39

例如，已知等式，用函數(shù)Y＝AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：

1、代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)Y代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。五、關(guān)于等式的兩個(gè)重要規(guī)則

利用代入規(guī)則可將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。例如，已知，用函數(shù)代替等式中的A，可得到等式即一個(gè)函數(shù)和其反函數(shù)進(jìn)行“或”運(yùn)算，其結(jié)果為1。第40頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六40

運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：①不能破壞原式的運(yùn)算順序——先算括號(hào)里的，然后按“先與后或”的原則運(yùn)算。②不是一個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保持不變。

2、反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：第41頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六41F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根據(jù)反演規(guī)則可得到:例2：已知與變或時(shí)要加括號(hào)例3：已知長(zhǎng)非號(hào)不變第42頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六42六、若干常用公式1、合并律（公式14）：證明：

2、原變量吸收律（公式15）：A+AB=A，A·(A+B)=A

證明：A+AB=A(1+B)=A·1=AA·(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A 3、反變量吸收律（公式16）：

證明：第43頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六434、包含律(公式17)：

證明：推論：證明：

該公式及推論說(shuō)明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中，一項(xiàng)包含了原變量A，另一項(xiàng)包含了反變量A，而這兩項(xiàng)中其余的因子(如B和C)都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三項(xiàng)是多余的。

第44頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六445、公式18：

證明：

公式18說(shuō)明，兩個(gè)變量異或，其反就是它們的同或（兩個(gè)變量取值相同時(shí)其值為1，故稱同或），反之，兩者同或的反就是它們的異或。第45頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六45作業(yè)題P68題1.1

題1.2⑵、⑷

題1.3⑴、⑶

題1.4⑵

題1.5⑷

題1.6⑴、⑶第46頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六461.2邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1.2.1邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡(jiǎn)式一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法有兩種：一種稱為公式化簡(jiǎn)法，就是用邏輯代數(shù)中的公式和定理進(jìn)行化簡(jiǎn)；另一種稱為圖形化簡(jiǎn)法，用來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)的工具是卡諾圖。

所謂與-或表達(dá)式是指由若干與項(xiàng)進(jìn)行或運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。每個(gè)與項(xiàng)可以是單個(gè)變量的原變量或者反變量，也可以由多個(gè)原變量或者反變量相與組成。例如、、均為與項(xiàng)，將這3個(gè)與項(xiàng)相或便可構(gòu)成一個(gè)3變量函數(shù)的與-或表達(dá)式。即第47頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六47

為了在邏輯問(wèn)題的研究中使邏輯函數(shù)能和惟一的表達(dá)式對(duì)應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。常用的有邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或形式和標(biāo)準(zhǔn)或-與形式。標(biāo)準(zhǔn)與-或形式是由邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相或構(gòu)成。

定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的與項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)與項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)，也叫標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)。n個(gè)變量的最小項(xiàng)共有2n個(gè)。例如，3個(gè)變量A、B、C可以構(gòu)成8個(gè)最小項(xiàng)，分別是：1、最小項(xiàng)的概念

這8個(gè)乘積項(xiàng)共同的特點(diǎn)是：⑴每個(gè)乘積項(xiàng)都有三個(gè)因子。⑵每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式，作為一個(gè)因子在乘積項(xiàng)中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。第48頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六48

為了書寫方便，常對(duì)最小項(xiàng)進(jìn)行編號(hào)，用mi

表示，下標(biāo)i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆畲箜?xiàng)中的原變量用1表示，反變量用0表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。例如最小項(xiàng)可用m5

表示。

3、最小項(xiàng)的性質(zhì)：⑴、任意一個(gè)最小項(xiàng)mi，只有變量的一組取值使mi＝1，而變量取其它值時(shí)，mi＝0。例如，，只有A＝1、B＝1、C＝0時(shí)，m6＝1。⑵、相同變量構(gòu)成的兩個(gè)不同最小項(xiàng)相與為0。即當(dāng)i≠j時(shí)，mi·mj=0。例如，。2、最小項(xiàng)的編號(hào)第49頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六49⑶、n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)相或?yàn)??；蛘f(shuō)全部最小項(xiàng)之和等于1，即∑mi＝1。例如，3變量最小項(xiàng)之和⑷、n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。相鄰最小項(xiàng)是指除一個(gè)變量互為相反外，其余部分均相同的最小項(xiàng)。例如，。

例如，3變量最小項(xiàng)，其相鄰項(xiàng)有3個(gè)：

具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并為一項(xiàng)并消去一個(gè)變量。例如：第50頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六50

4、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或表達(dá)式

由若干最小項(xiàng)相或構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式，也叫做最小項(xiàng)表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)與-或表達(dá)式為：

Y=∑mi(i=0,1,2…n)例如，為3變量構(gòu)成的4個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)這4個(gè)最小項(xiàng)進(jìn)行“或”運(yùn)算，即可得到一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式該函數(shù)表達(dá)式又可簡(jiǎn)寫為第51頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六51例：將以下邏輯函數(shù)化成最小項(xiàng)之和的形式。)3,6,7()()(),,(),,(mBCACABABCAABCCCABCBAYBCABCBAY=++=+++=+=?的形式：解：展開(kāi)成最小項(xiàng)之和⑴⑵解：展開(kāi)成最小項(xiàng)之和的形式：第52頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六52

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也可以從真值表直接得到。只要在真值表中挑選那些使函數(shù)值為1的變量取值，變量取值為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，這樣對(duì)應(yīng)于使函數(shù)值為1的每一種取值，都可以寫出一個(gè)乘積項(xiàng)，只要把這些乘積項(xiàng)加起來(lái)，所得到的就是函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。

例如，邏輯函數(shù)的真值表如右，根據(jù)真值表直接寫出Y的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式為：00101110000001010011100101110111YABC或第53頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六53

一個(gè)邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式，按照式中變量之間運(yùn)算關(guān)系的不同，分為最簡(jiǎn)與或式、最簡(jiǎn)與非－與非式、最簡(jiǎn)或與式、最簡(jiǎn)或非－或非式、最簡(jiǎn)與或非式五種。二、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式

1、最簡(jiǎn)與或式定義：乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量個(gè)數(shù)也最少的與或表達(dá)式，稱為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

例1.2.2：

顯然，在函數(shù)Y的各個(gè)與或表達(dá)式中，式(1.2.2c)是最簡(jiǎn)的，因?yàn)樗献詈?jiǎn)與或表達(dá)式的定義。第54頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六54

2、最簡(jiǎn)與非－與非式定義：非號(hào)最少，每個(gè)非號(hào)下面相乘的變量個(gè)數(shù)也最少的與非－與非表達(dá)式，稱為最簡(jiǎn)與非－與非表達(dá)式。注意，單個(gè)變量上面的非號(hào)不算，因?yàn)橐褜⑵洚?dāng)成反變量。

例1.2.3：寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)與非－與非表達(dá)式。

在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上，兩次取反，再用摩根定理去掉下面的反號(hào)，便可得到函數(shù)的最簡(jiǎn)與非－與非表達(dá)式。

解：

式（）就是函數(shù)Y的最簡(jiǎn)與非－與非表達(dá)式。第55頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六55

3、最簡(jiǎn)或與式定義：括號(hào)個(gè)數(shù)最少，每個(gè)括號(hào)中相加的變量個(gè)數(shù)也最少的或與式，稱為最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。

例1.2.4：寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。

在反函數(shù)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上，取反，再用摩根定理去掉反號(hào)，便可得到函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。當(dāng)然，在反函數(shù)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上，也可用反演規(guī)則，直接寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與式。

解：

式（）就是函數(shù)Y的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。第56頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六56

4、最簡(jiǎn)或非－或非式定義：非號(hào)個(gè)數(shù)最少，非號(hào)下面相加變量個(gè)數(shù)也最少的或非－或非表達(dá)式，稱為最簡(jiǎn)或非－或非表達(dá)式。

例1.2.5：寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或非－或非表達(dá)式。

在最簡(jiǎn)或與表達(dá)式的基礎(chǔ)上，兩次取反，再用摩根定理去掉下面的反號(hào)，所得到的便是函數(shù)的最簡(jiǎn)或非－或非表達(dá)式。

解：

式（）就是函數(shù)Y的最簡(jiǎn)或非－或非表達(dá)式。第57頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六57

5、最簡(jiǎn)與或非式定義：在非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量個(gè)數(shù)也最少的與或非式，稱為最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。

例1.2.6：寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。

在最簡(jiǎn)或非－或非式的基礎(chǔ)上，用摩根定理去掉大反號(hào)下面的小反號(hào)，便可得到函數(shù)的最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。當(dāng)然，在反函數(shù)最簡(jiǎn)與或式的基礎(chǔ)上，直接取反亦可。

解：

式（）就是函數(shù)Y的最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。第58頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六58

從上面各種最簡(jiǎn)式的介紹中，不難發(fā)現(xiàn)，只要得到了函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式，再用摩根定理進(jìn)行適當(dāng)變換，就可以獲得其他幾種類型的最簡(jiǎn)式。因此下面要講解的公式化簡(jiǎn)法和圖形化簡(jiǎn)法，所說(shuō)明的都是如何在與或式的基礎(chǔ)上，獲得最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法。至于給定函數(shù)的表達(dá)式不是與或式時(shí)，則只需要用公式和定理，便可將其展開(kāi)、變換成與或式，而且在展開(kāi)、變換過(guò)程中，能化簡(jiǎn)的理所當(dāng)然地應(yīng)順便化簡(jiǎn)。第59頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六59

公式化簡(jiǎn)法，就是在與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上，利用公式、定理和規(guī)則，消去表達(dá)式中多余的乘積項(xiàng)和每個(gè)乘積項(xiàng)中多余的因子，求出函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式。這種方法沒(méi)有固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公式、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。1.2.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法第60頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六60

一、并項(xiàng)法運(yùn)用公式將兩個(gè)與項(xiàng)合并成一個(gè)與項(xiàng)，合并后消去一個(gè)變量。例：第61頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六61

二、吸收法利用公式吸收掉多余的項(xiàng)。第62頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六62三、消去法利用公式消去乘積項(xiàng)中多余的因子。四、配項(xiàng)消項(xiàng)法利用公式，加上冗余項(xiàng)，以消去更多乘積項(xiàng)。第63頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六63五、配項(xiàng)法①利用配項(xiàng)②利用配項(xiàng)第64頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六64

實(shí)際應(yīng)用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復(fù)雜，化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)靈活使用所學(xué)的公式、定理及規(guī)則，綜合運(yùn)用各種方法。

下面舉例說(shuō)明。例1：化簡(jiǎn)

解：第65頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六65例2：化簡(jiǎn)

解：第66頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六66例3：化簡(jiǎn)

解：第67頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六67例4化簡(jiǎn)解：第68頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六68第69頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六69作業(yè)題P69題1.7（寫出Y1、Y4的標(biāo)準(zhǔn)與或式）題1.8⑴、⑷

題1.9⑴、⑷、⑺P70題1.10⑴、⑶第70頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六70

邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)也稱為圖形法化簡(jiǎn)?？ㄖZ圖法是由美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）于1953年提出來(lái)的。它比代數(shù)法化簡(jiǎn)形象直觀，易于掌握，只要按照一定的規(guī)則，便可十分方便地將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)式。由于卡諾圖化簡(jiǎn)法具有簡(jiǎn)單、直觀、容易掌握等優(yōu)點(diǎn)，在邏輯設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。

卡諾圖是由真值表變換而來(lái)的一種方格圖?？ㄖZ圖上的每一個(gè)方格代表真值表上的一行，因而代表一個(gè)最小項(xiàng)。真值表有多少行，卡諾圖就有多少個(gè)方格?？ㄖZ圖不僅是邏輯函數(shù)的描述工具，而且還是邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的重要工具。1.2.3邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法第71頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六71

一、邏輯變量的卡諾圖

1、卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖就是與變量的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的、變量按循環(huán)碼順序排列的方格圖。n個(gè)邏輯變量有2n組合，最小項(xiàng)就有2n個(gè)，卡諾圖也相應(yīng)有2n個(gè)小方格。

2、3、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示。m3

m2

m1m0

BA0110(a)0m6m2m7m3m5

m4

m1m0

100011110BCA(b)m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5

m4

m1m0

00011110CDAB00011110(c)變量的順序是00，01，11，10，而不是00，01，10，11。這是為使任意兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)之間只有一個(gè)變量改變。第72頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六72

2、卡諾圖的特點(diǎn)

1、用幾何相鄰形象地表示變量各個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上的相鄰性。

幾何相鄰包括：相接——緊挨著；相對(duì)——任一行或一列的兩頭；相重——對(duì)折起來(lái)后位置重合。邏輯相鄰：如果兩個(gè)最小項(xiàng)，除了一個(gè)變量的形式不同外，其余的都相同，那么這兩個(gè)最小項(xiàng)就認(rèn)為在邏輯上是相鄰的。而在邏輯上相鄰的最小項(xiàng)，是可以合并的。

2、卡諾圖的主要缺點(diǎn)，是隨著變量個(gè)數(shù)的增加，圖形迅速地復(fù)雜起來(lái)。當(dāng)變量多于6個(gè)時(shí)，不僅畫圖十分麻煩，而且即使畫出來(lái)了，許多小方塊——最小項(xiàng)，是否邏輯相鄰，也難以辨認(rèn)，已無(wú)實(shí)用價(jià)值。第73頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六73

例如，四變量卡諾圖中，每個(gè)最小項(xiàng)應(yīng)有4個(gè)相鄰最小項(xiàng)，如m5的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)分別是和m5相接的m1，m4，m7，m13。這種相鄰稱為相接相鄰。

而m2的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)除了與之幾何相接的m3和m6之外，另外兩個(gè)是處在“相對(duì)”位置的m0

(同一行的兩端)和m10(同一列的兩端)。這種相鄰稱為相對(duì)相鄰。

從各卡諾圖可以看出，在n個(gè)變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個(gè)最小項(xiàng)的n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5

m4

m1

m0

00011110CDAB00011110(c)第74頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六74m18m19m17m16m26m27m25m24m10m2m11m3m9

m8

m1

m0

m20m21m23m22m28m29m31m30m12m4m13m5m14

m15

m7m6

00011110000001011010110111101100CDEAB5變量卡諾圖

5變量卡諾圖如下圖所示。

例如五變量卡諾圖中的m3，除了相接相鄰的m1，m2，m11和相對(duì)相鄰的m19外，還與處在“相重”位置的最小項(xiàng)m7相鄰。這種相鄰稱為相重相鄰（或稱重疊相鄰）。第75頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六75

3、變量卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律

卡諾圖的構(gòu)造特點(diǎn)使卡諾圖具有一個(gè)重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項(xiàng)合并。合并的理論依據(jù)是并項(xiàng)定理。例如，

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理：通過(guò)把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)的目的。

通常把用來(lái)包圍那些能由一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替的若干最小項(xiàng)的“圈”稱為卡諾圈。

m7m5

AB1000011100CD011110m13

m15

在變量卡諾圖中，凡是幾何相鄰的最小項(xiàng)均可合并，合并時(shí)可以消去有關(guān)變量。兩個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)時(shí)可消去一個(gè)變量，4個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)時(shí)可消去兩個(gè)變量，·······，2n個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)時(shí)可消去n個(gè)變量。第76頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六76

⑴兩個(gè)小方格相鄰,或處于某行(列)兩端時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去一個(gè)變量。

例如，下圖給出了2、3變量卡諾圖上兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。

當(dāng)一個(gè)函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項(xiàng)可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說(shuō)明。

兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況B011010100110A1010A1101A1010BAB0100010100011110BCA01BCAC第77頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六77

⑵四個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時(shí)，所的表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去兩個(gè)變量。

例如，下圖給出了3變量卡諾圖上四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。

0011101000011110BCA01CC1100010100011110BCA01第78頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六78

四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的幾種情況00011110AB1001011001101001CD00011110BDBD00011110AB0110100110010110CD00011110BDBD00011110AB0010111100001010CD00011110ABCD

下圖給出了4變量卡諾圖上四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。第79頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六79

3．八個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成相鄰的兩行(列)、或處于兩個(gè)邊行(列)時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去三個(gè)變量。

例如，下圖給出了3、4變量卡諾圖上八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。

8個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的兩種情況111101100111101100011110CDAB00011110(b)DB1111111100011110BCA011(a)第80頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六80

二、邏輯函數(shù)的卡諾圖

1、邏輯函數(shù)卡諾圖的畫法在與-或表達(dá)式基礎(chǔ)上，畫邏輯函數(shù)卡諾圖的步驟：⑴畫出函數(shù)變量的卡諾圖。⑵在函數(shù)的每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的最小項(xiàng)處填上1，剩下的填上0或不填，所得的就是函數(shù)的卡諾圖。

2、舉例例1：畫出3變量函數(shù)Y(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖。

00111001

0100011110BCAY(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖

第81頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六81

例3：畫出函數(shù)的卡諾圖。

解：如圖1所示

例2：畫出函數(shù)的卡諾圖。

解：如圖2所示000111110101011100011110CDAB00011110圖1010011110111000000011110CDAB00011110圖2第82頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六82

⑴畫出函數(shù)的卡諾圖⑵合并邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)，即圈出卡諾圈。注意：①將取值為1的相鄰小方格圈成矩形或方形，相鄰小方格包括最上行與最下行及最左列與最右列同列或同行兩端的兩個(gè)小方格。②所圈取值為1的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n（n＝0，1，2，3，···），即1，2，4，8，···，不允許3，6，10，12等。③圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少，圈內(nèi)小方格個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能多。④每圈一個(gè)新的圈時(shí)，必須包含至少一個(gè)在已圈過(guò)的圈中未出現(xiàn)過(guò)的最小項(xiàng)。⑤每一個(gè)取值為1的小方格可被圈多次，但不能遺漏。⑥相鄰的2項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子；相鄰的4項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)因子；類推，相鄰的2n項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去n個(gè)因子。⑶選擇乘積項(xiàng)寫出最簡(jiǎn)與或式。三、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1、化簡(jiǎn)步驟

第83頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六83101111110000111100011110CDAB00011110CBCABABDACD

第84頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六84

例1：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)。解：⑴作出給定函數(shù)F的卡諾圖如圖。

⑵在函數(shù)Y的卡諾圖上圈出卡諾圈。畫卡諾圈時(shí)先畫大圈，再畫小圈，且大圈中不再畫小圈。在圖中的5個(gè)卡諾圈均沒(méi)有被更大的卡諾圈包圍。且每一個(gè)圈至少有1個(gè)最小項(xiàng)未被其它的卡諾圈圈過(guò)。AB000111101111111CD0001111011

⑶函數(shù)Y的最簡(jiǎn)與或式為：BDABCDCDABCABC

2、舉例第85頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六85

例2：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

解：第一步：作出給定函數(shù)Y的卡諾圖，如下圖(a)所示。

第二步：在函數(shù)Y的卡諾圖上圈出卡諾圈。如圖(b)或(c)。(a)AB000111101111CD00011110111(c)AB000111101111CD00011110111(b)AB000111101111CD00011110111

第三步：求得函數(shù)F的最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式為或圖(b)圖(c)第86頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六861.2.4具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

例如，十字路口的交通燈規(guī)定紅燈停，綠燈行，黃燈要注意。若以變量A、B、C分別表示紅、黃、綠燈的狀態(tài)，且以燈亮為1，燈滅為0，用Y表示停車與否，且以停車為1，通行為0，則Y是A、B、C的函數(shù)。如果規(guī)定不允許有兩個(gè)以上的燈同時(shí)亮，則A、B、C三個(gè)變量的取值組合只可能是000、001、010、100，而不應(yīng)出現(xiàn)011、101、110、111這四種情況。這說(shuō)明A、B、C之間有著一定的制約關(guān)系，因此稱這三個(gè)變量是一組有約束的變量。

一、約束的概念和約束條件

1、約束、約束項(xiàng)、約束條件⑴約束約束是用來(lái)說(shuō)明邏輯函數(shù)中各個(gè)變量之間互相制約關(guān)系的一個(gè)重要概念。第87頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六87

⑵約束項(xiàng)不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。十字路口的交通燈的例子中，變量A、B、C不會(huì)出現(xiàn)011、101、110、111四種情況取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)就是。⑶約束條件由約束項(xiàng)加起來(lái)所構(gòu)成的值為0的邏輯表達(dá)式，稱為約束條件。十字路口的交通燈的例子中，約束條件就是第88頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六88

2、約束條件的表示方法

⑴在真值表中，用叉號(hào)（×）表示。⑵在邏輯表達(dá)式中，用等于0的條件等式表示。十字路口的交通燈的例子的約束條件表示為

⑶在卡諾圖中用叉號(hào)（×）表示。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最小項(xiàng)之和表達(dá)式即標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式0×1×××11

1100011110BCA111×1×××000001010011100101110111YABC第89頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六89

二、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1、無(wú)關(guān)最小項(xiàng)：一個(gè)邏輯函數(shù),如果它的某些輸入變量取值組合因受特殊原因制約而不會(huì)出現(xiàn),或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn),但此時(shí)函數(shù)取值為1還是為0無(wú)關(guān)緊要,那么這些輸入取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)最小項(xiàng)。無(wú)關(guān)最小項(xiàng)用“d”或者“×”表示。

2、具有約束的邏輯函數(shù)是一種包含無(wú)關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)。

3、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)由于在無(wú)關(guān)項(xiàng)的相應(yīng)取值下，函數(shù)值隨意取成0或1都不影響函數(shù)原有的功能，因此可以充分利用這些無(wú)關(guān)項(xiàng)其值可以取1，也可以取0來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，即采用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)時(shí)，可以利用?(或×)來(lái)擴(kuò)大卡諾圈。第90頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六90

三、化簡(jiǎn)舉例

例：化簡(jiǎn)下列函數(shù)000101×1

×100011110BCA

解：Y的卡諾圖如圖所示。

m0、

m4當(dāng)成1處理，可以與m1、

m5合并，得B；

m5、m7合并得AC。所以BAC第91頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六91作業(yè)題P70題1.11(b)、(d)、(f)

題1.12⑴、⑶P71題1.13⑵

題1.14⑵、⑷題1.15⑶、⑹第92頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六921.3.1邏輯函數(shù)的表示法

一、邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式是由邏輯變量、邏輯運(yùn)算符和必要的括號(hào)所構(gòu)成的式子。例如

Y＝F(A，B，C)＝AB＋BC為一由三個(gè)變量A、B和C進(jìn)行邏輯運(yùn)算構(gòu)成的邏輯表達(dá)式。

邏輯函數(shù)的表示法有邏輯表達(dá)式、真值表、邏輯圖、波形圖和卡諾圖等。1.3邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換第93頁(yè)，共108頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期六93

二、真值表真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫方法：每一個(gè)變量均有0、1兩