2020版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)：第1-29講-講練課件全集(含答案)-收藏

第1講實(shí)數(shù)考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的概念

1.實(shí)數(shù)的分類考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五(2)按正負(fù)性分類

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五2.實(shí)數(shù)的有關(guān)概念數(shù)軸:規(guī)定了原點(diǎn)

、正方向

和單位長度

的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)

一一對應(yīng).

3.數(shù)的開方(1)任何正數(shù)a都有兩

個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)

;負(fù)數(shù)

沒有平方根,0的平方根為0

.

(2)±表示正數(shù)a的平方根

,表示正數(shù)a的算術(shù)平方根

,-表示正數(shù)a的負(fù)的平方根

.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五考點(diǎn)二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值

1.相反數(shù):絕對值

相等,符號

相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).若a,b互為相反數(shù),則a+b=0

.相反數(shù)等于本身的數(shù)是0

.

2.非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為

.若a,b互為倒數(shù),則ab=1

.

3.絕對值(1)幾何意義:在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

,叫做數(shù)a的絕對值;

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)

1.科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)表示成a×10n

的形式,其中1≤|a|<10,n是整數(shù).

2.一般地,一個(gè)近似數(shù),四舍五入到哪一位,就說這個(gè)近似數(shù)精確

到哪一位.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五考點(diǎn)四實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1.實(shí)數(shù)的每一步運(yùn)算都要先確定結(jié)果的符號

,再確定結(jié)果的絕對值

.

2.運(yùn)算順序:先算乘方

,再算乘除

,最后算加減

;如果有括號,先算括號

里面的,同一級運(yùn)算按照從左

到右

的順序依次進(jìn)行.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五3.幾種常考運(yùn)算及法則

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五考點(diǎn)五實(shí)數(shù)的大小比較

1.數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù),右面

的點(diǎn)表示的數(shù)總比左面

的點(diǎn)表示的數(shù)大.

2.正數(shù)大于

0,負(fù)數(shù)小于

0,正數(shù)大于

負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對值大的小于

絕對值小的.

3.其他常用比較方法(1)差值比較法:若a-b>0,則a>b;若a-b<0,則a<b;若a-b=0,則a=b.考法1考法2考法3考法4考法5考法6實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù),凡是能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的都是有理數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).A.4

B.3

C.2

D.1答案:C

考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法點(diǎn)撥理解無理數(shù)的概念,無理數(shù)包含無限小數(shù)和不循環(huán)兩個(gè)條件,缺一不可,常見的無理數(shù)有三類:①π類,如2π,3π等;②開方開不盡的數(shù),如

等;③雖有規(guī)律,但是無限不循環(huán)的數(shù),如0.101

001

000

1…,0.030

030

003…等.在判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù)時(shí),不能只看形式,還要看化簡的結(jié)果.考法1考法2考法3考法4考法5考法6實(shí)數(shù)的有關(guān)概念實(shí)數(shù)的有關(guān)概念主要包括相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的概念,要會求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù).例2(2018甘肅)-2018的相反數(shù)是(

)答案:B

考法1考法2考法3考法4考法5考法6科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)科學(xué)記數(shù)法是將一個(gè)較大的數(shù)或較小的數(shù)寫成a×10n或a×10-n的形式,其中1≤|a|<10,n為正整數(shù).例3(2018四川資陽)-0.00035用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.-3.5×10-4 B.-3.5×104C.3.5×10-4 D.-3.5×10-3答案:A

解析:將數(shù)據(jù)-0.000

35用科學(xué)記數(shù)法表示為-3.5×10-4,故選A.

方法點(diǎn)撥用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù),n值的確定要根據(jù)這個(gè)數(shù)的絕對值分為三種情況:(1)絕對值大于10的數(shù),表示為a×10n的形式,n等于整數(shù)的位數(shù)減去1;(2)絕對值小于1的數(shù),表示為a×10-n的形式,n等于從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)的前面0的個(gè)數(shù),注意也包含小數(shù)點(diǎn)前的0;(3)1≤絕對值<10的數(shù),直接寫原數(shù).考法1考法2考法3考法4考法5考法6實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)的大小比較方法有根據(jù)法則直接比較法、數(shù)軸比較法、商值法、差值法、特殊值法等,具體方法要根據(jù)題目情況決定答案>

方法點(diǎn)撥用差值法的思想解答.考法1考法2考法3考法4考法5考法6用數(shù)軸表示實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng).每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示.例5(2018湖北天門)點(diǎn)A,B在數(shù)軸上的位置如圖所示,其對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a,b,下列結(jié)論錯誤的是(

)A.|b|<2<|a| B.1-2a>1-2bC.-a<b<2D.a<-2<-b答案:C

解析:A.如題圖所示,|b|<2<|a|,故本選項(xiàng)不符合題意;B.如題圖所示,a<b,則2a<2b,由不等式的性質(zhì)知1-2a>1-2b,故本選項(xiàng)不符合題意;C.如題圖所示,a<-2<b<2,則-a>2>b,故本選項(xiàng)符合題意;D.如題圖所示,a<-2<b<2且|a|>2,|b|<2,則a<-2<-b,故本選項(xiàng)不符合題意.故選C.

考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法點(diǎn)撥數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù),通常利用絕對值的幾何意義,通過求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離來求點(diǎn)的坐標(biāo),但要注意符號不要弄錯.考法1考法2考法3考法4考法5考法6實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的運(yùn)算是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是要掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序,并熟記特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、絕對值等的運(yùn)算.方法點(diǎn)撥中考中以基礎(chǔ)題為主,考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算,涉及的知識點(diǎn)包括零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、平方根、絕對值等,難度一般較小,但求解過程應(yīng)細(xì)心,要寫清每一個(gè)步驟,不可簡略.2.(2017甘肅平?jīng)?據(jù)報(bào)道,2016年10月17日7時(shí)30分28秒,神舟十一號載人飛船在甘肅酒泉發(fā)射升空,與天宮二號在距離地面393000米的太空軌道進(jìn)行交會對接,而這也是未來我國空間站運(yùn)行的軌道高度.393000用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.39.3×104 B.3.93×105C.3.93×106 D.0.393×1063.(2017甘肅武威)4的平方根是(

)CBC4.(2017甘肅天水)若x與3互為相反數(shù),則|x+3|等于(

)A.0 B.1 C.2 D.3A6.(2017甘肅武威)如果m是最大的負(fù)整數(shù),n是絕對值最小的有理數(shù),c是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù),那么代數(shù)式m2015+2016n+c2017的值為0

.

(2*3)*2=

.

答案:2

8.(2018甘肅)如圖是一個(gè)運(yùn)算程序的示意圖,若開始輸入x的值為625,則第2018次輸出的結(jié)果為

.

答案:1

(2

018-3)÷2=1

007.5,即輸出的結(jié)果是1.

第2講整式運(yùn)算及因式分解考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一代數(shù)式

1.定義:用運(yùn)算符號

(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)字

或表示數(shù)字

的字母

連接而成的式子,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.

2.代數(shù)式的值:用數(shù)值

代替代數(shù)式里的字母

,按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算所得的結(jié)果.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)二整式

1.整式包括單項(xiàng)式

和多項(xiàng)式

.

(1)只表示數(shù)字與字母的積

的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)

叫做單項(xiàng)式的系數(shù),所有字母的指數(shù)的和

叫做單項(xiàng)式的次數(shù).

(2)幾個(gè)單項(xiàng)式的和

叫做多項(xiàng)式,組成多項(xiàng)式的每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)

,多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都要帶著前面的符號.

2.同類項(xiàng):(1)定義:所含字母

相同,并且相同字母的指數(shù)

也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).

(2)合并同類項(xiàng)法則:把同類項(xiàng)的系數(shù)

相加,所得的和作為合并后的系數(shù)

,字母和字母的指數(shù)

不變.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.整式的運(yùn)算(1)加減:①去括號與添括號:a+(b+c)=a+b+c

,a-(b+c)=a-b-c

.

a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c).②整式加減的步驟是先去括號

,再合并同類項(xiàng)

.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)乘法:①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式:把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘

,對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它的指數(shù)

作為積的一個(gè)因式.

②單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:m(a+b+c)=ma+mb+mc

.

③多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

.

④乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

,(a±b)2=a2±2ab+b2

.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(3)除法:①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,把系數(shù)

、同底數(shù)冪

分別相除,作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

②(am+bm)÷m=a+b

.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(4)冪的運(yùn)算(a≠0,b≠0,m,n,p為正整數(shù))考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)三因式分解

1.定義:把一個(gè)多項(xiàng)

式化為幾個(gè)整式積

的形式,叫做把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

2.因式分解的常用方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)

.

(2)運(yùn)用公式法:a2-b2=(a+b)(a-b)

,

a2±2ab+b2=(a±b)2

.

3.因式分解的一般步驟:(1)一提:如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么要先提公因式

.

(2)二用:如果各項(xiàng)沒有公因式,那么可以嘗試運(yùn)用公式

法或分組分解

法來分解.

(3)三查:分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止.考法1考法2考法3考法4考法5根據(jù)幾何圖形列代數(shù)式列代數(shù)式就是把問題中圖形表示數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出來.例1(2018浙江衢州)有一張邊長為a厘米的正方形桌面,因?yàn)閷?shí)際需要,需將正方形邊長增加b厘米,木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案:小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,對于方案一,小明是這樣驗(yàn)證的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.請你根據(jù)方案二、方案三,寫出公式的驗(yàn)證過程.方案二:方案三:考法1考法2考法3考法4考法5解:由題意可得,方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,=a2+2ab+b2=(a+b)2.

方法點(diǎn)撥認(rèn)真觀察圖形特點(diǎn),根據(jù)題目中每個(gè)圖形的擺放方法,可以寫出方案二和方案三的推導(dǎo)過程.考法1考法2考法3考法4考法5代數(shù)式求值求代數(shù)式的值的步驟是先化簡,再代入求值.例2(2017河南)先化簡,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.方法點(diǎn)撥先根據(jù)整式的運(yùn)算法則化簡后再代入求值.如果字母取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí),那么做乘方運(yùn)算或者性質(zhì)符號前有運(yùn)算符號的都必須加上小括號.運(yùn)算時(shí)要弄清楚運(yùn)算符號,注意運(yùn)算順序.考法1考法2考法3考法4考法5冪的運(yùn)算冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法、除法,積的乘方,冪的乘方,零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)等運(yùn)算法則,既可順用,也可逆用.例3(2018山東濱州)下列運(yùn)算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案:B

解析:①a2·a3=a6是同底數(shù)冪的乘法應(yīng)用,計(jì)算錯誤;②(a3)2=a6是冪的乘方應(yīng)用;③a5÷a5=a是同底數(shù)冪的除法應(yīng)用,計(jì)算錯誤;④(ab)3=a3b3是積的乘方應(yīng)用.

方法點(diǎn)撥本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方,熟練掌握冪的運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考法1考法2考法3考法4考法5整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算涉及去括號、合并同類項(xiàng)、多項(xiàng)式乘法、乘法公式、冪的運(yùn)算等知識點(diǎn),要注意掌握法則,注意運(yùn)算順序.例4(2018吉林)某同學(xué)化簡a(a+2b)-(a+b)(a-b)出現(xiàn)了錯誤,解答過程如下:原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+2ab-a2-b2(第二步)=2ab-b2(第三步)(1)該同學(xué)解答過程從第

步開始出錯,錯誤原因是

;

(2)寫出此題正確的解答過程.考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)該同學(xué)解答過程從第二步開始出錯,錯誤原因是去括號時(shí)沒有變號;故答案是:(1)二;(2)去括號時(shí)沒有變號;(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.

方法點(diǎn)撥此題考查了整式運(yùn)算中去括號、合并同類項(xiàng),熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.考法1考法2考法3考法4考法5因式分解因式分解最常用的方法是提取公因式法和運(yùn)用公式法.分解因式不徹底是因式分解常見錯誤之一,分解因式的結(jié)果是否正確可以用整式乘法來檢驗(yàn).例5(2017貴州黔東南)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解:x5-4x=

.解析原式=x(x4-22)=x(x2+2)(x2-2)方法點(diǎn)撥因式分解時(shí)首先要分析多項(xiàng)式的特點(diǎn),選擇合適的分解方法,其結(jié)果要分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.口訣:找準(zhǔn)公因式,一次要提凈;全家都搬走,留1把家守;提負(fù)要變號,變形看奇偶.1.(2017甘肅慶陽)下列計(jì)算正確的是(

)A.x2+x2=x4 B.x8÷x2=x4C.x2·x3=x6 D.(-x)2-x2=02.(2015甘肅甘南)下列運(yùn)算中,結(jié)果正確的是(

)A.x3·x3=x6 B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2A.①④ B.①③C.②③④ D.①③④DAA4.(2018甘肅白銀)下列計(jì)算結(jié)果等于x3的是(

)A.x6÷x2 B.x4-xC.x+x2 D.x2·xD解析:A.x6÷x2=x4,不符合題意;B.x4-x不能再計(jì)算,不符合題意;C.x+x2不能再計(jì)算,不符合題意;D.x2·x=x3,符合題意.故選D.5.(2018甘肅蘭州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y)

.

5.(2018甘肅蘭州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y)

.

6.(2016甘肅慶陽)如果單項(xiàng)式2xm+2nyn-2m+2與x5y7是同類項(xiàng),那么nm的值是

.

7.(2016甘肅白銀)分解因式:2a2-8=

.

8.(2015甘肅甘南)分解因式:ax2-ay2=

.

9.(2014甘肅白銀)分解因式:2a2-4a+2=

.

10.(2014甘肅張掖)觀察下列各式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=

.2(a+2)(a-2)a(x+y)(x-y)2(a-1)2552第3講分式考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一分式的概念與基本性質(zhì)

3.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不為零

的整式,分式的值不變.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.分式的約分與通分(1)約分:根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分子、分母中的公因式

約去,叫做分式的約分.約分的結(jié)果必須是最簡分式

或整式

.

(2)通分:根據(jù)分式的基本性質(zhì)將幾個(gè)異分母的分式化為同分母

的分式,這種變形叫分式的通分.通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母

.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二分式的運(yùn)算

考法1考法2考法3考法4考法5分式有意義、無意義、值為零的條件分式有意義的條件是分母不為零,無意義的條件是分母為零,分式值為零的條件是分子為零且分母不為零.A.x>-2 B.x<-2C.x=-2 D.x≠-2答案:D

∴x+2≠0,解得x≠-2.故選D.

方法點(diǎn)撥①分式無意義的條件:分母為零;②分式有意義的條件:分母不為零.考法1考法2考法3考法4考法5答案:-3

化簡得x2-9=0,即x2=9.解得x=±3因?yàn)閤-3≠0,即x≠3所以x=-3.故答案為-3.

方法點(diǎn)撥分母不為零保證分式有意義,分子為零保證有意義的前提下值為零.考法1考法2考法3考法4考法5分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)是將分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不為零的數(shù)或整式,分式的值不變.它是分式運(yùn)算化簡的基礎(chǔ).答案:D

考法1考法2考法3考法4考法5考法1考法2考法3考法4考法5分式的約分與通分分式的約分與通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì),約分的關(guān)鍵是找到公因式,通分的關(guān)鍵是找到最簡公分母.方法點(diǎn)撥1.分式約分的步驟:(1)找出分式的分子與分母的公因式,當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí),要先把分式的分子與分母分解因式;(2)約去分子與分母的公因式.2.求最簡公分母的方法是:(1)將各個(gè)分母分解因式;(2)找各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);(3)找出各分母中不同的因式,相同因式中取次數(shù)最高的.滿足(2)(3)的因式之積即為各分式的最簡公分母.考法1考法2考法3考法4考法5分式的運(yùn)算分式乘除運(yùn)算時(shí)一般都化為乘法來做,其實(shí)質(zhì)是約分的過程;異分母分式加減過程的關(guān)鍵是通分化為同分母分式,實(shí)數(shù)的運(yùn)算律在分式運(yùn)算中依然適用.考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018河北)老師設(shè)計(jì)了接力游戲,用合作的方式完成分式化簡,規(guī)則是:每人只能看到前一人給的式子,并進(jìn)行一步計(jì)算,再將結(jié)果傳遞給下一人,最后完成化簡.過程如圖所示:接力中,自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是(

)A.只有乙 B.甲和丁

C.乙和丙 D.乙和丁答案:D

∴出現(xiàn)錯誤是在乙和丁,故選D.

考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥根據(jù)分式的乘除運(yùn)算步驟和運(yùn)算法則逐一計(jì)算,注意提取-1時(shí)別忘了“-”號,約分時(shí)看對公因式.考法1考法2考法3考法4考法5分式的化簡求值分式化簡求值題要先確定運(yùn)算順序,再根據(jù)分式的加、減、乘、除運(yùn)算法則運(yùn)算,最后再把相關(guān)字母的值代入,但要注意整體代入思想的運(yùn)用.方法點(diǎn)撥根據(jù)分式的運(yùn)算法則將原式中的括號內(nèi)的項(xiàng)通分相減,除法轉(zhuǎn)化為乘法,分子可化為完全平方式,分母用平方差公式分解因式,約分得到最簡結(jié)果.代入a,b的值計(jì)算即可求出值.A.2或-2 B.2 C.-2 D.0

∴x2-4=0,解得x=2或x=-2.故選A.第4講二次根式考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一二次根式的概念

1.概念:式子(a≥0

)叫做二次根式.

注意:二次根式

具有雙重非負(fù)性:即

≥

0,a≥

0.

2.二次根式的幾個(gè)重要性質(zhì):3.最簡二次根式:最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)

,因式是整式

.

(2)被開方數(shù)不含能開得盡方

的因數(shù)或因式.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.同類二次根式:幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式

后,如果被開方數(shù)

相同,那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的加減:先將二次根式化簡,再將同類

二次根式進(jìn)行合并,合并的方法與合并同類項(xiàng)法則相同.

2.二次根式的乘除:注意:二次根式除法運(yùn)算過程一般情況下是用將分母中的根號化去(分母有理化)這一方法進(jìn)行.如:.

3.二次根式的混合運(yùn)算順序:先算乘方

,再算乘除

,最后算加減

.二次根式運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式

.

考法1考法2考法3考法4考法5二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是被開方數(shù)要大于或等于0.例1(2017四川綿陽)使代數(shù)式

有意義的整數(shù)x有(

)A.5個(gè)

B.4個(gè)

C.3個(gè)

D.2個(gè)答案B

解析由題意,得x+3>0且4-3x≥0,解得-3<x≤,整數(shù)有-2,-1,0,1,故選B.

方法點(diǎn)撥根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不等式組求解.考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的性質(zhì)

答案-1

解析由題意知,∴m=1,n=-2,∴(m+n)5=(1-2)5=-1.

方法點(diǎn)撥此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù):(1)絕對值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當(dāng)它們相加和為0時(shí),必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目.考法1考法2考法3考法4考法5最簡二次根式與同類二次根式先將所給的二次根式化成最簡二次根式,再根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出所求字母的值.答案:2

∴a+1=3,解得a=2.

考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥1.判斷同類二次根式的步驟:先把所有的二次根式化成最簡二次根式;再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷.要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān).2.最簡二次根式的簡易判斷方法:凡根號里有小數(shù)點(diǎn)、分?jǐn)?shù)線、根號的都不是最簡二次根式,被開方數(shù)中不能含有開得盡方的因數(shù)(式).考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的運(yùn)算

答案:3

方法點(diǎn)撥二次根式的運(yùn)算首先要注意運(yùn)算順序,其次要掌握好運(yùn)算法則,運(yùn)算結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式,整式運(yùn)算中的乘法公式繼續(xù)使用.考法1考法2考法3考法4考法5化簡求值二次根式的化簡求值常涉及最簡根式、同類二次根式、分母有理化等二次根式的重要概念.例6(2018山東聊城)下列計(jì)算正確的是

(

)考法1考法2考法3考法4考法5答案:B

方法點(diǎn)撥本題考查了二次根式的加、減、乘、除等運(yùn)算,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的運(yùn)算法則計(jì)算.BAB答案:x>3

答案:x≥-2且x≠0

答案:-1或-7

解析:由題意得x2-9=0,解得x=±3,∴y=4,∴x-y=-1或-7.

第5講一次方程(組)及其應(yīng)用考法1考法2考法3考法4一元一次方程的解法一元一次方程的解法分為5步:去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,要根據(jù)方程的具體情況靈活運(yùn)用.例1(2016廣西賀州)解方程:解去分母得2x-3(30-x)=60,去括號得2x-90+3x=60,移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得5x=150,解得x=30.

方法點(diǎn)撥解一元一次方程時(shí),首先要清楚基本方法與一般步驟,明確每步的理論依據(jù),根據(jù)其特點(diǎn)選用解題步驟.注意:去分母、去括號時(shí)常數(shù)項(xiàng)不要漏乘;去括號時(shí),若括號前面是負(fù)號,則去掉括號和它前面的負(fù)號,括號里的每一項(xiàng)都變號.考法1考法2考法3考法4二元一次方程(組)的有關(guān)概念含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程,叫做二元一次方程.二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解,叫做這個(gè)二元一次方程組的解.方程組的解,一定使方程組中每個(gè)方程的左右是相等的.在已知一組對應(yīng)值是方程組的解時(shí)可直接代入方程得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程(組).考法1考法2考法3考法4例2(2016貴州畢節(jié))已知關(guān)于x,y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,則m,n的值為(

)答案:A

解析:∵方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,方法點(diǎn)撥利用二元一次方程的定義,構(gòu)造二元一次方程組.方程組的解適合方程組的每一個(gè)方程,把它代入原方程組.考法1考法2考法3考法4二元一次方程(組)的解法解二元一次方程組的基本思路是通過消元,將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.最常見的消元方法有代入消元法和加減消元法,具體應(yīng)用時(shí),要結(jié)合方程組的特點(diǎn),靈活選用消元方法.如果出現(xiàn)未知數(shù)的系數(shù)為1或-1,那么宜用代入消元法解;如果出現(xiàn)同一未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系或系數(shù)較復(fù)雜,那么宜用加減消元法解.考法1考法2考法3考法4解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述兩個(gè)解題過程中有無計(jì)算錯誤?若有錯誤,請?jiān)阱e誤處打“×”.(2)請選擇一種你喜歡的方法,完成解答.考法1考法2考法3考法4解:(1)解法一中的計(jì)算有誤(標(biāo)記略).由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2,方法點(diǎn)撥考查加減消元法和代入消元法解二元一次方程組,熟練掌握兩種方法是解題的關(guān)鍵.考法1考法2考法3考法4列方程(組)解決實(shí)際問題在列一次方程(組)解決實(shí)際問題時(shí),有些問題,列一元一次方程解決較易;有些問題列二元一次方程組解決較易;有些問題,既可以引入一個(gè)未知數(shù),列一元一次方程解決,也可以引入兩個(gè)未知數(shù),列二元一次方程組解決.這需要我們在解題時(shí)認(rèn)真分析,選擇較簡單的方法.考法1考法2考法3考法4例4程大位是我國明朝商人,珠算發(fā)明家.他60歲時(shí)完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著,詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則,確立了算盤用法.書中有如下問題:一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭,小僧三人分一個(gè),大小和尚得幾丁.意思是:有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,如果大和尚1人分3個(gè),小和尚3人分1個(gè),正好分完,大、小和尚各有多少人?下列求解結(jié)果正確的是(

)A.大和尚有25人,小和尚有75人B.大和尚有75人,小和尚有25人C.大和尚有50人,小和尚有50人D.大、小和尚各有100人考法1考法2考法3考法4解法一設(shè)大和尚有x人,則小和尚有(100-x)人,解得x=25,則100-x=100-25=75(人).所以大和尚有25人,小和尚有75人.故選A.

解法二設(shè)大和尚有x人,小和尚有y人,所以大和尚有25人,小和尚有75人.

考法1考法2考法3考法4方法點(diǎn)撥根據(jù)100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,正好分完.大和尚1人分3個(gè),小和尚3人分1個(gè)得到等量關(guān)系為:大和尚的人數(shù)+小和尚的人數(shù)=100,大和尚分得的饅頭數(shù)+小和尚分得的饅頭數(shù)=100,依此列出方程或方程組解答即可.1.(2014甘肅慶陽)陳老師打算購買氣球裝扮學(xué)?！傲弧眱和顒訒?氣球的種類有“笑臉”和“愛心”兩種,兩種氣球的價(jià)格不同,但同一種氣球的價(jià)格相同,由于會場布置的需要,購買時(shí)以一束(4個(gè)氣球)為單位,已知第一束與第二束氣球的價(jià)格如圖所示,則第三束氣球的價(jià)格為(A

)A.14元 B.15元

C.16元 D.17元2.(2016甘肅武威)如果單項(xiàng)式2xm+2nyn-2m+2與x5y7是同類項(xiàng),那么nm的值是

.

∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.

4.(2018甘肅)《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著,在數(shù)學(xué)上有其獨(dú)到的成就,不僅最早提到了分?jǐn)?shù)問題,也首先記錄了“盈不足”等問題.如有一道闡述“盈不足”的問題,原文如下:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價(jià)各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞,如果每人出9文錢,就會多11文錢;如果每人出6文錢,又會缺16文錢.問買雞的人數(shù)、雞的價(jià)格各是多少?請解答上述問題.解:設(shè)合伙買雞者有x人,雞的價(jià)格為y文錢.故合伙買雞者有9人,雞的價(jià)格為70文錢.

5.(2015甘肅甘南)某酒廠每天生產(chǎn)A,B兩種品牌的白酒共600瓶,A,B兩種品牌的白酒每瓶的成本和利潤如下表:設(shè)每天生產(chǎn)A種品牌白酒x瓶,每天獲利y元.(1)請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果該酒廠每天至少投入成本26400元,那么每天至少獲利多少元?解:(1)設(shè)A種品牌白酒x瓶,則B種品牌白酒(600-x)瓶,依題意,得y=20x+15(600-x)=5x+9

000.(2)設(shè)A種品牌白酒x瓶,則B種品牌白酒(600-x)瓶,依題意,得50x+35(600-x)=26

400,解得x=360,∴每天至少獲利y=5x+9

000=10

800(元).第6講一元二次方程及其應(yīng)用考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的有關(guān)概念一元二次方程的概念必須滿足三個(gè)條件:①是整式方程;②只含有一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.例1下列方程一定是一元二次方程的是(

)A.3x2+4-=0 B.5x2-6y-3=0C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0答案:D

方法點(diǎn)撥解決此類問題的關(guān)鍵是牢記并理解一元二次方程的定義,特別是二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為非零數(shù),即a≠0這一隱含條件.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的解法一元二次方程的基本解法有四種:(1)直接開方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.在解一元二次方程時(shí)首先看是否能運(yùn)用直接開平方法,再看能否運(yùn)用因式分解法,公式法適用于所有的一元二次方程的求解.考法1考法2考法3考法4考法5例2解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.分析:本題可以采用因式分解法或公式法解.解法一把方程左邊因式分解,得(x-3)(x-3+4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0,解法二原方程整理,得5x2-18x+9=0.∵Δ=(-18)2-4×5×9=144>0,方法點(diǎn)撥此類題目主要考查一元二次方程的解法及優(yōu)化選擇,常常涉及配方法、公式法、因式分解法.選擇解法時(shí)要根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)(或常數(shù))之間的關(guān)系靈活進(jìn)行,解題時(shí)要講究技巧,保證準(zhǔn)確、迅速.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根的判別式的應(yīng)用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式為Δ=b2-4ac,其意義在于不解方程可以直接根據(jù)Δ判別根的情況,(1)當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.還可以根據(jù)根的情況確定未知系數(shù)的取值范圍.考法1考法2考法3考法4考法5例3(2018內(nèi)蒙古包頭)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為(

)A.6 B.5 C.4 D.3答案:B

解析:∵a=1,b=2,c=m-2,關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m為正整數(shù),∴m=1,2或3.又當(dāng)m=1時(shí),Δ=8該方程的根不是整數(shù),∴m≠1.∴m=2或3.∴2+3=5.故選B.

考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥一元二次方程根的判別式的應(yīng)用主要有以下三種情況:(1)不解方程,判定根的情況;(2)根據(jù)方程根的情況,確定方程系數(shù)中字母的取值范圍;(3)應(yīng)用判別式證明方程根的情況.本題根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0,得出m≤3,由m為正整數(shù)結(jié)合該方程的根都是整數(shù),求出m的值,將其相加即可.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用:(1)已知一根,求另一根及求未知系數(shù);(2)不解方程,求與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值;(3)已知兩數(shù),求以這兩數(shù)為根的方程;(4)已知兩數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù);(5)確定根的符號.考法1考法2考法3考法4考法5例4(2018江蘇泰州)已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根,則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.x1≠x2 B.x1+x2>0C.x1·x2>0 D.x1<0,x2<0答案:A

解析:∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,結(jié)論A正確;∵x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根,∴x1+x2=a,∵a的值不確定,∴結(jié)論B不一定正確;∵x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根,∴x1·x2=-2,結(jié)論C錯誤;∵x1·x2=-2,∴x1,x2異號,結(jié)論D錯誤.故選A.

考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系包含Δ=b2-4ac和x1+x2=-字母的值或取值范圍時(shí),必須要考慮:(1)a≠0,(2)b2-4ac≥0.考法1考法2考法3考法4考法5用一元二次方程解決實(shí)際問題列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是在充分理解題意的基礎(chǔ)上,尋求題中的等量關(guān)系,從而建立方程.增長率問題和利潤問題是最常見的類型.考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018江蘇鹽城)一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利,該店采取了降價(jià)措施,在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時(shí)間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降價(jià)3元,則平均每天銷售數(shù)量為

件;

(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí),該商店每天銷售利潤為1200元?分析:(1)根據(jù)銷售單價(jià)每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降價(jià)3元,則平均每天可多售出2×3=6(件),即平均每天銷售數(shù)量為20+6=26(件);(2)利用商品平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種商品利潤,列出方程解答即可.考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)若降價(jià)3元,則平均每天銷售數(shù)量為20+2×3=26(件),故答案為26.(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí),該商店每天銷售利潤為1

200元.根據(jù)題意,得(40-x)(20+2x)=1

200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20應(yīng)舍去,解得x=10.答:每件商品降價(jià)10元時(shí),該商店每天銷售利潤為1

200元.

方法點(diǎn)撥此題是利潤問題,列方程的等量關(guān)系是:總利潤等于每一件商品的利潤乘以銷售件數(shù),根據(jù)等量關(guān)系列方程,解方程.最后還要注意求出的未知數(shù)的值是否符合實(shí)際要求,不符合的要舍去.1.(2018甘肅)關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是(C

)A.k≤-4 B.k<-4C.k≤4 D.k<42.(2017甘肅蘭州)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(C

)解析:根據(jù)題意得Δ=42-4k≥0,解得k≤4.故選C.3.(2016甘肅蘭州)公園有一塊正方形的空地,后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花(如圖),原空地一邊減少了1m,另一邊減少了2m,剩余空地的面積為18m2,求原正方形空地的邊長.設(shè)原正方形的空地的邊長為xm,則可列方程為(C

)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=04.(2017甘肅白銀)如圖,某小區(qū)計(jì)劃在一塊長為32m,寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路,剩余的空地上種植草坪,使草坪的面積為570m2.若設(shè)道路的寬為xm,則下面所列方程正確的是(

A

)A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×32-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5705.(2017甘肅蘭州)王叔叔從市場上買了一塊長為80cm,寬為70cm的矩形鐵皮,準(zhǔn)備制作一個(gè)工具箱.如圖,他將矩形鐵皮的四個(gè)角各剪掉一個(gè)邊長為xcm的正方形后,剩余的部分剛好能圍成一個(gè)底面積為3000cm2的無蓋長方形工具箱,根據(jù)題意列方程為(

C

)A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=30006.(2015甘肅蘭州)股票每天的漲、跌幅均不能超過10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后,便不能再漲,叫做漲停;當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià),若這兩天此股票股價(jià)的平均增長率為x,則x滿足的方程是(

B

)7.(2016甘肅蘭州)一元二次方程x2+2x+1=0的根的情況是(

B

)A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根8.(2016甘肅平?jīng)?三角形的兩邊長分別是3和4,第三邊長是方程x2-13x+40=0的根,則該三角形的周長為12

.

9.(2017甘肅武威)若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k<5且k≠1

.

解析:∵關(guān)于x的一元二次方程方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得k<5且k≠1.

10.(2016甘肅蘭州)解方程2y2+4y=y+2.解:2y2+4y=y+2,2y2+3y-2=0,(2y-1)(y+2)=0,2y-1=0或y+2=0,所以y1=

,y2=-2.

11.(2016甘肅定西)已知關(guān)于x的方程x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一個(gè)根為1,求m的值;(2)求證:不論m取何實(shí)數(shù),此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)解:根據(jù)題意,將x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0,解得m=

.

(2)證明:∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴不論m取何實(shí)數(shù),該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.第7講分式方程及其應(yīng)用考法1考法2考法3解分式方程解分式方程的基本思路就是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,通?？刹捎梅匠虄蛇呁俗詈喒帜傅姆绞竭M(jìn)行,有些繁雜的方程可采用換元法.A.x=1 B.x=-1

C.x=3 D.x=-3答案:A

去分母,方程兩邊同時(shí)乘x(x-2)得:(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,經(jīng)檢驗(yàn),x=1是原分式方程的解,故選A.

考法1考法2考法3方法點(diǎn)撥解分式方程首先要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.解分式方程時(shí)必須注意以下兩點(diǎn):(1)去分母時(shí),要將最簡公分母乘每一個(gè)式子,不要“漏乘”;(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn),檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡公分母看其是否為0即可.若能使最簡公分母為0,則該解是原方程的增根.考法1考法2考法3分式方程的增根利用增根求分式方程中字母的值:(1)確定增根;(2)將原分式方程化成整式方程;(3)將增根代入變形后的整式方程,求出字母的值.例2(2018山東濰坊)當(dāng)m=

時(shí),解分式方程

會出現(xiàn)增根.

答案:2

解析:分式方程可化為:x-5=-m,由分母可知,分式方程的增根是3,當(dāng)x=3時(shí),3-5=-m,解得m=2,故答案為2.

方法點(diǎn)撥分式方程的增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的使分式方程的分母為0的未知數(shù)的值,它滿足變形所得的整式方程,但不滿足分式方程.在解決與增根有關(guān)的問題時(shí),應(yīng)先將分式方程去分母,轉(zhuǎn)化為整式方程,再將可能為增根的未知數(shù)的值代入,即可求出待定字母的值.考法1考法2考法3分式方程的應(yīng)用解題步驟同其他方程的應(yīng)用一樣.但在列分式方程解應(yīng)用題時(shí)必須做好兩個(gè)檢驗(yàn),既要檢驗(yàn)是否為原方程的根,又要檢驗(yàn)是否符合題意.考法1考法2考法3例3(2018山西)2018年1月20日,山西迎來了“復(fù)興號”列車,與“和諧號”相比,“復(fù)興號”列車時(shí)速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大約500千米,“復(fù)興號”G92次列車平均每小時(shí)比某列“和諧號”列車多行駛40千米,其行駛時(shí)間是該列“和諧號”列車行駛時(shí)間的(兩列車中途停留時(shí)間均除外).經(jīng)查詢,“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西,中途只有石家莊一站,停留10分鐘.求乘坐“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西需要多長時(shí)間.考法1考法2考法3解:設(shè)“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西的行駛時(shí)間需要x小時(shí),方法點(diǎn)撥根據(jù)速度=路程÷時(shí)間和“復(fù)興號”列車平均每小時(shí)比“和諧號”列車多行駛40千米,即可得出關(guān)于x的分式方程,列分式方程解決實(shí)際問題.與整式方程一樣,關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”,將實(shí)際問題抽象為方程問題.列出方程,注意分式方程不要忘記檢驗(yàn).A.2或-2 B.2C.-2 D.0值范圍為(D

)A.a>1 B.a<1C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠23.(2016甘肅白銀)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)800臺所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時(shí)間相同.設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是(A

)解析:方程的兩邊同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,解得x=2,檢驗(yàn):把x=2代入x(x+3)=10≠0,即x=2是原分式方程的解.解析:方程兩邊都乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0,∵原方程有增根,∴最簡公分母x-1=0,即增根為x=1,把x=1代入整式方程,得a=-1.第8講一元一次不等式(組)及其應(yīng)用考法1考法2考法3考法4考法5不等式的性質(zhì)運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解題時(shí)要注意與等式的基本性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系,特別強(qiáng)調(diào):在不等式兩邊都乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號的方向要改變.例1若m>n,下列不等式不一定成立的是

(

)答案:D

方法點(diǎn)撥不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的依據(jù),是我們應(yīng)掌握的基本知識.考法1考法2考法3考法4考法5在數(shù)軸上表示不等式(組)的解在數(shù)軸上表示不等式的解集,“>”“≥”向右畫;“<”“≤”向左畫;“≥”“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示;“<”“>”要用空心圓點(diǎn)表示.解一元一次不等式組,把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來時(shí),數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集.考法1考法2考法3考法4考法5分析:先去分母,再去括號,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),把x的系數(shù)化為1,并在數(shù)軸上表示出來即可.解:去分母得,5x-1<3(x+1),去括號得,5x-1<3x+3,移項(xiàng)得,5x-3x<3+1,合并同類項(xiàng)得,2x<4,把x的系數(shù)化為1得,x<2.在數(shù)軸上表示為:方法點(diǎn)撥確定解集定邊界點(diǎn)時(shí)要注意,點(diǎn)是實(shí)心還是空心;包含區(qū)域是左側(cè)還是右側(cè).考法1考法2考法3考法4考法5不等式(組)的解法熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是正確地解一元一次不等式的基礎(chǔ).解不等式的一般步驟與解方程的步驟相同.但要特別注意“不等式兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),必須改變不等號的方向”,這是一個(gè)難點(diǎn)和易錯點(diǎn).考法1考法2考法3考法4考法5分析:先求出每個(gè)不等式的解集,再根據(jù)口訣求出不等式組的解集即可.方法點(diǎn)撥解不等式組的思路可以歸納為“分開解,合著判”.求解集過程可以借助口訣:大大取大,小小取小,大小小大中間找,大大小小找不著(無解).考法1考法2考法3考法4考法5確定方程或不等式(組)中字母的取值(范圍)不等式組中字母系數(shù)取值(范圍)的確定,關(guān)鍵是要弄清不等式組解集的意義,掌握不等式組解集的確定方法.我們首先要把所給不等式(組)化成最簡形式,再根據(jù)所給解集逆向確定字母系數(shù)的取值(范圍).考法1考法2考法3考法4考法5A.m>4 B.m≥4 C.m<4 D.m≤4答案:D

∵解不等式①得x>3,解不等式②得x>m-1,又∵關(guān)于x的一元一次不等式組∴m-1≤3,解得m≤4,故選D.

考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥根據(jù)不等式(組)的解集確定待定系數(shù)的取值范圍,解決此類問題時(shí),一般先求出含有字母系數(shù)的不等式(組)的解集,再根據(jù)已知不等式(組)的解集情形,求出字母的取值范圍.考法1考法2考法3考法4考法5不等式的應(yīng)用一元一次不等式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,解此類實(shí)際問題時(shí),需從題目中捕捉不等關(guān)系的詞語(如:不足、至少、不少(多)于、不超過、不低于等),用不等式將它們表示出來,通過解不等式找出符合題意的解.考法1考法2考法3考法4考法5例5如圖的宣傳單為菜克印刷公司設(shè)計(jì)與印刷卡片計(jì)價(jià)方式的說明,妮娜打算請此印刷公司設(shè)計(jì)一款母親節(jié)卡片并印刷,她再將卡片以每張15元的價(jià)格販?zhǔn)?若利潤等于收入扣掉成本,且成本只考慮設(shè)計(jì)費(fèi)與印刷費(fèi),則她至少需印多少張卡片,才可使得卡片全部售出后的利潤超過成本的2成?(

)A.112 B.121 C.134 D.143考法1考法2考法3考法4考法5分析:設(shè)妮娜需印x張卡片,根據(jù)利潤=收入-成本,結(jié)合利潤超過成本的2成,即可得出關(guān)于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范圍,取其內(nèi)最小的整數(shù)即可得出結(jié)論.答案:C

解析:設(shè)妮娜需印x張卡片,根據(jù)題意得:15x-1

000-5x>0.2(1

000+5x),解得x>133,∵x為整數(shù),∴x≥134.答:妮娜至少需印134張卡片,才可使得卡片全部售出后的利潤超過成本的2成.

1.(2016甘肅天水)若點(diǎn)P(a,4-a)是第一象限的點(diǎn),則a的取值范圍是0<a<4

.

解析:∵點(diǎn)P(a,4-a)是第一象限的點(diǎn),2.(2018甘肅)如圖,一次函數(shù)y=-x-2與y=2x+m的圖象相交于點(diǎn)P(n,-4),則關(guān)于x的不等式2x+m<-x-2<0的解集為-2<x<2

.

解析:∵一次函數(shù)y=-x-2的圖象過點(diǎn)P(n,-4),∴-4=-n-2,解得n=2,∴P(2,-4).又∵y=-x-2與x軸的交點(diǎn)是(-2,0),∴關(guān)于x的不等式2x+m<-x-2<0的解集為-2<x<2.故答案為-2<x<2.解1-x<2得x>-1.則不等式組的解集是-1<x≤3.∴該不等式組的最大整數(shù)解為x=3.

由不等式①移項(xiàng),得4x+x>1-6,整理,得5x>-5,解得x>-1,由不等式②去括號,得3x-3≤x+5,移項(xiàng),得3x-x≤5+3,合并,得2x≤8,解得x≤4,則不等式組的解集為-1<x≤4.在數(shù)軸上表示不等式組的解集如圖所示,上表示出來.解:由①得,x≥-3,由②得,x≤4,故不等式的解集為-3≤x≤4.在數(shù)軸上表示不等式組的解集如圖所示,6.(2017甘肅天水)天水某公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車,計(jì)劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛,若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬元;若購買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元.(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元?(2)預(yù)計(jì)在該條線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1220萬元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客量總和不少于650萬人次,則該公司有哪幾種購車方案?哪種購車方案總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用是多少?解:(1)設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元,購買B型公交車每輛需y萬元,答:購買A型公交車每輛需100萬元,購買B型公交車每輛需150萬元.(2)設(shè)購買A型公交車a輛,則B型公交車(10-a)輛,由題意得因?yàn)閍是整數(shù),所以a=6,7,8,則10-a=4,3,2.三種方案:①購買A型公交車6輛,B型公交車4輛:100×6+150×4=1

200萬元;②購買A型公交車7輛,B型公交車3輛:100×7+150×3=1

150萬元;③購買A型公交車8輛,B型公交車2輛:100×8+150×2=1

100萬元.則購買A型公交車8輛,B型公交車2輛費(fèi)用最少,最少總費(fèi)用為1

100萬元.

第9講平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)的概念考法1考法2考法3考法4平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征例1在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,x2+1)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:B

解析:∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴點(diǎn)P(-2,x2+1)在第二象限.故選B.

方法點(diǎn)撥本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo),記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號是解決問題的關(guān)鍵,四個(gè)象限的符號特點(diǎn)分別是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).考法1考法2考法3考法4點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探究此類題型有助于培養(yǎng)同學(xué)們的觀察和歸納能力,解決此類題的關(guān)鍵是從點(diǎn)的變化中發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律.例2(2018廣東廣州)在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令:從原點(diǎn)O出發(fā),按向右,向上,向右,向下的方向依次不斷移動,每次移動1m.其行走路線如圖所示,第1次移動到A1,第2次移動到A2,……第n次移動到An,則△OA2A2018的面積是(

)考法1考法2考法3考法4答案:A

解析:由題意知OA4n=2n,∴OA2

016=1

008,∴A2A2

018=1

009-1=1

008,故選A.

方法點(diǎn)撥解決這類問題首先要通過作圖研究坐標(biāo)的變化規(guī)律,找到坐標(biāo)的變化規(guī)律后再依據(jù)規(guī)律解答.考法1考法2考法3考法4函數(shù)圖象的應(yīng)用對于一個(gè)函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就是這個(gè)函數(shù)的圖象.函數(shù)的圖象以幾何形式直觀地表示變量間的對應(yīng)關(guān)系,在觀察實(shí)際問題的圖象時(shí),先從兩坐標(biāo)軸表示的實(shí)際意義得到點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.然后觀察圖形,分析兩變量的相互關(guān)系,結(jié)合題意尋找對應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境.考法1考法2考法3考法4例3(2018內(nèi)蒙古通遼)小剛從家去學(xué)校,先勻速步行到車站,等了幾分鐘后坐上了公交車,公交車勻速行駛一段時(shí)間后到達(dá)學(xué)校,小剛從家到學(xué)校行駛路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:min)之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是(

)考法1考法2考法3考法4答案:B

解析:根據(jù)題意得:小剛從家到學(xué)校行駛路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位