高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題

(圓滿版)高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法辦理數(shù)列和不等問(wèn)題(含答案)(圓滿版)高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法辦理數(shù)列和不等問(wèn)題(含答案)(圓滿版)高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法辦理數(shù)列和不等問(wèn)題(含答案)用放縮法辦理數(shù)列和不等問(wèn)題（教師版）一．先乞降后放（主假如先裂乞降，再放理）例1．正數(shù)數(shù)列an的前n的和Sn，足2Snan1，求：（1）數(shù)列an的通公式；（2）bn1，數(shù)列bn的前n的和Bn，求：Bn1anan12解：（1）由已知得4Sn(an1)2，n2，4Sn1(an11)2，作差得：4anan22anan212an1，所以(anan1)(anan12)0，又因an正數(shù)數(shù)列，因此anan12，即an是公差2的等差數(shù)列，由2S1a11，得a11，因此an2n1（2）bn1(2n11)1(11)，因此anan11)(2n22n12n1Bn1(111111)11123352n12n122(2n1)2真演1：(06全國(guó)1卷理科22)數(shù)列an的前n的和,Sn4an12n12，n1,2,3,ggg333nn3.（Ⅰ）求首a1與通an；（Ⅱ）Tn2，n1,2,3,ggg，明：TiSni1241n+12412解:(Ⅰ)由Sn=3an－3×2+3,n=1,2,3，?,①得a1=S1=3a1－3×4+3因此a1=2再由①有S4－12n2，4,?n－1=3an－13×+3,n=2,3將①和②相減得:annn－1=4nn－11n+1n?=S－S3(a－a)－3×(2－2),n=2,3,整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,?,因此數(shù)列{an+2n}是首a1+2=4,公比4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,?,因此an=4n－2n,n=1,2,3,?,(Ⅱ)將ann代入①得S=4nn1n+121n+1n+1－2)=4－2n33=3－1)(2n2×(2n+1－1)(2n－1)3T=2n=32n－1)=311Sn×－1)(2n×(n－1－)nn+1n+1因此,nTi=3n11)=3×(11)<32(2i－1－2i+1－1221－1－2n112i1i1二．先放再乞降11．放縮后成等比數(shù)列，再乞降例2．等比數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)的和為Sn，且S7,S9,S8成等差數(shù)列．221設(shè)bnan，數(shù)列bn前n項(xiàng)的和為Tn，證明：Tnan．13解：∵A9A7a8a9，A8A9a9，a8a9a9，∴公比qa91a8．2111∴an(1n．bn4n．)14n(2)n32n21n()2（利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模擬公式SnAqnA猜想）11∴Bnb1b2bn11112(122)1(11)13232232n3132n．132真題操練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列an知足a11,an12an1(nN*).（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足4b114b21L4bn1(an1)bn(nN*)，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an12（I）解：Qan12an1(nN*),an112(an1),an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an12n.即an221(nN*).（II）證法一：Q4k114k21...4kn1(an1)kn.4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.②②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn,即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.2③－④，得nbn22nbn1nbn0,即bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),b是等差數(shù)列n（III）證明：Qak2k12k111,2,...,n,ak12k111,k2(2k2)2a1a2...ann.a2a3an12Qak2k1111)1k1211.1,k1,2,...,n,ak12k1122(2k122k232ka1a2...ann111...1n11n1a2a3an1(22n)(12n),23222323n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an122．放縮后為“差比”數(shù)列，再乞降例3．已知數(shù)列{an}知足：a11，an1(1n)an(n1,2,3)．求證：an1an3n12nn12證明：因?yàn)閍n1(1n)an，因此an1與an同號(hào)，又因?yàn)閍110，因此an0，2n即anann0，即an1an．因此數(shù)列{an}為遞加數(shù)列，因此ana11，12nan即an1annann，累加得：ana112n1．2n2n2222n1令Sn12n11Sn12n12222n1，因此222232n，兩式相減得：1Sn1111n1，因此Sn2n1，因此an3n1，2222232n12n2n12n1故得an1ann13．2n13．放縮后成等差數(shù)列，再乞降例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an2an2Sn.3(1)求證：Snan2an12；4(2)求證：SnS1S2SnSn1212解：（1）在條件中，令n1，得a12a12S12a1，a10a11，又由條件an2an2Sn有an21an12Sn1，上述兩式相減，注意到an1Sn1Sn得(an1an)(an1an1)0an0an1an0∴an1an1因此，an11(n1)n，Snn(n1)2因此n(n1)1n2(n1)2an2an12Sn2?242（2）因?yàn)閚n(n1)n1，因此nn(n1)n1，因此222S1S2Sn1223n(n1)23n1222222n23nSn11；S1S2Sn12nn(n1)Sn222222222練習(xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)f(x)1x2bx3，已知無(wú)論,為什么實(shí)數(shù)，恒有f(cos)0且44N*).f(2sin)0.關(guān)于正數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Snf(an)，(n(Ⅰ)務(wù)實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若cn11,nN，且數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Tn和1的大小并證明之.an6解：(Ⅰ)b1（利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）an2n1；2cn1111，∴Tnc1c2c3?1111（Ⅲ）∵(2n222n12n3+cn32n362)22.（04全國(guó)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn知足：Sn2an(1)n，n1（1）寫(xiě)出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；4（3）證明：對(duì)隨意的整數(shù)m4，有1117a4a5am8分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1（n>1）化簡(jiǎn)得：an2an12(1)n1an2an12,an22[an12](1)n(1)n1(1)n3(1)n13故數(shù)列{an2}是以a12公比為2的等比數(shù)列.(1)n3為首項(xiàng),3故an2(1)(2)n1∴an2[2n2(1)n](1)n333∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an2[2n2(1)n].3⑶察看要證的不等式，左側(cè)很復(fù)雜，先要想法對(duì)左側(cè)的項(xiàng)進(jìn)行適合的放縮，使之可以乞降。而左側(cè)11L1311L1m]，假如我們把上式中的分母中的1去掉，即可利用等比=a5am[212312m2(1)a422數(shù)列的前n項(xiàng)公式乞降，因?yàn)?1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，簡(jiǎn)單想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地歸并起來(lái)一同進(jìn)行放縮，試一試知：1111，212312232211241111，因此，可將211保存，再將后邊的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可乞降。這里需要對(duì)m進(jìn)行2323242分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m4)時(shí)，1111(11)(11)a4a5ama4a5a6am1am1311122(23242m2)131(11)2242m4137288（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m4)時(shí)，m1為偶數(shù)，111111117a4a5ama4a5a6amam185因此隨意整數(shù)m4，有1117。a4a5am8本的關(guān)是并后行適合的放。3.（07武市模）定數(shù)列以下：a12,an1an2an1,nN求：（1）于nN恒有an1an建立；（2）當(dāng)n2且nN，有an1anan1a2a11建立；（3）1111112006a1a2a20062分析：（1）用數(shù)學(xué)法易。（2）由an1an2an1得：an11an(an1)an1an1(an11)??a21a1(a11)以上各式兩分相乘得：an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要不等式111111，22006a1a2a2006111，再行適合的放?？上确ㄆ蚪担篴2a2006a1an11an(an1)111111an11an1ananan1an1111111)(11)11a1a2a2006(1a21a31()a11a2a20061a20071111a1a211又a1a2a2006a1200622006a11a20071a20061111原不等式得。a200622006a1a2本的關(guān)是依據(jù)條件裂乞降。6用放縮法辦理數(shù)列和不等問(wèn)題（學(xué)生版）一．先乞降后放縮（主假如先裂項(xiàng)乞降，再放縮辦理）例1．正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn，知足2Snan1，試求：（1）數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1，數(shù)列bn1（2）設(shè)bn的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bnanan12真題操練1：(06全國(guó)1卷理科22題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和,Sn4an12n12，n1,2,3,ggg333nn3.（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn2，n1,2,3,ggg，證明：TiSni12二．先放縮再乞降71．放縮后成等比數(shù)列，再乞降例2．等比數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)的和為Sn，且S7,S9,S8成等差數(shù)列．221an，數(shù)列設(shè)bnbn前n項(xiàng)的和為Tn，證明：Tn．1an3真題操練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列an知足a11,an12an1(nN*).（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足4b114b21L4bn1(an1)bn(nN*)，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an122．放縮后為“差比”數(shù)列，再乞降例3．已知數(shù)列{an}知足：a11，an1(1nan3n1n)an(n1,2,3)．求證：an1n12283．放縮后成等差數(shù)列，再乞降例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an2an2Sn.(1)求證：Snan2an12；4(2)SnS1S2Sn11求證：Sn22練習(xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)f(x)1x2bx3，已知無(wú)論,為什么實(shí)數(shù)，恒有f(cos)0且44N*).f(2sin)0.關(guān)于正數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Snf(an)，(n9(Ⅰ)務(wù)實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若cn1,nN，且數(shù)列cn的前n項(xiàng)和