第四章 習(xí)題課　等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合問題

習(xí)題課等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合問題第四章§4.2

等差數(shù)列1.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的

問題.2.掌握等差數(shù)列中項的設(shè)法.學(xué)習(xí)目標隨堂演練課時對點練一、等差數(shù)列的實際應(yīng)用二、等差數(shù)列中項的設(shè)法三、等差數(shù)列的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、等差數(shù)列的實際應(yīng)用例1

《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為A.15.5尺

B.12.5尺

C.9.5尺

D.6.5尺√解析設(shè)該等差數(shù)列為{an}，冬至、小寒、大寒、…芒種的日影子長分別記為a1，a2，a3，…，a12，公差為d，由題意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，所以立夏的日影子長為a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺).反思感悟解決等差數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟及注意點(1)解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的基本步驟：①審題，即仔細閱讀材料，認真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.跟蹤訓(xùn)練1

假設(shè)某市2020年新建住房400萬平方米，預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在______年新建住房的面積開始大于820萬平方米.2029解析設(shè)n年后該市新建住房的面積為an萬平方米.由題意，得{an}是等差數(shù)列，首項a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.由于n∈N*，則n≥9.所以該市在2029年新建住房的面積開始大于820萬平方米.二、等差數(shù)列中項的設(shè)法例2

(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù)；解設(shè)這三個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，所以這三個數(shù)為4,3,2.(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數(shù).解設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.反思感悟等差數(shù)列的設(shè)項方法和技巧(1)當已知條件中出現(xiàn)與首項、公差有關(guān)的內(nèi)容時，可直接設(shè)首項為a1，公差為d，利用已知條件建立方程(組)求出a1和d，即可確定此等差數(shù)列的通項公式.(2)當已知數(shù)列有3項時，可設(shè)為a－d，a，a＋d，此時公差為d.若有5項、7項、…時，可同理設(shè)出.(3)當已知數(shù)列有4項時，可設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此時公差為2d.若有6項、8項、…時，可同理設(shè)出.跟蹤訓(xùn)練2

已知五個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為

，求這5個數(shù).解設(shè)第三個數(shù)為a，公差為d，則這5個數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有三、等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例3

若關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個根組成首項為

的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差d＝____，m＋n的值為_____.解析設(shè)x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0).設(shè)數(shù)列的首項為x1，則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的第4項為x2.反思感悟解決數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項.(2)利用通項公式，得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.跟蹤訓(xùn)練3

已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝____.27解析方法一由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.方法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.1.知識清單：(1)等差數(shù)列的實際應(yīng)用.(2)等差數(shù)列中項的設(shè)法.(3)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：解方程組法.3.常見誤區(qū)：對等差數(shù)列的性質(zhì)不理解而致錯.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知等差數(shù)列1，a1，a2,9，則a2－a1的值為A.8 B.－8 C.±8 D.解析根據(jù)等差數(shù)列1，a1，a2,9知，1和9是該數(shù)列的第一項和第四項，√12342.在等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，則a5＋a8等于A.12 B.22 C.24 D.34解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，√故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.12343.由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是A.新數(shù)列不是等差數(shù)列B.新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C.新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D.新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列√解析因為(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列.12344.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中，乙所得為____錢.1234解析由題意，設(shè)這五人所得錢分別為a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d，則a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a6－a＋a8＝0，則a7等于A.1 B.8 C.4 D.2√123456789101112131415162.已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項為A.0 B.37 C.100

D.－37√解析設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以數(shù)列{an＋bn}仍然是等差數(shù)列.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.123456789101112131415163.已知等差數(shù)列{an}的首項是2，公差為d(d∈Z)，且{an}中有一項是14，則d的取值的個數(shù)為A.3 B.4 C.6 D.7解析等差數(shù)列{an}的首項是2，公差為d(d∈Z)，有一項是14，∴設(shè)第n項為14，有an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d＝14，即(n－1)d＝12，由n∈N*知，n－1>0，n－1∈N*，而12＝1×12＝2×6＝3×4，∴d的取值有1,2,3,4,6,12.√123456789101112131415164.若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，積為－36，則這三個數(shù)的平方和為A.98 B.88 C.78 D.68√解析設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，∴這三個數(shù)為－1,4,9或9,4，－1.∴它們的平方和為98.123456789101112131415165.已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0A.無實根

B.有兩個相等的實根C.有兩個不等的實根

D.不能確定有無實根√解析因為a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，則方程為x2＋6x＋10＝0，因為Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程無實根.123456789101112131415166.(多選)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差為d(d∈N*)，若2

021是該數(shù)列的一項，則公差d不可能是A.2 B.3 C.4 D.5√√√解析由2021是該數(shù)列的一項，得2021＝3＋(n－1)d，所以d是2018的約數(shù)，故d不可能是3,4和5.123456789101112131415167.若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為______.解析設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，－21∴這三個數(shù)為－1,3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21.123456789101112131415168.若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為______.1或2解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.123456789101112131415169.四個數(shù)成遞減等差數(shù)列，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40.求這四個數(shù).12345678910111213141516解設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，又四個數(shù)成遞減等差數(shù)列，所以d<0，故所求的四個數(shù)為11,8,5,2.1234567891011121314151610.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝

(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3；12345678910111213141516(2)是否存在一個實數(shù)λ，使得數(shù)列

為等差數(shù)列，請說明理由.12345678910111213141516123456789101112131415綜合運用1611.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列

為遞減數(shù)列，則A.d>0 B.d<0C.a1d>0 D.a1d<0√解析由數(shù)列

為遞減數(shù)列，得

，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a1an－1>a1an，由等差數(shù)列的公差為d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an?a1an－a1an－1<0?a1(an－an－1)<0?a1d<0.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)五個人所分得的面包個數(shù)為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，則(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，1234567891011121314151614.在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，若從第5項開始為負數(shù)，則公差d的取值范圍是___________.解析∵等差數(shù)列{an}從第5項開始為負數(shù)，拓廣探究1234567891011121314151615.一個三角形的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其三邊a，b，c也成等差數(shù)列，則該三角形的形狀為____________.等邊三角形12345678910111213141516解析由三邊成等差數(shù)列，得2b＝a＋c，三角形的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°，即(a＋c)2＝4a2＋4c2－4ac，整理得a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c.所以該三角形為等邊三角形.16.有一批電視機原銷售價為每臺