概率論-區(qū)間估計課件

概率與統(tǒng)計

第十九講區(qū)間估計主講教師:于紅香e-mail:fishr2001@163.com對于概念和理論方面的內容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運算和能力方面的內容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來表述。學習要求理解區(qū)間估計的概念會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間第四節(jié)區(qū)間估計第四節(jié)區(qū)間估計置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法單側置信區(qū)間我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含參數(shù)真值.湖中魚數(shù)的真值[

]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信度或置信水平.習慣上把置信水平記作，這里是一個很小的正數(shù).一、置信區(qū)間定義滿足設是一個待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為的置信區(qū)間.和分別稱為置信下限和置信上限.若由樣本可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.~N(0,1)選的點估計為,求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.例1設X1,…Xn是取自的樣本，尋找未知參數(shù)的一個良好估計.解尋找一個含待估參數(shù)的隨機變量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.二、置信區(qū)間的求法也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為3.對于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b（一般為分位數(shù)），使得P(a<U(T,)<b)=

4.對“a<U(T,)<b”作等價變形,得到如下形式:即于是就是的100(

)％的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對稱的情形，當a=-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.即使在概率密度不對稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應的置信區(qū)間平均長度越長.三、單側置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時,可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間.于是引入單側置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是

的置信水平為的單側置信區(qū)間.定義稱為的置信水平為的單側置信下限.對于任意,滿足若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是

的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為的置信水平為的單側置信上限.對于任意,對給定的置信水平

，確定分位點使即于是得到的置信水平為的單側置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側置信下限是1065小時的置信水平為的單側置信下限為即一、單個總體的情況并設為來自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.均值的置信區(qū)間為已知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為或為未知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為此分布不依賴于任何未知參數(shù)由或于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為即方差的置信區(qū)間由可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為由可得到標準差

的置信水平為的置信區(qū)間為于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為即二、兩個總體的情況設已給定置信水平為,并設是來自第一個總體的樣本,是來自第二個總體的樣本,這兩個樣本相互獨立.且設分別為第一、二個總體的樣本均值,為第一、二個總體的樣本方差.兩個總體均值差的置信區(qū)間為已知因為相互獨立,所以相互獨立.故或于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為為未知其中于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為其中例3

為比較I,Ⅱ兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取I型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為標準差隨機地?、蛐妥訌?0發(fā),得到槍口速度的平均值為標準差假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布.且生產(chǎn)過程可認為方差相等.求兩總體均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解依題意,可認為分別來自兩總體的樣本是相互獨立的.又因為由假設兩總體的方差相等,但數(shù)值未知,故兩總體均值差的置信水平為的置信區(qū)間為其中這里故兩總體均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為即(3.07,4.93).兩個總體方差比的置信區(qū)間(為已知)由即可得到的置信水平為的置信區(qū)間為

例4

研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內徑,隨機地抽取機器A生產(chǎn)的鋼管18只,測得樣本方差隨機地取機器B生產(chǎn)的鋼管13只,測得樣本方差設兩樣本相互獨立,且設由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內徑分別服從正態(tài)分布這里(i=1,2)均未知.試求方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間.這里即(0.45,2.79).解故兩總體方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間為1。某單位要估計平均每天職工的總醫(yī)療費，觀察了30天,其總金額的平均值是170元,標準差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費用平均值的區(qū)間估計（設每天總醫(yī)療費用服從正態(tài)分布，置信水平為0.95）.解三、課堂練習由解