2020高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章常用邏輯用語1．四種命題：原命題與它的逆命題、否命題之間的真假關(guān)系是不確定的，而原命題與它的逆否命題（它的逆命題與它的否命題)同真同假．2．關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實(shí)際上是對命題真假的判斷．判斷充要條件時常見有兩種方法，分別是定義法和集合關(guān)系法．3．由“且”“或”“非"構(gòu)成的新命題有三種形式：“p或q”“p且q”“非p”．4．命題的否定與否命題的區(qū)別：否命題既否定條件又否定結(jié)論，其真假與原命題的真假無關(guān)；而命題的否定只否定結(jié)論，其真假與原命題的真假相反．命題關(guān)系及其真假判定【例1】判斷下列命題的真假:（1)若x∈A∪B,則x∈B的逆命題與逆否命題；(2)若自然數(shù)能被6整除，則自然數(shù)能被2整除的逆命題;（3)若0＜x＜5，則｜x－2｜＜3的否命題及逆否命題;(4)若不等式（a－2）x2＋2(a－2）x－4＜0對一切x∈R恒成立，則a∈（－2，2)的原命題、逆命題．[解](1)逆命題:若x∈B，則x∈A∪B.根據(jù)集合“并”的定義,逆命題為真．逆否命題：若x?B，則x?A∪B。逆否命題為假．如2?{1,5}＝B,A＝｛2，3},但2∈A∪B.(2）逆命題:若自然數(shù)能被2整除，則自然數(shù)能被6整除．逆命題為假．反例：2，4,14,22等都能被2整除,但不能被6整除．（3）否命題：若x≤0或x≥5，則｜x－2|≥3。否命題為假．反例:x＝－eq\f（1,2）≤0，但eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)－2））＝eq\f（5，2）＜3.逆否命題：若|x－2｜≥3，則x≤0或x≥5。逆否命題為真,因|x－2｜≥3?x≥5或x≤－1。（4)原命題為假．因?yàn)?a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0,當(dāng)a＝2時，變?yōu)椋?＜0，故為假命題．逆命題：若a∈（－2,2)，則不等式（a－2)x2＋2（a－2)x－4＜0對一切x∈R恒成立．逆命題為真,因?yàn)楫?dāng)a∈（－2，2）時，Δ＜0，且a－2＜0.1．四種命題的改寫步驟(1)確定原命題的條件和結(jié)論．（2)逆命題：把原命題的條件和結(jié)論交換．否命題：把原命題中條件和結(jié)論分別否定．逆否命題：把原命題中否定了的結(jié)論作條件、否定了的條件作結(jié)論．2．命題真假的判斷方法：直接法、間接法．1．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：(1)相等的兩個角的正弦值相等；（2）若x2－2x－3＝0，則x＝3.[解］（1)逆命題:若兩個角的正弦值相等，則這兩個角相等．假命題;否命題：若兩個角不相等，則這兩個角的正弦值也不相等．假命題;逆否命題：若兩個角的正弦值不相等，則這兩個角不相等．真命題．（2)逆命題：若x＝3，則x2－2x－3＝0.真命題；否命題:若x2－2x－3≠0，則x≠3。真命題；逆否命題：若x≠3,則x2－2x－3≠0。假命題．充分條件與必要條件【例2】設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a〉0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－x－6≤0，,x2＋2x－8〉0。))若﹁p是﹁q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．［解］由x2－4ax＋3a2得(x－3a）(x－a又a〉0，所以a〈x〈3a由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－x－6≤0，,x2＋2x－8〉0，）)得2〈x≤3,﹁p是﹁q的充分不必要條件,即﹁p?﹁q，且﹁q﹁p，設(shè)A＝｛x|﹁p}，B＝｛x|﹁q｝，則AB，又A＝{x|﹁p｝＝｛x｜x≤a或x≥3a｝，B＝｛x|﹁q｝＝｛x｜x≤2或x則0〈a≤2，且3a>3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1〈a≤2))）).判斷充分條件、必要條件和充要條件的方法1定義法：①p?q且qp,則p是q的充分不必要條件.②pq且q?p，則p是q的必要不充分條件.③p?q且q?p，則p是q的充要條件.④pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.2集合法:①若AB,則x∈A是x∈B的充分不必要條件，同時x∈B是x∈A的必要不充分條件.②若A?B,則x∈A是x∈B的充分條件,x∈B是x∈A的必要條件。③若A＝B，則x∈A是x∈B的充要條件，x∈B是x∈A的充要條件.④若AB且BA，則x∈A是x∈B的既不充分也不必要條件.2．(1)給定兩個命題p，q，若﹁p是q的必要不充分條件，則p是﹁q的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（2）設(shè)點(diǎn)P（x,y），則“x＝2且y＝－1"是“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析］（1）由題意，“若q，則﹁p”為真，則其逆否命題“若p，則﹁q"也為真，即p是﹁q的充分不必要條件．（2）由“x＝2且y＝－1”,可推得“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上",反之不成立，故選A。[答案］（1)A（2）A全稱命題與特稱命題【例3】判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷真假：（1）對任意實(shí)數(shù)x，都有x2＋3〉0；（2)每一個指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)；（3）至少有一個自然數(shù)小于1;（4）存在一個實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋2＝0.［解］(1）是全稱命題．當(dāng)x∈R時，x2≥0，則x2＋3〉0。故該全稱命題是真命題．（2）是全稱命題．對于指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））x，它是減函數(shù)，故該全稱命題是假命題．（3）是特稱命題．顯然，自然數(shù)0小于1，故該特稱命題是真命題．（4)是特稱命題．對方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，即方程x2＋2x＋2＝0沒有實(shí)數(shù)根，因此該特稱命題是假命題．判斷全稱命題、特稱命題及其真假的方法：1判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞,有些全稱命題雖然不含全稱量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷。2要確定一個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立,則該全稱命題是假命題；3要確定一個特稱命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該特稱命題是假命題。3．（1)命題“任意x∈R,x2＋4x＋4≥0”的否定為__________．（2)判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假：①對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；②至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；③任意x∈｛x｜x是無理數(shù)}，x2是有理數(shù)；④存在x0∈Z，log2x0＞0。（1)[解析]全稱命題的否定是特稱命題，所以該命題的否定為：存在x0∈R,xeq\o\al（2，0)＋4x0＋4＜0。[答案］存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋4x0＋4＜0（2）[解］①全稱命題，真命題；②特稱命題，真命題；③全稱命題，假命題,例如，當(dāng)x＝eq\r（4，2)時，x2＝eq\r（2)，不是有理數(shù)；④特稱命題,真命題．分類討論思想的應(yīng)用[探究問題］1．命題“p或q”為真、“p且q"為假包含真假情況有哪幾種？[提示］由p或q為真知命題p與命題q至少有一個為真，由p且q為假知命題p與命題q至少有一個為假，由此可知命題p與命題q一真一假．因此需分兩種不同情況分類討論．2．分類討論的原則和步驟是什么?如何解決復(fù)合命題中參數(shù)范圍的求解問題．[提示］(1）分類討論的分類原則：①要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn);②分類要不重復(fù)、不遺漏；③當(dāng)討論的對象不止一種時，應(yīng)分層次進(jìn)行．分類討論的一般步驟為:先明確討論對象，確定對象的范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn),逐段分析，獲得階段性結(jié)果,最后歸納總結(jié)得出結(jié)論．(2）若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，在求解時，可以先等價轉(zhuǎn)化命題p,q,直至求出這兩個命題為真時參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況分類討論參數(shù)的取值范圍．【例4】已知a〉0且a≠1，設(shè)命題p:函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2a|〉1的解集為R，如果p和q有且只有一個正確，求a［思路點(diǎn)撥]分p正確且q不正確，p不正確且q正確兩種情況求解．［解］由函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減知0<a<1，∴p：0<a<1.不等式x＋|x－2a｜〉1的解集為R即y＝x＋|x－2a|在R又x＋｜x－2a|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－2a,x≥2a，，2a，x<2a.））∴函數(shù)y＝x＋|x－2a｜在R上的最小值為2a。故要使解集為R，只需2a〉1.∴a〉eq\f(1,2）.∴q：a〉eq\f(1,2）。如果p真q假，則0〈a≤eq\f（1，2)；如果p假q真，則a〉1.故a的取值范圍為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(0<a≤\f(1，2)或a〉1)))）。將例4中的條件“如果p和q有且只有一個正確"變成“p或q”為真．求a的取值范圍．［解］當(dāng)p