2023年遼寧省大連渤海高級中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．4．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb6．已知是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于兩點，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．7．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．409．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或10．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}11．已知集合，，則A． B． C． D．12．已知三棱錐且平面，其外接球體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨款，則有________種不同的支付方式.14．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．15．函數(shù)的極大值為______.16．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學在這次活動中答對的題數(shù)分別是，則這五位同學答對題數(shù)的方差是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.19．（12分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．22．（10分）已知凸邊形的面積為1，邊長，，其內(nèi)部一點到邊的距離分別為.求證：.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】試題分析：根據(jù)題意，當時，令，得；當時，令，得，故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1．考點：程序框圖．2．C【答案解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當Q，P，M三點共線時，即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【答案點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.3．B【答案解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．4．B【答案解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【題目詳解】當時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【答案點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.5．B【答案解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.6．B【答案解析】

首先由求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【題目詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【答案點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.7．C【答案解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【題目詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【答案點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.8．A【答案解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【題目詳解】展開式中的項為.故選：【答案點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.9．D【答案解析】

先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【答案點睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.10．D【答案解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【題目詳解】因為集合，故選：D.【答案點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.11．C【答案解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.12．A【答案解析】

由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【題目詳解】由題,因為,所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【答案點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【答案解析】

按照個位上的9元的支付情況分類，三個數(shù)位上的錢數(shù)分步計算，相加即可．【題目詳解】9元的支付有兩種情況，或者，①當9元采用方式支付時，200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；②當9元采用方式支付時：200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；所以總的支付方式共有種．故答案為：1．【答案點睛】本題考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題．做題時注意分類做到不重不漏，分步做到步驟完整．14．2【答案解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結(jié)果.【題目詳解】拋物線的標準方程為：，則拋物線的準線方程為，設(shè)，，則，所以，則線段中點的縱坐標為.故答案為：【答案點睛】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉(zhuǎn)化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用，本題較為基礎(chǔ).15．【答案解析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進而求得極值點，即可求出函數(shù)的極大值．【題目詳解】函數(shù)，，，令得，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【答案點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用．16．2【答案解析】

由這五位同學答對的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【答案解析】

（1）判斷公比不為1，運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【題目詳解】解：（1）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，可得時，，不成立；當時，，即，解得（舍去），則；（2），前項和，，兩式相減可得，化簡可得.【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．18．（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【答案解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【題目詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【答案點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，19．（1）沒有極值點；（2）證明見解析【答案解析】

（1）求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【題目詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.（2）由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【答案點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.20．（1）答案見解析（2）【答案解析】

（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，，，三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由，，則，當時，則，故在上單調(diào)遞減；當時，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.設(shè)，則,∴在上單調(diào)遞減；當時，.∴，即所求的取值范圍為.【答案點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，求解雙元問題的常用思路是：通過換元或消元，將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).21．（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析【答案解析】

（1）