2021-2022學(xué)年福建省南安市柳城中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年福建省南安市柳城中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知平面向量，．若∥，則（

）．A． B． C． D．2A【分析】利用共線向量定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椤?，所以，所?故選：A本題考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)式子進(jìn)行變形,求出即可.【詳解】解：由，得,故選：C．3．在四邊形中，若且，則（

）．A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形B【分析】由，得，所以四邊形為平行四邊形，又可得，故可得四邊形是菱形.【詳解】由，得，所以∥，且，故四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形是菱形.故選：B本題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.4．已知向量，，則的面積為（

）A．5 B．10 C．25 D．50A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)可得向量垂直，從而得到三角形為直角三角形，求出向量的模長(zhǎng)，即可得答案；【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以．故選：A．本題考查向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.5．中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是 D．是鈍角三角形B【分析】用正弦定理即可判斷A；用余弦定理可以判斷D，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可以判斷B；先用余弦定理確定A，再用三角形面積公式即可算出面積，進(jìn)而判斷D.【詳解】對(duì)A，由正弦定理可得正確；對(duì)B，D，設(shè)，∴，A為鈍角，，B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)C，∵，則，∴，∴.故選：B.6．在中，則的值等于（）A． B． C． D．A【詳解】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進(jìn)而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.7．設(shè)是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則D由線面平行的性質(zhì)和面面平行的判定可判斷選項(xiàng)A；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面位置關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；由線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理可判斷選項(xiàng)D；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則或與相交，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，則或，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，，則或或與相交，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，由線面平行的性質(zhì)定理可得過(guò)的平面，設(shè)，則，所以，再由面面垂直的判定定理可得，故選項(xiàng)D正確；故選：D8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是一個(gè)正方體挖去了兩個(gè)半球，根據(jù)正方體和球的表面積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由三視圖還原該幾何體如下，則該幾何體是一個(gè)正方體分別從上下底面挖去了兩個(gè)半球，且正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，所以該幾何體的表面積為.故選：C.本題主要考查求幾何體的表面積，熟記幾何體的表面積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、多選題9．設(shè)向量，，則

（

）A． B．C． D．與的夾角為CD【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐個(gè)驗(yàn)證向量平行、垂直、夾角和模的問(wèn)題.【詳解】由題意，，，則

，

，故A錯(cuò)誤；易知，由，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；又

，即，故C正確；因?yàn)?/p>

，又

，所以與的夾角為，故D正確．故選：CD．10．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下真命題的是（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．的虛部為C． D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限AD【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法、乘法計(jì)算出，再逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故，故A正確.的虛部為，故B錯(cuò)，，故C錯(cuò)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故D正確.故選：AD.本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，另外復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).11．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，且，則有（

）A． B． C． D．BC【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)得選項(xiàng)C正確；利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)得選項(xiàng)D錯(cuò)誤；利用余弦定理得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用正弦定理得選項(xiàng)B正確.【詳解】解：由正弦定理得,所以,因?yàn)?所以選項(xiàng)C正確；由題得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；由余弦定理得，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由正弦定理得.所以選項(xiàng)B正確.故選：BC12．如圖，已知長(zhǎng)方體中，四邊形為正方形，，，，分別為，的中點(diǎn).則（

）A． B．點(diǎn)???四點(diǎn)共面C．直線與平面所成角的正切值為 D．三棱錐的體積為BCD【分析】利用反證法判斷A；利用直線平行判斷B；利用線面角的定義判斷C；利用錐體體積公式判斷D.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)，由題意知平面，平面，，又，平面，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知與平面不垂直，故假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，，由于，分別為，的中點(diǎn)，，又因?yàn)殚L(zhǎng)方體，知，，所以點(diǎn)???四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，由題意可知平面，為直線與平面所成角，在直角中，，，則，故C正確；對(duì)于D，連接，，，則，利用等體積法知：，故D正確故選：BCD三、填空題13．復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)________.【分析】先求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而求得其共軛復(fù)數(shù)．【詳解】解：，．故．14．在銳角中，，，的面積為，__________．2【詳解】分析：先可得出，再由面積公式：得出AB，再由∠A的余弦定理即可求出BC.詳解：由題得，，,故答案為2.點(diǎn)睛：考查余弦定理、三角形的面積公式的應(yīng)用，對(duì)公式的靈活運(yùn)用和審題仔細(xì)是解題關(guān)鍵.15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.【分析】過(guò)作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過(guò)作，垂足為，可知點(diǎn)H為中點(diǎn)，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因?yàn)?，，所以，故答案?16．已知三棱錐中，面，，，，，則三棱錐外接球的體積為__________．【分析】由勾股定理得，再由面，把該棱錐鑲嵌到長(zhǎng)寬高分別為，，的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，由此計(jì)算出球半徑后可得體積．【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，又面，，所以可以把該棱錐鑲嵌到長(zhǎng)寬高分別為，，的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，所以外接球的半徑為，所以球的體積為．故．四、解答題17．已知向量,.(1)求的坐標(biāo);(2)求.(1);(2).【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算及加法運(yùn)算即可得到本題答案；（2）根據(jù)向量的模的計(jì)算公式即可得到本題答案.【詳解】(1)因?yàn)?,所以；所以；(2)因?yàn)?所以.本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及模的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18．如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）在平面內(nèi)找到與BC平行的直線即可.（2）在平面內(nèi)找到與平面垂直的直線即可.【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以．因?yàn)榈酌?，在平面?nèi)，所以．又，、在平面內(nèi)，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?9．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，.（1）求；（2）求的面積.（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面積公式，即可求解三角形的面積．【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合題意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面積為．本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證.（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，接，可得，即可證明平面；（2）由底面是菱形，得，又底面，可得，證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證．【詳解】證明：（1）設(shè)與交于點(diǎn)，接，底面是菱形，為中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，面，平面平面．（2）底面是菱形，，底面，底面，，且，平面．平面．平面，．21．在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng)(1)；(2)（1）由向量垂直關(guān)系得到數(shù)量積為零的等式，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得；（2）根據(jù)三角形面積公式構(gòu)造方程求得，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到所求周長(zhǎng).【詳解】（1）

由正弦定理得：即：

（2）

由余弦定理得：

的周長(zhǎng)本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、利用兩角和差公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、平面向量數(shù)量積、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于常考題型.22．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，側(cè)面為正方形，平面平面.點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.（1）證明見(jiàn)解析；（2）（1）連，根據(jù)為菱形，易得點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，由三角形中位線得到，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連，則，根據(jù)平面平面，得到平面，從而，再根據(jù)為