二次函數(shù)與圓的綜合

二次函數(shù)與圓的綜合2(2012?齊南)如圖1,拋物線y=ax+bx+3與x軸相交于點A(-3,0),B(-1,0),與y軸相交于點C,OOiABC的外接圓，交拋物線于另一點D.求拋物線的解析式；(2)求cos/CAB的值和OOi的半徑；(3)如圖2,拋物線的頂點為P,連接BP,CP,BD,M為弦BD中點，若點N在坐標平面內(nèi)，滿足△BMNBPC,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.DCDO1O13DCDO1O13次函數(shù)綜合題.(如答圖1所示，由△AOC為等腰直角三角形，確定/CAB=45。從而求出其三

角函數(shù)值；由圓周角定理,確定△BO1C為等腰直角三角形,從而求出半徑的長度；如答圖2所示,首先利用圓及拋物線的對稱性求出點D坐標,進而求出點M的坐標和線段BM的長度；點B、P、C的坐標已知,求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用厶BMNBPC相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段BN和MN的長度；最后利用兩點間的距離公式,列出方程組,求出點N的坐標.2解答：解：(1)：拋物線y=ax+bx+3與x軸相交于點A(-3,0),B(-1,0),"9a-3U3=0a-b43=0'I解得a=1,b=4,2拋物線的解析式y(tǒng)=x+4x+3.為:(2)由(1)知,拋物線解析式為：y=x2+4x+3,令x=0,得y=3,C(0,3),0C=0A=3，則△AOC為等腰直角二角形,/CAB=45°99，???cos/CAB=—2在RtABOC中，由勾股定理得：BC=葉+32=V15-如答圖1所示，連接OiB、OiC,由圓周角定理得：/BOiC=2/BAC=90°△BO1C為等腰直角三角形，-OOi的半徑O〔B=22(3)拋物線y=x+4x+3=(x+2)-1,頂點P坐標為(-2,-1),對稱軸為x=-2.又A(-3,0),B(-1,0),可知點A、B關(guān)于對稱軸x=2對稱.如答圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點D、點C(0,3)關(guān)于對稱軸對稱,?-D(-4,3).又點M為BD中點，B(-1,0),在厶在厶BPC中，B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),由兩點間的距離公式得：BP=.■:,BC=|II,PC=/7.?/△BMNBPC,設(shè)N(x,y),由兩點間的距離公式可得:(覽+設(shè)N(x,y),由兩點間的距離公式可得:(覽+1)72二怖24(y-f5心后2解之得,=-312點N的坐標為(二,或(#D0P圖D0P圖IoBOIoBO圉1點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點間的距離公式等重要知識點，涉及的考點較多，試題難度較大難點在于第（3）問，需要認真分析題意，確定符合條件的點N有兩個，并畫出草圖；然后尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點N的坐標.2（2011?遵義）已知拋物線y=ax+bx+3（a老）經(jīng)過A（3,0）,B（4,1）兩點，且與y軸交于點C.（1）求拋物線y=ax+bx+3（a和）的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；（2）如圖（1），連接AB,在題（1）中的拋物線上是否存在點卩，使厶PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC,E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、0三點的圓交直線AB于點卩，當厶OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標.

CCsoo(1)CCsoo(1)考點：二次函數(shù)綜合題.(1)根據(jù)A(3,0),B(4,1)兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；⑵從當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且/PAB=90。與當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且/PBA=90。分別求出符合要求的答案；(3)根據(jù)當0E//AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME,求出即可.分析:解得：x=0或3,???y=3,y=0（不合題意舍去），P點坐標為（0,3）,點P、C、D重合，②當厶PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且/PBA=90如圖2,過點B作BF丄y軸于點F,由（1）得，F(xiàn)B=4,/FBA=45°???/DBF=45°DF=4,D點坐標為：（0,5）,B點坐標為：（4,1）,直線BD解析式為：y=kx+b，將B,D分別代入得：1=4k+b,b=5,k=-1,y=-x+5,y=X2-雖+3=-x+5,222x-3x-4=0,解得：X仁-1,X2=4（舍），y=6,P點坐標為（T,6）,點P的坐標為：（T,6）,（0,3）;（3）如圖3:作EM丄AO于M,直線AB的解析式為：y=x-3,tan/OAC=1,/OAC=45°/OAC=/OAF=45°AC丄AF,OE最小時SAFEO最小，???OE丄AC時OE最小，?/AC丄AFOE//AF/EOM=45°,MO=EM,?/E在直線CA上，E點坐標為（x,-x+3）,x=-x+3,解得：x=三，■-E點坐標上二為■.：::

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點同學們應(yīng)重點掌握.(2011?襄陽)如圖，在平面直角坐標系xoy中，AB在x軸上，AB=10,以AB為直徑的。0'與y軸正半軸交于點C,連接BC,AC.CD是O0的切線，AD丄CD于點D,tan/CAD=丄拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點.(1)求證：/CAD=/CAB;①求拋物線的解析式；②判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；在拋物線上是否存在一點P,使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫出點P的坐標(不寫求解過程)；若不存在，請說明理由.

考點：分考點：分析：I⑴連接oc,由CD是Oo的切線，可得0C丄CD,則可證得0C//AD,又由O'A=0C,貝0可證得/CAD=/CAB;⑵①首先證得厶CAOBCO,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊OC2例,可OB又由tan/CAO=tan/CAD=，則可求得CO,AO,BO的長，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；②首先證得厶FOCsAFAD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到F的坐標，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入檢驗即可求得答案；⑶根據(jù)題意分別從PA//BC與PB//AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解.解答：⑴證明：連接OC,???CD是OO的切線，???OC丄CD,/AD丄CD,O'C//AD,???/OCA=/CAD,/OA=OC,???/CAB=/OCA,???/CAD=/CAB;(2)解：①TAB是OO的直徑,???/ACB=90°/OC丄AB,???/CAB=/OCB,△CAOBCO,八4…OA"QC2即OC=OA?OB,■/AtOan=/2CCOAO,=tan/CAD=—,又AB=10,2?-OC=2CO(10-2CO),/CO>0,22?C0=4,A0=8,BO=2,?A(-8,0),B(2,0),C(0,4),拋物線y=ax+bx+c過點A,B,C三點，■-c=4,1:f4a+2M4=0(61:f4a+2M4=0(60x+4牝-二解得：解得：ib-2-2拋物線的解析式為②設(shè)直線DC交x②設(shè)直線DC交x軸于點F,A0C3ADC,AD=AO=8,?/0'C//AD,F0CFAD,°AF=_AD??8(BF+5)=5(BF+10),設(shè)直線DC的解析式為y=kx+mk=~i解得：rr匚4直線DC的解析式為y=-3+4,由y=E的坐標為(-由y=E的坐標為(-3,25將E(-3,代入直線DC的解析式y(tǒng)=-上x+4中,右邊=-_X(-3)+4=上產(chǎn)左邊,拋物線頂點E在直線CD上；(3)存在，Pi(-10,-6),P2(10,-36).①/A(-8,0),C(0,4),過A、C兩點的直線解析式為乙+=4

設(shè)過點B且與直線AC平行的直線解析式為：y=.2+b，把B(2,0)代入得b=-1,直線pB的解析式為r-1,解得產(chǎn)-解得產(chǎn)-1042（舍,y=o去）,當m變化S當m變化S關(guān)于m的1/二Pi(-10,-6).②求P2的方法應(yīng)為過點A作與BC平行的直線，可求出BC解析式，進而求出與之平行的直線的解析式，與求Pi同法，可求出xi=-8,yi=0(舍去)；X2=10,y2=-36.?円的坐標(O-36).此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點與函數(shù)的關(guān)系,直角梯形等知識此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.&(2011?濰坊)如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-.(x+3m：x-3m)圖象的頂點為M,圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點.以AB為直徑作圓，圓心為C?定點E的坐標為(-3,0),連接ED.(m>0)寫出A、B、D三點的坐標；當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關(guān)系；(3)時，用m表示△AED的面積S,并在給出的直角坐標系中畫出函數(shù)圖象的示意

二次函數(shù)綜合題.:壓軸題；分類討論：(1)根據(jù)X軸，y軸上點的坐標特征代入即可求出A、B、D三點的坐標；待定系數(shù)法先求出直線ED的解析式，再根據(jù)切線的判定得出直線與圓的位置關(guān)系；分當Ov二次函數(shù)綜合題.:壓軸題；分類討論：(1)根據(jù)X軸，y軸上點的坐標特征代入即可求出A、B、D三點的坐標；待定系數(shù)法先求出直線ED的解析式，再根據(jù)切線的判定得出直線與圓的位置關(guān)系；分當Ovmv3時，當m〉3時兩種情況討論求得關(guān)于m的函數(shù).：解：(1)令y=0,則-J(x+m)(x-3m)=0,解得X1=-m,x2=3m；令x=0,貝Uy=-'(0+m)(0-3m)=;;m.故A(-m,0),B(3m,0),D(0,_;m)(2)設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b，將(-3,0),D(0,-3k+b=0b=73in「；m)代入得:解得，k=遞mb=.3直線ED的解析式為y=__上3x+-;m.將y=-__'(x+m)(x-3m)化為頂點式:3m2+'：頂點M的坐標為(m,警).代入y=Jmx+.彷得:m2=mm=1?所以，當m=1時，M點在直線DE上.連接CD,C為AB中點，C點坐標為/0D=_「；，OC=1,CD=2,D點在圓上222又0E=3,DE2=0D2+0E2=12,22EC=16,CD=4,222CD+DE=EC./EDC=90°直線ED與oC相切.S-—；：'-當m〉3時，oAEdaAE.?0D=/m(m-3)?OD=::m(3-m?OD=::m(3-m)22S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖如右:(3)當Ovmv3時，Vaed=±AE.

rv」m」m本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有x軸，y軸上點的坐標特征，拋物線解析式的確定，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法?注意分析題意分情況討論結(jié)果.點評：9.(2011?邵陽)如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，已知點A(-』，0),點C(0,3),4點B是x軸上一點(位于點A的右側(cè))，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點C.求/ACB的度數(shù)；已知拋物線y=ax+bx+3經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式；線段BC上是否存在點。，使厶BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題.專題：綜合題.分析：⑴根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可以得到/ACB的度數(shù).解答：利用三角形相似求出點B的坐標，然后把A,B兩點的坐標代入拋物線求出拋物線的解析式.分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點D的坐標.解：(l)v以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點C,/ACB=90°(2)：公AOCCOB,?-OC2=AO?OB,???A(―』，0),點C(0,3),4

—羸°C=3,42又：CO=AO?OB,七彳罰，???OB=4,???B(4,0)把A、B、C三點坐標代入得(3)①OD=DB,如圖：D在OB的中垂線上，過D作DH丄OB,垂足是H,貝UH是OB中點.DH=￡OC，OH=*OB，?-D(2,號)，②BD=BO,如圖：過D作DG丄OB，垂足是G,0G=CD=DGob"CB"oc，■/OB=4,CB=5,CD=BC-BD=BC-OB=5-4=1,IcrLI1cfE1IcrLI1cfE14??OG二亠,DGLN目,3一DG=點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出角的度數(shù).（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定點D的坐標.個人懂你，就是時時關(guān)心你；就是刻刻在乎你；就是凡事想著你。懂你的人，會想著你的冷暖，想著你的憂樂，想著你是否安好。個人懂你，就是時時關(guān)心你；就是刻刻在乎你；就是凡事想著你。懂你的人，會想著你的冷暖，想著你的憂樂，想著你是否安好。官場之間，如果能互懂，就沒有爭斗和讒言；人與人之間，如果能互懂，就沒有愧疚和不安。其實，懂，應(yīng)該是相互的。官場之間，如果能互懂，就沒有爭斗和讒言；人與人之間，如果能互懂，就沒有愧疚和不安。其實，懂，應(yīng)該是相互的。懂你，是心靈的一種呵護，是生命的一種溫度，是彼此間的一種溫馨。因為有人懂你，你流在眼角的淚水有人擦；因為有人懂你，你歡笑時有人陪你笑；因為有人懂你，你寂寞時有人陪；因為有人懂你，你有難時有人幫；因為有人懂你，你痛苦時有人安慰。懂你的人是你的知己，甚至比知己更知己。知己也只能是無話不說，心心相印，情同手足，休戚與共。而懂你的人則更進一層，如若懂得，你的一個眼神，便能會意；你的一個暗示，便能心領(lǐng)；你任何一個神情，便會心有靈犀。懂你的人，會對你心領(lǐng)神會，了如指掌，會對你的了解猶如了解自己。懂，是世界上最溫情的語言。淺淺的微笑，卻包含著深深的喜歡；淡淡的祝福，卻包含著濃濃的情意；短短的問候，卻包含著長長的思念。有時只說了只言片語，卻勝似萬語千言；有時只是一個眼神，一個動作，卻能讓你心間溫暖如春。懂你的人，最懂你的苦衷，最懂你的心累，最懂你的真誠，最懂你的內(nèi)心世界。因為懂得，所以心相同；因為懂得，所以才心疼；因為懂得，所以才感動！懂你，是一種深深的理