2020高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.2 立體圖形的直觀圖學(xué)案 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．2立體圖形的直觀圖考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面圖形的直觀圖會(huì)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖直觀想象簡單幾何體的直觀圖會(huì)用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡單組合體的直觀圖直觀想象直觀圖的還原與計(jì)算會(huì)根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P107－P111的內(nèi)容，思考以下問題：1．畫簡單幾何體的直觀圖的步驟是什么？2．水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法有哪些規(guī)則？3．用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟（1）建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O。畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．（3）長度規(guī)則:已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．2．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸,直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸．（2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．（4)成圖后，去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線。■名師點(diǎn)撥（1)畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可．（2）用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長不變,垂線長減半，直角畫45°（或135°)．判斷(正確的打“√",錯(cuò)誤的打“×”）(1）用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中,∠A＝45°。(）(2）用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行．(）(3）相等的角在直觀圖中仍相等．（）答案：(1）×(2)√(3)×根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時(shí)，把Ox,Oy，Oz軸畫成對應(yīng)的O′x′，O′y′，O′z′,則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數(shù)分別為（）A．90°，90° B．45°,90°C．135°，90° D．45°或135°,90°解析:選D。根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則,∠x′O′y′的度數(shù)應(yīng)為45°或135°，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時(shí)的橫軸與豎軸的夾角,所以度數(shù)為90°。下列關(guān)于直觀圖的說法不正確的是（)A．原圖形中平行于y軸的線段,對應(yīng)線段平行于直觀圖中y′軸，長度不變B．原圖形中平行于x軸的線段，對應(yīng)線段平行于直觀圖中x′軸，長度不變C．畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′可以畫成45°D．在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同所畫直觀圖可能不同解析：選A。平行于y軸的線段，直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故A錯(cuò)．利用斜二測畫法畫邊長為1cm的正方形的直觀圖，可能是下面的（）解析：選C。正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長不相等，故選C項(xiàng)．如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其原平面圖形的面積為__________．答案:6畫水平放置的平面圖形的直觀圖畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．【解】（1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖①所示．(2）畫相應(yīng)的x′軸和y′軸,使∠x′O′y′＝45°，在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC。連接B′C′，如圖②。(3）所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③。eq\a\vs4\al(）畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．（2）畫圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長度的關(guān)系是否發(fā)生變化．用斜二測畫法畫出圖中等腰梯形ABCD的直觀圖．(其中O，E分別為線段AB，DC的中點(diǎn))解:(1)畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°。（2）以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f（1，2）OE,以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖．畫簡單幾何體的直觀圖已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長為2,下底面邊長為6,高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．【解】(1）畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2)畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF,使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3,再過G，H分別作AB綊EF,CD綊EF，且使得AB的中點(diǎn)為G，CD的中點(diǎn)為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺(tái)的下底面ABCD的直觀圖．（3）畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2）的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．(4）連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖(如圖②)．eq\a\vs4\al（）畫空間圖形的直觀圖的原則（1）用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．（2）平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f（1,2）.由如圖所示幾何體的三視圖畫出直觀圖．解:(1）畫軸．如圖①，畫出x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°。（2)畫底面．作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC。(3)畫側(cè)棱．過A，B，C各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA′，BB′，CC′,且AA′＝BB′＝CC′，如圖①。(4)成圖，順次連接A′,B′,C′，并加以整理（擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示)，得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖，如圖②。①②直觀圖的還原與計(jì)算如圖所示,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2，3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1。試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．【解】如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2。在過點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2。連接BC，便得到了原圖形（如圖)．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2。所以面積為S＝eq\f（2＋3，2)×2＝5.eq\a\vs4\al(）(1）直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段,且平行于x′軸的線段還原時(shí)長度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可．(2）直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f（\r(2),4）S或S＝2eq\r（2）S′。利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（)A.eq\f(\r（3)，4)a2 B.eq\f(\r(3)，8）a2C。eq\f（\r（6）,8)a2 D.eq\f(\r(6)，16）a2解析:選D.如圖①②所示為實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝eq\f(1，2)OA＝eq\f（\r（3),4)a，在圖②中作A′D′⊥B′C′于點(diǎn)D′,則A′D′＝eq\f(\r(2）,2）O′A′＝eq\f(\r(6），8）a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1，2）B′C′·A′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f（\r(6）,8）a＝eq\f(\r（6)，16)a2.1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,對其中的線段說法錯(cuò)誤的是()A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行 D．原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)答案：B2．如圖為一平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是選項(xiàng)中的(）解析：選C。由斜二測畫法的規(guī)則可知，該平面圖形為直角梯形,又因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)的邊平行于y′軸,故選C.3．如圖是一梯形OABC的直觀圖，其直觀圖面積為S，則梯形OABC的面積為(）A．2S B。eq\r(2)SC．2eq\r（2)S D.eq\r（3)S解析：選C。法一：設(shè)O′C′＝h，則原梯形是一個(gè)直角梯形且高為2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.過C′作C′D′⊥O′A′于點(diǎn)D′(圖略），則C′D′＝eq\f(\r（2),2)h.由題意知eq\f（1,2）C′D′(C′B′＋O′A′）＝S，即eq\f（\r（2），4)h（C′B′＋O′A′）＝S。又原直角梯形面積為S′＝eq\f（1，2）·2h(CB＋OA）＝h（C′B′＋O′A′）＝eq\f(4S,\r（2）)＝2eq\r（2)S.所以梯形OABC的面積為2eq\r(2)S.故選C.法二:由S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖，可得S梯形OABC＝eq\f(4S，\r(2))＝2eq\r（2)S,故選C.4．若把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成（）A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cm解析：選A。平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致．5．畫一個(gè)正四棱錐（底面為正方形，側(cè)面為全等的等腰三角形）的直觀圖（尺寸自定)．解：步驟:(1)畫軸．如圖①,畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°。（2)畫底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.（3）畫頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高．(4)畫棱．連接SA，SB，SC，SD，擦去輔助線（坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S-ABCD的直觀圖,如圖②所示．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．對于用斜二測畫法所得的直觀圖，以下說法正確的是（）A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析：選B。根據(jù)斜二測畫法的要求知,正方形的直觀圖為平行四邊形．2．如圖，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，則直觀圖所示的平面圖形是()A．任意三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形解析：選C.因?yàn)锳′B′∥O′y′,且B′C′∥O′x′，所以原平面圖形中AB⊥BC。所以△ABC為直角三角形．3．已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm,另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為（）A．2cm B．3cmC．2。5cm D．5cm解析：選D。圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2＋3＝5（cm），在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5cm，故選D.4．已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形,其中有一邊長為4，則此正方形的面積是(）A．16 B．64C．16或64 D．都不對解析：選C.根據(jù)直觀圖的畫法,平行于x軸的線段長度不變,平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话?于是長為4的邊如果平行于x軸，則正方形邊長為4，面積為16，邊長為4的邊如果平行于y軸，則正方形邊長為8，面積是64.5.正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長是（)A．6cm B．8cmC．(2＋3eq\r（2））cm D．(2＋2eq\r(3))cm解析：選B.如圖，OA＝1cm，在Rt△OAB中，OB＝2eq\r（2）cm，所以AB＝eq\r（OA2＋OB2）＝3（cm)．所以四邊形OABC的周長為8cm。6．如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的原圖形四邊形ABCD的形狀為________．解析：因?yàn)椤螪′A′B′＝45°，由斜二測畫法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，且A′B′＝2B′C′,所以AB＝BC，所以原四邊形ABCD為正方形．答案：正方形7．如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是________．解析：因?yàn)锳′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，所以原圖形是一個(gè)直角梯形，如圖所示．又A′D′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分別是2，5，8,故其面積為S＝eq\f(1，2)×（2＋5)×8＝28。答案：288.如圖所示的是一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,2），則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________．解析:在直觀圖中四邊形A′B′C′O′是有一個(gè)角為45°且長邊為2，短邊為1的平行四邊形，所以頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為eq\f（\r（2），2）。答案：eq\f（\r(2）,2)9．如圖是上、下底面處在水平狀態(tài)下的棱長為2cm的正方體的直觀圖，比例尺為1∶1，回答下列問題：（1）線段AB1在圖中、實(shí)物中長度各為多少？∠AB1A1在圖中、實(shí)物中的度數(shù)各為多少？（2）在實(shí)物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD的度數(shù)是多少？（3)線段BC在圖中、實(shí)物中的長度各是多少？∠AD1A1、∠CB1C1在實(shí)物中的度數(shù)是多少?解:(1)平面AA1B1B處在鉛直狀態(tài)下，其內(nèi)部的圖形為真實(shí)圖形,由已知AA1＝A1B1＝2cm，AA1⊥A1B1，所以AB1＝eq\r（22＋22）＝2eq\r（2）（cm）．所以線段AB1在圖中，實(shí)物中的長度都是2eq\r（2)cm，∠AB1A1在圖中、實(shí)物中度數(shù)都是45°。(2)在實(shí)物中，∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.(3)線段BC在圖中、實(shí)物中的長度分別是1cm，2cm,∠AD1A1、∠CB1C1在實(shí)物中的度數(shù)都是45°。10.如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形,CD∥AB,CD＝BO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形,O為AB的中點(diǎn)，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積．解：法一：在梯形ABCD中,AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2）OD＝eq\f（1，2）,梯形的高D′E′＝eq\f(\r（2），4），于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f（1，2)×（1＋2）×eq\f（\r(2)，4)＝eq\f(3\r(2）,8）.法二:梯形ABCD的面積S＝eq\f(1，2)（DC＋AB）×OD＝eq\f(1，2）×（1＋2）×1＝eq\f（3,2）.所以梯形ABCD直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r（2),4)S＝eq\f（\r（2）,4）×eq\f(3，2）＝eq\f(3\r（2）,8）。［B能力提升]11．如圖所示的是水平放置的三角形ABC的直觀圖△A′B′C′，其中D′是A′C′的中點(diǎn)，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有（)A．0條 B．1條C．2條 D．3條解析：選C.先按照斜二測畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形,然后根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找出與線段BD長度相等的線段．把三角形A′B′C′還原后為直角三角形，則D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以AD＝DC＝BD.故選C.12.如圖所示,一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°、腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是(）A。eq\f（1,2）＋eq\f(\r(2),2） B．1＋eq\f（\r(2），2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2）解析：選D.因?yàn)锳′D′∥B′C′，所以AD∥BC.因?yàn)椤螦′B′C′＝45°，所以∠ABC＝90°.所以AB⊥BC.所以四邊形ABCD是直角梯形