【班海精品課件】北師大版（新）九年級(jí)下-2.5二次函數(shù)與一元二次方程 第二課時(shí)

5二次函數(shù)與一元二次方程第2課時(shí)一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入你能利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？如圖是函數(shù)y=x2+2x-10的圖象.由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在-5和-4之間，另一個(gè)在2和3之間.(1)先求-5和-4之間的根.利用計(jì)算器進(jìn)行探索：x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56班?！蠋熤腔劢虒W(xué)好幫手班海，老師們都在免費(fèi)用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班?！拷虒W(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動(dòng)精細(xì)批改（錯(cuò)在哪？為何錯(cuò)？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個(gè)班級(jí)可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無(wú)需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費(fèi)！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)情景導(dǎo)入因此，x=-4.3是方程的一個(gè)近似根.另一個(gè)根可以類似地求出：因此，x=2.3是方程的另一個(gè)近似根.

用一元二次方程的求根公式驗(yàn)證一下，看是否有相同的結(jié)果.x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56新課精講探索新知1知識(shí)點(diǎn)利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：(1)畫出二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象；(2)確定二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，看交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)在哪兩個(gè)整數(shù)之間；探索新知(3)列表，在兩個(gè)整數(shù)之間取值，并用計(jì)算器算出對(duì)應(yīng)的y值，當(dāng)x由x1變到x2，對(duì)應(yīng)的y值出現(xiàn)y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|(zhì)y2|時(shí)，x1，x2中必有一個(gè)是方程的近似根，再比較|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，則x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，則x2是方程的近似根．探索新知導(dǎo)引：當(dāng)

y＝－x2＋2x－3的函數(shù)值為－8時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫

坐標(biāo)即為一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如

圖所示．例1

利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根．探索新知解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)

y＝－x2＋2x－3的圖象，如圖，由圖

象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是拋物線y＝－x2＋2x－3與直

線y＝－8的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左邊的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)在－1與－2之

間，右邊的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)在3和4之間．

(1)先求在－1和－2之間的根，利用計(jì)算器進(jìn)行探索：

因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一個(gè)近似根．x－1.1－1.2－1.3－1.4－1.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25探索新知(2)另一根可以類似地求出：

因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一個(gè)近似根．x3.13.23.33.43.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25探索新知解：先把方程化成x2＝－2x＋3.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中

分別畫出函數(shù)

y＝x2和

y＝－2x＋3的圖象，得到它

們的交點(diǎn)為(－3，9)和(1，1)，

則方程x2＋2x－3＝0的解為x＝－3或x＝1.例2利用函數(shù)的圖象，求方程x2＋2x－3＝0的根．探索新知總

結(jié)利用圖象交點(diǎn)法求一元二次方程的根的步驟：(1)將ax2＋bx＋c＝0化為ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐標(biāo)系中畫出y＝ax2與y＝－bx－c的圖象；(3)觀察圖象：兩圖象的公共點(diǎn)情況即為方程的根的情況，如有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為ax2＋bx＋c＝0的根．典題精講

1二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為(

)A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3D典題精講2如圖是二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象，圖象上有兩點(diǎn)

分別為A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，則方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)解只可能是(

)

A．2.18

B．2.68

C．－0.51

D．2.55D典題精講下表是一組二次函數(shù)

y＝x2＋3x－5的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值：3那么方程x2＋3x－5＝0的一個(gè)近似根是(

)A．1

B．1.1

C．1.2

D．1.3x11.11.21.31.4y－1－0.490.040.591.16C探索新知2知識(shí)點(diǎn)利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式

根據(jù)圖象可直觀地回答使得y的值大于、等于或小于零時(shí)x的取值(范圍)，具體如下表所述：圖象函數(shù)值自變量的取值(范圍)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2探索新知例3

畫出拋物線y＝－x2＋4x＋5，觀察拋物線，回答下列問(wèn)題：(1)x為何值時(shí)，函數(shù)值y＞0？

(2)x為何值時(shí)，函數(shù)值y＝0？

(3)x為何值時(shí)，函數(shù)值y＜0？導(dǎo)引：根據(jù)拋物線的簡(jiǎn)易畫法，先確定頂點(diǎn)以及拋物線與x軸和y軸

的交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸上方；當(dāng)函

數(shù)值y＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)位于x軸上；當(dāng)函數(shù)值y＜0時(shí)，

對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸的下方．探索新知解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝

－(x－2)2＋9.∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(2，9)，對(duì)稱軸為直線x＝2.

令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－1.∴拋物線與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)，(5，0)．

令x＝0，則y＝5，即拋物線與y軸的

交點(diǎn)為(0，5)．由拋物線的對(duì)稱性知拋物線上的另一點(diǎn)為(4，5)．在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并連線得到如圖所示的圖

象．觀察圖象會(huì)發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)－1＜x＜5時(shí)，函數(shù)值y＞0；(2)當(dāng)x＝－1或x＝5時(shí)，函數(shù)值y＝0；(3)當(dāng)x＜－1或x＞5時(shí)，函數(shù)值y＜0探索新知總

結(jié)(1)作拋物線

y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五點(diǎn)法”，而這“五點(diǎn)”一般為拋物線頂點(diǎn)，與x軸的兩交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)及它關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．(2)根據(jù)二次函數(shù)值的取值范圍確定自變量的取值范圍，一般要畫出二次函數(shù)的圖象，觀察圖象解答，拋物線在x軸上方的部分，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0；拋物線在x軸下方的部分，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0；拋物線與x軸的公共點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等于0.探索新知例4拋物線

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝－1，與x軸的

一個(gè)交點(diǎn)A在(－3，0)和(－2，0)之間，其部分圖象如圖所示，

則下列結(jié)論：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；

④點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在拋物線上，若x1＜x2，則y1＜y2.

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4C探索新知導(dǎo)引：觀察圖象可知二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<0，故①正確；因?yàn)閽佄锞€的對(duì)

稱軸為直線x＝－1，所以－

＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正

確；由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)位于(0，

0)和(1，0)之間，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正確；

由于二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性不一樣，當(dāng)x1<x2<－1時(shí)，y1<y2；

當(dāng)－1<x1<x2時(shí)，y1>y2；當(dāng)x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)時(shí)，y1

＝y(tǒng)2，所以④錯(cuò)誤．所以此題正確的結(jié)論有3個(gè)．故選C.典題精講如圖，直線

y＝mx＋n與拋物線

y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_______________．1x＜－1或x＞4典題精講如圖，已知頂點(diǎn)為(－3，－6)的拋物線

y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－4)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．b2＞4acB．a(chǎn)x2＋bx＋c≥－6C．若點(diǎn)(－2，m)，(－5，n)

在拋物線上，則m＞nD．關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的兩根為－5和－12C易錯(cuò)提醒用圖象法求x2－x＋

＝0的解．易錯(cuò)點(diǎn)：不考慮方程根的情況盲目作圖象而致錯(cuò)畫出拋物線y＝x2－x＋(如圖)．由圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為(，0)，所以原方程的解為x1＝x2＝解：學(xué)以致用小試牛刀已知一次函數(shù)y1＝4x，二次函數(shù)

y2＝2x2＋2，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1與y2，則下列關(guān)系正確的是(

)A．y1＞y2

B．y1≥y2

C．y1＜y2

D．y1≤y21D小試牛刀小明在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，針對(duì)“求一元二次方程的解”總結(jié)了以下幾種方法，請(qǐng)你將有關(guān)內(nèi)容補(bǔ)充完整．例題：求一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)解．(1)解法一：選擇一種合適的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．2小試牛刀(1)公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.∴

即x1＝

x2＝

.解：小試牛刀(2)解法二：利用二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)求解．如圖①，把方

程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)

y＝___________的圖象與x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，

則x1，x2就是方程的解．x2－x－1小試牛刀(3)解法三：利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．①把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)y＝________的圖象與直線

y＝_______的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②在圖②中畫出這兩個(gè)函數(shù)

的圖象，用x1，x2在x軸上

標(biāo)出方程的解．x2－x1②略．解：小試牛刀3二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：(1)寫出方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根；(2)寫出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.小試牛刀(1)x1＝1，x2＝3.(2)1＜x＜3.

(3)x＞2.(4)∵方程ax2＋bx＋c＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝k有兩個(gè)交點(diǎn)．∴k＜2.解：小試牛刀根據(jù)下列要求，解答相關(guān)問(wèn)題．

(1)請(qǐng)補(bǔ)全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的過(guò)程．①構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)y＝－2x2－4x，并在下面的坐標(biāo)系中(如圖①)畫出二次函數(shù)y＝－2x2－4x的圖象(只畫出圖象即可)；②求得界點(diǎn)，標(biāo)示所需：當(dāng)y＝0時(shí)，求得方程－2x2－4x＝0的解為_(kāi)________________，并用鋸齒線標(biāo)示出函數(shù)y＝－2x2－4x的圖象中y≥0的部分；x1＝0，x2＝－2小試牛刀③借助圖象，寫出解集：由所標(biāo)示圖象，可得不等式－2x2－4x≥0的解集為_(kāi)_________________．(2)利用(1)中求不等式解集的步驟，求不等式x2－2x＋1＜4的解集．①構(gòu)造函數(shù)，在圖②中畫出圖象；②求得界點(diǎn)，標(biāo)示所需；③借助圖象，寫出解集．－2≤x≤0小試牛刀(3)參照以上兩個(gè)求不等式解集的過(guò)程，借助一元二次方程的求根公式，直接寫出關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．小試牛刀(1)①圖略．②圖略．(2)①構(gòu)造二次函數(shù)y＝x2－2x＋1，并畫出圖象(圖略)．②當(dāng)y＝4時(shí)，求得方程x2－2x＋1＝4的解為x1＝3，x2＝－1；圖略．③借助圖象，直接寫出不等式x2－2x＋1＜4的解集為－1＜x＜3.(3)①當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，解集為x＞②當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，解集為③當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)．解：小試牛刀5已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的兩根．(1)若拋物線的頂點(diǎn)為D，求S△ABC

∶S△ACD；(2)若∠ADC＝90°，求二次函數(shù)的表達(dá)式．小試牛刀(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1.∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－5，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．則拋物線為y＝a(x＋5)(x－1)＝ax2＋4ax－5a，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－9a)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－5a)．依題意畫出圖形，如圖所示，則OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，過(guò)點(diǎn)D