向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣

(完整版)向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣一、奔馳定理及證明圖11,P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PAS PBS PCS 0奔馳定理BPC APC APBPB'PC'0為B'C'重心xPAPAyPBPBzPCPC'xPAyPBzPC0 （1)1 1|PB'||PC'

S xSS |PB||PC|sinBPC sinB'PC' PB'C' PB'C'PBC 2 2 y z yz xyz

PA'C'，

zS

PA'B'PAC

xyz

PAB

xyz又SPB'C'

SPA'C'

SPA'B'x:y:z

:PBC

:PAC

PBC式可化為PAS PBS PCS 0 奔馳定理得證BPC APC APB最簡單的一個(gè)就是面積法.用三角形面積公式帶入,約去三條線段長度之積，得到三個(gè)單位1(完整版)向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣向量的關(guān)系,將它們放入單位圓中.圖22，已知在圓上APBPCP所對(duì)的角分別為，，則APsinBPsinCPsin0 真·這時(shí)的圖形就真的很想奔馳車標(biāo)了，所以我稱它【真·奔馳定理】。奔馳車標(biāo)接下來，我們要證明的就是這個(gè)了。就可以輕松證明了。于是整個(gè)定理就得到了證明。二、奔馳定理在向量中應(yīng)用2(完整版)向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣例1、若ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且4OB0，則該ABC的面積為 。答案：56答案解析：由奔馳定理得:設(shè)S 4x，S 5xOBC OAC OAB例2【2016年清華領(lǐng)軍若O為內(nèi)一點(diǎn)，滿足S :S :S 4:3:設(shè)AOABAC則+=AOB BOC COA答案：23例3、為內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足｜PB|=2，|PA|=2,APB，且2AP3PB4PC0，則ABC 的6面積為（ ）、 、 9 4 A B 1 、 、 8 3 5答案:98三、奔馳定理推廣推廣1、如果P不在三角形內(nèi)呢？3(完整版)向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣既然有向量，那么我們可以給面積也定義方向,當(dāng)然有向面積為正，外部為負(fù)。因?yàn)槲覜]有想出合適的符號(hào)，所以用了向量的符號(hào)。在三角函數(shù)定義時(shí),三角函數(shù)線是有向線段,x圖3如圖3，已知P為平面內(nèi)一點(diǎn)，則PAS PBS PCS 0 EX·奔馳定理BPC APC APB這個(gè)是對(duì)奔馳定理的推廣，我稱它為【EX·奔馳定理】那么最后我們對(duì)它做進(jìn)一步推廣,大家可以來思考一下。推廣2、【EX