1994考研數(shù)四真題及解析

鹵蹬言教盲KLIAKAOEDUCATION1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分?)j2^^^dx=—22+x2已知「(、)=—1,則lim——=_xT0f(x一2x)一f(x-x)

00設(shè)方程exy+y2=cosx確定y為x的函數(shù)，則華=dx(4)0a10(4)0a10...000a...02????????????000…aa00...0n—1n,其中Qj壬0,i=1,2,…,n，則A-1假設(shè)一批產(chǎn)品中一、品,則取到的是一等品的概率為一二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分?)二假設(shè)一批產(chǎn)品中一、品,則取到的是一等品的概率為一二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分?)1x2+x+1曲線y=e2arctan~—~—的漸近線有(x+1)(x—2)(A)1條(C)3條(B)2條設(shè)函數(shù)f((A)1條(C)3條(B)2條設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,則方程(D)4條在開(kāi)區(qū)間(a,幻內(nèi)的根有jxf(tt)dt+fdt=0abf(t)(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)設(shè)A、B都是n階非零矩陣，且AB=0,則A和B的秩(A)必有一個(gè)等于零(B)都小于n(C)一個(gè)小于n，一個(gè)等于n(D)都等于n(D)無(wú)窮多個(gè)((4)設(shè)有向量組a1=(1,—1,2,4),a2=(0,3,1,2),氣=(3,0,7,14),=(1,—2,2,0),a5=(2』,5,10),則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是(A)%%氣(C)a,a,a(d)a,a,a,a1251245(5)設(shè)0vP(A)v1,0vP(B)v1,P(AIB)+P(AIB)=1,］則()(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B相互對(duì)立(C)事件A和B互不獨(dú)立(D)事件A和B相互獨(dú)立三、(本題滿分5分)求極限lim［尤-x2ln(1+L)］.TOC\o"1-5"\h\zxsx四、(本題滿分5分).xd2f已知f(x,y)=X2arctan--y2arctan,求^^.xyoxoy五、(本題滿分6分)sinx已知是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求jx3f(x)dx.x六、(本題滿分8分)某養(yǎng)殖場(chǎng)養(yǎng)兩種魚(yú),若甲種魚(yú)放養(yǎng)x(萬(wàn)尾)，乙種魚(yú)放養(yǎng)y(萬(wàn)尾)，收獲時(shí)兩種魚(yú)的收獲量分別為(3-以x—Py)x和(4—Px—2ay)y(a>P>0),求使產(chǎn)魚(yú)總量最大的放養(yǎng)數(shù).七、(本題滿分8分)已知曲線y=aR(a>0)與曲線y=lnJ7在點(diǎn)(x°,y0)處有公共切線，求：常數(shù)a及切點(diǎn)(x0,y0)；兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S.八、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)f(x)有導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,F(x)=jxtn—1f(xn—tn)dt.證明：0limF^x)=—f(0).xr0x2n2n九、(本題滿分8分)設(shè)a,a,a是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證明a+a,a+a,a+a123122331也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分8分)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求X和y應(yīng)滿足的條件.十一、（本題滿分7分）假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為[2X,0<X<1,

f（X）=[0,其他.現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，以匕表示觀測(cè)值不大于0.1的次數(shù).試求隨機(jī)變量匕的概率分布.十二、（本題滿分8分）假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（r,1），內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品,銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤(rùn)T（單位:元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：'-1,Xv10,T=120,10<X<12,-5,X>12.問(wèn)平均內(nèi)徑r取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.)(1)【答案】ln3【解析】利用被積函數(shù)的奇偶性，當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí),積分為0,當(dāng)被積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分.所以有原式=J2—-_dx+2)2———dx=2J2―-—dx

一22+x202+x202+x2=j2—-—dx202+x2=ln(2+x2)|2=ln6-ln2=ln3.0(2)【答案】1【解析】由此題極限的形式可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義的形式從而求得極限值.由于f(x—2x)—f(x—x)lim00TOC\o"1-5"\h\zx—0xf(x—2x)—f(x)—f(x—x)+f(x)=lim0000—x—0xf(x―2x)—f(x)f(x—x)—f(x)=(—2)lim0+lim00-x—0一2xx—0一x1「所以原式=lim=_=1x—0f(x-2x)-f(x-x)100f(x+Ax)一f(x)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的定義：f(x)=lim——，八0’Ax0人八Ax—0,yexy+sinx⑶【答案】yJ今Ax【解析】將方程exy+y2=cosx看成關(guān)于x的恒等式，即y看作x的函數(shù).兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得exy(y+xyr)+2yy'=-sinxnyr=-興*"+s「nx.

xexy+2y【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】?jī)珊瘮?shù)乘積的求導(dǎo)公式：[f(x)-g(x)I=f(x)-g(x)+f(x)-g'(x).回信窖教肓KLIAKAOEDUCATION(4)【答案】00...010...0a110...0a21an000an(4)【答案】00...010...0a110...0a21an000an-1【解析】由分塊矩陣求逆的運(yùn)算性質(zhì)，有公式A]-100A-1B-101a1-1aa且2?.an所以,本題對(duì)A分塊后可得A-1=、2(5)【答案】-1二a2an00...0—an40...00a10X...00a2????????????00上0an-1【解析】設(shè)事件A=“取到的是第i等品”，i=1,2,3，則由題意有iP{A}=0.6,1應(yīng)用條件概率公式得P{A2}=0.3,P{A3}=0.1.P(A1|A3)=0.62疝=3P(AA3)=P(塵

PP(A1|A3)=0.62疝=3二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.)⑴【答案】(B)【解析】本題是關(guān)于求漸近線的問(wèn)題.由于1X2+X+1兀lim6x2arctan=—X”(X+1)(x-2)4故y=^為該曲線的一條水平漸近線.4-1X2+X+1又lim6x2arctan=3.x^(X+1)(x-2)故x=0為該曲線的一條垂直漸近線，所以該曲線的漸近線有兩條.故本題應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】水平漸近線：若有l(wèi)imf(x)=a，則y=a為水平漸近線；x，3鉛直漸近線：若有l(wèi)imf(x)=3，則x=a為鉛直漸近線；x^a斜漸近線：若有a=limf(X),b=lim[f(x)—ax]存在且不為3，則y=ax+b為斜漸X—3XX—3近線.⑵【答案】(B)【解析】方法1：令F(x)="f(t)dt+fx-^dt,xe[a,b],abf(t)則F'(x)=f(x)+-^>0.故F(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)是單調(diào)遞增的.f(x)又F(a)=Ja—dt=—fb—dt<0,F(b)=jbf(t)dt>0.7bf(t)af(t)a由介值定理知F(x)=0在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)根.應(yīng)選(B).方法2：排除法.由題設(shè)條件，可令f(x)=1,此時(shí)方程fxf(t)dt+fx』dt=0變?yōu)閍bf(t)(x—a)+(x—b)=0,即2x—(a+b)=0.該方程在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根一-—，則(A)、(C)、(D)均不正確.故本題應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若F")=』'(')f(x)dx,以(t),P(t)均一階可導(dǎo)，則F火)=P，(t)-f[P(t)]-"(t)-f[a(t)].⑶【答案】(B)囪跨費(fèi)盲KUAKAOEDUCATION【解析】本題主要考查矩陣秩的概念和性質(zhì)，還涉及到矩陣運(yùn)算、可逆，齊次方程組解的概念與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).在中學(xué)的代數(shù)里，若ab=0,我們知道至少有一個(gè)數(shù)為0,而作為矩陣運(yùn)算AB=0就不能說(shuō)其中至少有一個(gè)矩陣是零矩陣，這種差異要搞清楚.例如2］「2］「2，|_—1-21二0.即由AB=0不能得出A=0或B=0,那么再按矩陣秩的定義就知(A)錯(cuò)誤.又r(A)=noA|。0oA可逆.因此對(duì)于AB=0,若其中有一個(gè)矩陣的秩為n，例如設(shè)r(A)=n，則有B=A-iAB=A-10=0.與已知B豐0相矛盾.從而可排除(C)、(D).對(duì)AB=0,把矩陣B與零矩陣均按列分塊AB=A(P,P,???,&)=(A0,A0，…,A0)=(0,0,???,0),

12n12n于是Ap=0(i=1,2,?..,n)，即。是齊次方程組Ax=0的解.ii因此，AB=0,B豐0表明Ax=0有非零解，從而r(A)<n.可以繼續(xù)用非零解的觀點(diǎn)來(lái)處理秩r(B),方法如下：BtAt=(AB)t=0t=0,從AT非零，知r(Bt)<n，故r(B)<n.當(dāng)然，本題最簡(jiǎn)單的方法是用命題:若A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，AB=0,則r(A)+r(B)<n.再由A,B均非零，按秩得定義有r(A)>1,r(B)>1,也就不難看出應(yīng)選(B).(4)【答案】(B)【解析】這是一道常規(guī)題，按一般方法求解即可.「1—124一「1—124一「1—124一03120312031230714r0312r00001—2200—10—40—10-421510__0312_0000_a1a2—3a—a12a3a—a41a—2a—a2134現(xiàn)在已經(jīng)可以看出秩為3,極大線性無(wú)關(guān)組是a1,a2,a4.方法一：對(duì)(aa1a2—3a—a12a3a—a41a—2a—a2134現(xiàn)在已經(jīng)可以看出秩為3,極大線性無(wú)關(guān)組是a1,a2,a4._10312-一10312-一10312-一10312--130—21T033—13T01101T011012172501101033—13000104214010022—42022—4200000每行第1個(gè)非0數(shù)在第1,2,4列，故氣,a2,a4是極大線性無(wú)關(guān)組.故此題應(yīng)選(B).⑸【答案】(D)【解析】事實(shí)上，當(dāng)0VP(B)V1時(shí)，P(AIB)=P(AIB)是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件，證明如下：P(AB)_P(AB)P(B)一1-P(B)若PP(AB)_P(AB)P(B)一1-P(B)P(AB)—P(B)P(AB)=P(B)P(AB),P(AB)=P(B)?[P(AB)+P(AB)]=P(B)P(A),由獨(dú)立的定義，即得A與B相互獨(dú)立.若A與B相互獨(dú)立,直接應(yīng)用乘法公式可以證明P(AIB)=P(AIB).P(AIB)=1-P(AIB)=P(AIB).由于事件B的發(fā)生與否不影響事件A發(fā)生的概率，直觀上可以判斷A和B相互獨(dú)立.所以本題選(D).三、(本題滿分5分)【解析】根據(jù)本題極限式的特點(diǎn)，用換元法，令-=t,%*換為t—0，則XTOC\o"1-5"\h\z11[/i、i?t—ln(1+1)

原式=lim———ln(1+1)=lim,t項(xiàng)l_t12」t頊t2_?0現(xiàn)在已化為“0”型的極限未定式，又分子分母在點(diǎn)0處導(dǎo)數(shù)都存在，運(yùn)用洛必達(dá)法則，有1—11原式=lim——1+t=lim=—t項(xiàng)2tt?2(1+t)2四、(本題滿分5分)【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,首先求竺，由題設(shè)可得OXdfyx2=2xarctan+dxx1+(y「2Vx2J1+(x)Vx)VyJy3(y)y2yx2y=2xarctan——y=2xarctan——y.xx2+y2x2+y2x再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)即得徹fdxdy1+_!-1_2x^-12xx2+y2x2+y2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)u=中(x,y),v=w3,y)都在點(diǎn)3,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(里(x,y),w(x,y))在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有dz=dzdu+dzdv=,du+,dvdxdudxdvdx1dx2dx'冬尹蘭+冬空=f@+f竺

dydudydvdy1dy2dy五、(本題滿分6分)sinx【解析】由于是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)=xxcosx一sinx—x^'利用不定積分的分部積分法求解本題.jx3f'(x)dx=jx3df(x)=x3f(x)一3』x2f(x)dx一…J-x3f(x)一3Jx2d(sinx'=x3f(x)—3L2.也—2jsinxdx~VxJxxcosx-sinx°〃八=x3一3xsinx一6cosx+C=x2cosx一4xsinx一6cosx+C,其中C為任意常數(shù).注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰(shuí)先進(jìn)入積分號(hào)的問(wèn)題，如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計(jì)算，最后甚至算不出結(jié)果來(lái).在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分部求導(dǎo)公式：假定u=u(x)與v=v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則juvdx=uv-ju'vdx,或者judv=uv-jvdu.六、(本題滿分8分)【解析】設(shè)產(chǎn)魚(yú)總量為z，則產(chǎn)魚(yú)總量的函數(shù)為z=(3-ax-0y)x+(4-0x-2ay)y=3x+4y-ax2-2ay2-20xy.由二元函數(shù)求極值的方法，為求駐點(diǎn)，令8z—=3-2以x一20y=。,ex?竺=4-20x-4ay=0.?由于a>p>0,知其系數(shù)行列式A=4(2a2-02)>0.故方程組有惟一解，即3a-204a-30x=,y=02a2-0202(2a2-02)容易驗(yàn)證x0>0,y0>0，且z(x,y)=(3-ax-0y)x+(4-0x—2以y)y=寸+2yTOC\o"1-5"\h\z0000000020因?yàn)槭菍?shí)際問(wèn)題，又由于駐點(diǎn)惟一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大值，故x0和y0分別為所求甲和乙兩種魚(yú)的放養(yǎng)數(shù).七、(本題滿分8分)【解析】利用(x,y)在兩條曲線上及兩曲線在(x,y)處切線斜率相等列出三個(gè)方程,由此,0000可求出ax0,y0,然后再求平面圖形的面積S.⑴過(guò)曲線上已知點(diǎn)(x,y)的切線方程為y—y=k(x—x)，其中，當(dāng)y'(x)存在時(shí),00000k=y'(x0).1，得x0=云.avx知y'=2.—.由y=Intx知y'=2—由于兩曲線在(x0,y0)處有公共切線,可見(jiàn)~=v0將x0=土分別代入兩曲線方程,有y0=氣-=%土ny01，得x0=云.區(qū)/瞧教育jFSjJKLIAKAOEDUCATION于是從而切點(diǎn)為(e2,1).⑵兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S為S=j1(e2y-e2y2)dy0八、(本題滿分7分)【解析】應(yīng)用換元法，令Xln=U，則F(x)=jxtn-1f(xn-tn)dt=Lj"f(u)du^Fr(x)=xn-1f(xn).0n0由于lim嘗為“0”型的極限未定式，又分子分母在點(diǎn)0處導(dǎo)數(shù)都存在，運(yùn)用洛必達(dá)xr0x2n0法則，得F(x)F'(x)xn-1f(xn)li^——=lim——=lim———~-了項(xiàng)x2nx^02nx2n-1了項(xiàng)2nx2n-1=￡mfx2=_1limf(xn)-f(0)2nx—0xn2nxt0xn-0由導(dǎo)數(shù)的定義有原式=-1f'(0).2n【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若F(t)=j&f(x)dx,以(t),P(t)均一階可導(dǎo)，則F'(t)=P")-f[P(t)]-"(t)-f[a(t)].九、(本題滿分8分)【解析】由A(a1+a2)=A%+Aa2=0+0=0,知?dú)?a2是Ax=0的解.同理知a2+a3,a3+%也都是Ax=0的解.若k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0,即TOC\o"1-5"\h\z112223331(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0.311122233由于a,a,a是基礎(chǔ)解系，知a,a,a線性無(wú)關(guān).故知1231230,<k+k=0,

k+k=0.V23101因?yàn)橄禂?shù)行列式110=2豐0,011所以方程組只有零解k=k=k=0.從而a+a,a+a,a+a線性無(wú)關(guān).123122331由已知，Ax=0的基礎(chǔ)解系含三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，所以a+a,a+a,a+a也122331是Ax=0的基礎(chǔ)解系.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.解的結(jié)構(gòu):若n1,n2是Ax=b對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解形式為k1n1+叩2+&,其中&是Ax=b的一個(gè)特解.2.解的性質(zhì)：如果nE是Ax=0的兩個(gè)解，則其線性組合kn+kn仍是Ax=0的TOC\o"1-5"\h\z121122解；如果&是Ax=b的一個(gè)解,n是Ax=0的一個(gè)解，則&+n仍是Ax=b的解.十、(本題滿分8分)【解析】由A的特征方程，按照第二列展開(kāi)，有人0-1、?,."人一1°°|XE-A|=-xX-1-y=(X-1)=(X-1)2(X+1)=0,c-1X-10X得到A的特征值為X1=X2=1,X3=-1.由題設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此，X=1必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而r(E-A)=1.這樣才能保證方程組(E-A)X=0