2022-2023學(xué)年山西省太原市第五十六中學(xué)校高二年級上冊學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省太原市第五十六中學(xué)校高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知ACD中的向量共面，不能作為空間的一組基底；假設(shè)B中向量共面，可得，由此可構(gòu)造方程組，由方程組無解可知B中向量不共面，可作為空間一組基底.【詳解】對于A，，共面，不能作為空間的一組基底，A錯誤；對于B，假設(shè)共面，則存在，使得，，方程組無解，假設(shè)錯誤，即不共面，可以作為空間的一組基底，B正確；對于C，，共面，不能作為空間的一組基底，C錯誤；對于D，，共面，不能作為空間的一組基底，D錯誤.故選：B.2．如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，D【分析】利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點(diǎn)公式即可得出．【詳解】、分別是對邊、的中點(diǎn)，，．，因此，．故選：D3．已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．與相交但不垂直C【分析】由，知，從而確定l與的位置關(guān)系.【詳解】因為，所以，所以l與的位置關(guān)系是或，故選：C.4．已知向量，，，若共面，則等于（

）A． B．1 C．1或 D．1或0A【分析】根據(jù)向量共面可得，進(jìn)而可得，即得答案.【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)，使，所以，∴，解得.故選：A.5．已知直線與平行，則實數(shù)的值為（

）A． B．2C．或2 D．以上答案均不對A【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可.【詳解】直線與平行，，解得，故選：A6．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B．C． D．C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以，，,所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.7．已知空間三點(diǎn)，則以為鄰邊的平行四邊形面積為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)平行四邊形的特征，求出三角形ABC的面積即可得出答案.【詳解】解：，在中，，則，，所以，所以平行四邊形ABCD的面積.故選：C.8．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A． B． C． D．D【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.9．已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B． C． D．D【分析】利用空間中四點(diǎn)共面定理求解即可.【詳解】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，解得.故選：D10．已知點(diǎn)、、，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上都不對C過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率k≥kBC或，進(jìn)而求解即可【詳解】如圖所示：∵過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kBC或，∴直線l的斜率或，∴直線l斜率k的取值范圍：，故選：C．本題考查直線斜率的運(yùn)用，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題11．已知向量，，，下列等式中正確的是（

）①.

②.③.

④.A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④C【分析】根據(jù)數(shù)量積定義判斷①，結(jié)合已知條件得，然后由數(shù)量積的運(yùn)算律判斷②③，把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算判斷④．【詳解】因為，，，，從而，①式左邊中向量，右邊是實數(shù)，顯然不相等，錯誤；②，正確，③，正確；④由③知，同樣，所以，即，正確．正確的有②③④，故選：C．12．已知、、分別是正方形邊、及對角線的中點(diǎn)，將三角形沿著進(jìn)行翻折構(gòu)成三棱錐，則在翻折過程中，直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．A【分析】設(shè)，，直線與平面所成的角為，，以為一組基底，利用空間向量法求解.【詳解】如圖所示：設(shè)正方形的邊長為2，則,,設(shè)，，直線與平面所成的角為，，以為一組基底，則，所以，則，所以,所以，所以，故選：A二、填空題13．若的方向向量為,平面的法向量為,且,則__________.4【分析】由，則的方向向量與平面的法向量平行，可得答案.【詳解】由,則則的方向向量與平面的法向量平行所以，從而故414．平面α的法向量是，點(diǎn)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)到平面α的距離為___________.##【分析】直線與平面所成的角為，根據(jù)點(diǎn)到平面α的距離為即可得解.【詳解】解：設(shè)直線與平面所成的角為，，則點(diǎn)到平面α的距離為.故答案為.15．直線過點(diǎn)，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線的方程為_________．【分析】由正切的二倍角公式求得直線的斜率，然后由點(diǎn)斜式得直線方程．【詳解】設(shè)直線的傾斜角是，則，，所以所求直線方程為，即．故．16．在中，，，.若向量與平面ABC垂直，且，則的坐標(biāo)為___________.（－2，4，1），（2，－4，－1）【分析】設(shè)，由及列方程組求解．【詳解】設(shè)，由題意，則，解得或，所以或．故或．三、解答題17．如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，表示；（2）求的長.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算用基底表示向量即可；（2）計算，展開，利用向量的數(shù)量積公式計算可求出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)向量的三角形法則得到.（2）∵，∴，即的長為.18．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實數(shù)k的值；(3)若，求實數(shù)k的值.(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量夾角公式即得；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，，然后根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系即得；（3）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即得.【詳解】（1）由已知可得，，所以；（2）因為，，又，存在實數(shù)m使得，，，，解得；（3）因為，所以，即，解得.19．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(8，－6)，B(2，2).(1)求AB的中垂線方程；(2)求過點(diǎn)P(2，－3)且與直線AB平行的直線l的方程；(3)一束光線從B點(diǎn)射向（2）中的直線l，若反射光線過點(diǎn)A，求反射光線所在直線的方程.(1).(2).(3).【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩直線垂直其斜率間的關(guān)系求得AB的中垂線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求得答案；（2）根據(jù)平行得出斜率，從而由點(diǎn)斜式求出直線方程；（3）求得點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)，然后求出斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】（1）解：因為，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又所以AB的中垂線的斜率為，故AB的中垂線的方程為，即；（2）解：由（1）得所以直線l的方程為，即4x+3y+1=0；（3）解：設(shè)B（2，2）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'（m，n），∴，解得，∴；由點(diǎn)斜式可得反射光線所在直線的方程為，整理得11x+27y+74=0.20．在四棱錐中，底面為梯形﹐，平面.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)利用線面垂直，得到面面垂直.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法，即可求解【詳解】解：由題意知所以平面又知平面所以平面又因為平面所以平面平面由題可知，由知兩兩互相垂直，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.則.設(shè)平面的法向量為，則即，令則，所以所以直線與平面所成角的正弦值為.21．如圖，在棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，且.(1)設(shè)M是線段上一點(diǎn)，且.試問：是否存在點(diǎn)M，使得直線平面MNC？若存在，請證明平面MNC，并求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求二面角的余弦值.(1)存在，(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)P，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，由線面平行的判定定理證明線面平行，由平行線的性質(zhì)得比值；（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．【詳解】（1）取的中點(diǎn)P，因為，所以.所以共面，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求.證明：連接PN，因為N是AD的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，所以，又平面MNC，