2022-2023學(xué)年河南省許平汝名校高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省許平汝名校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，則（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：C.2．直線的傾斜角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°D【分析】求出直線方程的斜率，設(shè)出傾斜角，列出方程，求出傾斜角.【詳解】直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，因為，所以.故選：D3．若橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為6，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6B【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由橢圓，得，則．因為點(diǎn)P到橢圓一焦點(diǎn)的距離為6，所以由橢圓定義得點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)到距離為.故選：B．4．已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．D【分析】先求圓心關(guān)于直線直線的對稱點(diǎn)，再確定圓的半徑，由此可求圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，設(shè)圓心關(guān)于直線直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)為，且.于是，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑與圓的半徑相等，故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為．故選：D.5．若實數(shù)k滿足，則曲線與曲線（

）A．焦距相等 B．實軸長相等 C．虛軸長相等 D．離心率相等A【分析】根據(jù)實數(shù)的取值范圍，判斷兩個曲線的類型及焦點(diǎn)位置，然后對四個選項逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，選項A：曲線與曲線的焦距分別為：，，所以兩曲線的焦距相等，故A正確；選項B：曲線與曲線的實軸長分別為：，所以兩曲線的實軸長不相等，故B錯誤；選項C：曲線與曲線的虛軸長分別為：，所以兩曲線的虛軸長不相等，故C錯誤；選項D：曲線與曲線的離心率分別為：，所以兩曲線的離心率不相等，故D錯誤；故選：A.6．直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)b的取值范圍為（

）A． B．C． D．D【分析】曲線是一個半圓，畫出草圖，結(jié)合圖像分類討論即可.【詳解】，，曲線是一個半圓，如圖所示：當(dāng)直線與曲線相切時，可得，解得，由圖可知，此時滿足直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，當(dāng)直線在兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，，，綜上所述，或．故選：D7．已知四面體的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．D【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義求.【詳解】因為E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，所以，，因為，，，所以．故選：D.8．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍求其最值即可.【詳解】因為點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴，∴，因為，對稱軸為，故當(dāng)時取得最大值．故選：A.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值是B．直線必過定點(diǎn)C．直線在y軸上的截距為D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為BC【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系列方程求，判斷選項A；將直線方程化為點(diǎn)斜式即可判斷選項B；根據(jù)截距的定義判斷選項C，根據(jù)條件求出滿足要求的直線方程，判斷選項D.【詳解】解：對A：因為直線與直線垂直，則，解得或，A不正確；對B：直線可變?yōu)椋虼酥本€必過定點(diǎn)，即B正確；對C：由直線方程取，得，所以直線在y軸上的截距為，所以C正確．對D：經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：BC．10．設(shè)圓，點(diǎn)，若圓O上存在兩點(diǎn)到A的距離為2，則r可能取值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12ABC【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為圓心，2為半徑的圓與圓相交問題，再根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求解即可得答案【詳解】根據(jù)題意設(shè)以為圓心，2為半徑的圓為圓，由圓可得圓心為，半徑為r，則兩圓圓心距為：，因為圓O上存在兩點(diǎn)到的距離為2，所以圓O與圓相交，所以，解得：，又，所以r的可能取值為9，10，11，故選：ABC11．已知平面過點(diǎn)，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．CD【分析】根據(jù)平面的法向量與平面內(nèi)的向量的數(shù)量積關(guān)系逐項檢驗即可.【詳解】A．，，，S在平面內(nèi)；B．，，，Q在平面內(nèi)；C．，，，R不在平面內(nèi)；D．，，，T不在平面內(nèi)；故選：CD．12．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點(diǎn)M、點(diǎn)P，且，下列判斷正確的是（

）A． B．E的離心率等于C．的內(nèi)切圓半徑是 D．雙曲線漸近線的方程為AB【分析】由幾何關(guān)系得軸，再由離心率，漸近線的概念對選項逐一判斷，【詳解】因為M，O分別是，的中點(diǎn)，所以在中，，所以軸，對于A，因為直線的傾斜角為，所以，故A正確，對于B，中，，，，所以，得：，故B正確，對于C，的周長為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)三角形的等面積法，有，得：，故C錯誤，對于D，，雙曲線漸近線的方程為，故D錯誤，故選：AB三、填空題13．正方體中，M、N分別是、的中點(diǎn)，則直線與MN所成角的余弦值為______．0【分析】設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線與MN的方向向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角余弦值，即可得到答案．【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)棱長為2，則，，，，，∴，即，異面直線與MN所成的角的余弦值為0．故0.14．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長為______．【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長為圓的直徑，求出公共弦長.【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故答案為.15．已知橢圓的離心率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線與直線l的交點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為______．0.5【分析】由橢圓的離心率為可得，再利用點(diǎn)差法求直線l的斜率.【詳解】由題意可得，整理可得．設(shè)，，則，，兩式相減可得．因為直線與直線l的交點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)，所以，則直線l的斜率．故答案為.四、雙空題16．已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓上的任一點(diǎn)，則______；若軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點(diǎn)為P，的余弦值為______．

0【分析】設(shè)出，，，表達(dá)出，結(jié)合點(diǎn)M，A在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡后求出；表達(dá)出，結(jié)合，化簡得到，求出，得到余弦值.【詳解】設(shè)，，則，，因為點(diǎn)M，A在橢圓上，，，兩式相減得，，故．由題意得，，因為，，而，因為為橢圓上一點(diǎn)，所以，則，得，故，則，，故余弦值為0．故，0五、解答題17．已知的頂點(diǎn)，，．求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)的面積．(1)；(2).【分析】（1）先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；（2）先利用公式求點(diǎn)到直線的距離和，再利用三角形面積公式求的面積．.【詳解】（1）因為，，所以，所以AB邊所在直線的方程為：，即（2）因為，，所以，由(1)直線AB的方程為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)C到直線AB的距離，所以的面積為.18．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)，求的面積．(1)(2)【分析】(1)由條件列方程求，由此可得橢圓方程；(2)根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列等式，化簡可求，再由三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）由知，，因為軸時，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，因為點(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，又，所以，所以，所以，所以的面積為.19．已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)判斷直線與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長．(1)(2)相交，【分析】（1）根據(jù)圓的弦中點(diǎn)與圓心連線與弦垂直，可寫出過線段AB的垂直平分線方程，與聯(lián)立即可求出圓心坐標(biāo)；再根據(jù)圓心到圓上一點(diǎn)的距離既是半徑求出圓的半徑；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)直線與圓相交的條件判斷即可，再利用弦長公式即可算出弦長.【詳解】（1），，所以，線段AB的中點(diǎn)為所以線段AB的垂直平分線方程為，有因為圓心C在直線上，聯(lián)立解得，，所以圓心坐標(biāo)，又半徑為，∴圓C的方程為：（2）由（1）知：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，半徑；點(diǎn)到直線的距離，故直線l與圓C相交，故直線l被圓C截得的弦長為20．如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)P，Q，R分別在AB，，上，且，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)證明：平面．(1)(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面的法向量和直線的方向向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角余弦由此可得直線與平面所成角的正弦值；（2）根據(jù)空間向量共面定理即可證明問題.【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，設(shè)平面PQR的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面成的角為，（2）假設(shè)存在使得，又，則，即，所以，故存在，使得，∴平面.21．如圖，在正三棱柱中，，D為AB上一點(diǎn)．(1)確定D的位置使平面；(2)對于（1）中D的位置，求平面與平面夾角的余弦值．(1)證明見解析(2)【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)并求出直線的方向向量和平面的法向量，由條件平面列方程求，由此確定D的位置；(2)求平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式可求平面與平面的法向量的夾角的余弦值，由此可得結(jié)論．【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)過A且垂直AC的直線為x軸，AC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，設(shè)，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴因為平面，所以，即，解得，所以D為AB的中點(diǎn)時滿足平面．（2）因為平面的法向量為，平面的法向量為，所以，∴平面與平面夾角的余弦值為．22．已知橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，、的延長線分別交于點(diǎn)、，設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．(1)(2)【分析】（1）求出雙曲線的頂點(diǎn)和漸近線，從而求出，，得到，求出橢圓方程；（2）設(shè)，，，得到直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立后得到，同理求出當(dāng)時，，根據(jù)、的面積表達(dá)出，利用基本不等式求出，的最大值，再考慮軸時，，從而得到答案.【詳解】（1）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，而雙曲線的頂點(diǎn)分別為，，所以．又橢圓上頂點(diǎn)