2022-2023學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，，則（

）A． B． C． D．B【分析】利用集合的運(yùn)算即可求得.【詳解】由已知，故，故所以故選：B2．已知且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B【分析】求出不等式的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】由，得或，由得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．3．為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，北京市居民用水實(shí)行階梯水價(jià)，其中每戶的戶年用水量與水價(jià)的關(guān)系如下表所示：分檔戶年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯180-260（含）7第三階梯260以上9假設(shè)居住在北京的某戶家庭2021年的年用水量為，則該戶家庭2021年應(yīng)繳納的水費(fèi)為（

）A．1800元 B．1400元 C．1040元 D．1000元C【分析】結(jié)合階梯水價(jià)直接求解即可.【詳解】由表可知，當(dāng)用水量為時(shí)，水費(fèi)為元；當(dāng)水價(jià)在第二階段時(shí)，超出，水費(fèi)為元，則年用水量為，水價(jià)為1040元.故選：C4．意大利畫(huà)家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫(huà)作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（

）A． B．C． D．C【分析】分析函數(shù)的奇偶性與最小值，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)的最小值為，排除AD選項(xiàng).故選：C.思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（5）函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞減，則的值為（

）A．1 B．-1 C．2或-1 D．2B由題意可得，且，解出即可．【詳解】解：∵是冪函數(shù)，∴，即，∴，或，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)，，符合題意，∴，故選：B．6．已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．B【分析】構(gòu)造，利用均值不等式即得解【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故選：B本題考查了均值不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題7．已知函數(shù)滿足對(duì)任意，且，都有成立，則的范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)已知條件，判斷出的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由得，上，為增函數(shù)，得，解得.故選：B8．對(duì)于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”．如果函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，即不存在非“不動(dòng)點(diǎn)”的“穩(wěn)定點(diǎn)”，所以有解，但方程組無(wú)解，然后利用判別式即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，即不存在非“不動(dòng)點(diǎn)”的“穩(wěn)定點(diǎn)”，所以有解，但方程組無(wú)解，由，得有解，所以，解得由得兩式相減，得，因?yàn)椋?，消去，得，因?yàn)榉匠虩o(wú)解或僅有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以，解得，故a的取值范圍是故選：D.二、多選題9．若，則下列不等式中一定不成立的是（

）A． B． C． D．AD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及作差法判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，，所以，所以，所以，故選項(xiàng)一定不成立；對(duì)于，不妨取，，則，故選項(xiàng)可能成立；對(duì)于，不妨取，，則，故選項(xiàng)可能成立；對(duì)于，，故，故選項(xiàng)一定不成立；故選：．10．某公司計(jì)劃定制一批精美小禮品，準(zhǔn)備在公司年終慶典大會(huì)上發(fā)給各位嘉賓，現(xiàn)有兩個(gè)工廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為設(shè)計(jì)費(fèi)和加工費(fèi)兩部分，先收取固定的設(shè)計(jì)費(fèi)，再按禮品數(shù)量收取加工費(fèi)，乙廠直接按禮品數(shù)量收取加工費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用（千元），乙廠的總費(fèi)用（千元）與禮品數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖象分別如圖中甲?乙所示，則（

）A．甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為B．當(dāng)禮品數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的加工費(fèi)平均每個(gè)為1.5元C．當(dāng)禮品數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為D．若該公司需定制的禮品數(shù)量為6千個(gè)，則該公司選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用ABC【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)解析式，進(jìn)而分析各個(gè)選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖像甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量滿足的函數(shù)為一次函數(shù)，且過(guò)（0,1），（8,5）兩點(diǎn)，所以甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量滿足的函數(shù)關(guān)系為，故A正確；當(dāng)定制禮品數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為，所以乙廠的加工費(fèi)平均每個(gè)為元，故B正確；易知當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)為一次函數(shù)，且過(guò)（2,3），（8,5），所以函數(shù)關(guān)系式為，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以定制禮品數(shù)量為6千個(gè)時(shí)，選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)用，故D不正確.故選：ABC.11．若函數(shù)，分別為上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，且滿足，則有（

）A． B．C． D．AD【分析】結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得，聯(lián)立方程組可求出，的解析式，求出，根據(jù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)，分別為上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，則，，又∵，…①∴，∴，…②由①②得，，故A正確，B錯(cuò)誤；∴，且為增函數(shù)，∴，故D正確，故選：AD.本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造出第二個(gè)方程，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．的定義域?yàn)镃．D．任意一個(gè)非零有理數(shù)，對(duì)任意恒成立BCD【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式和函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以的值城為，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)，所以的定義城為，故B正確；因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù)，若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T是無(wú)理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，都有對(duì)任意恒成立，故D正確，故選：BCD.三、填空題13．計(jì)算：__．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求值．【詳解】原式，故．14．如果定義在上的函數(shù)，對(duì)任意都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，給出下列函數(shù)，其中是“函數(shù)”的有_____________（填序號(hào)）①

②

③

④①④．【分析】不等式等價(jià)為，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】對(duì)于任意的不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，不等式等價(jià)為恒成立，即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)；①在上單調(diào)遞增，符合題意；②在上單調(diào)遞減，不合題意；③在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不合題意；④在上單調(diào)遞增，符合題意；故①④．15．已知，函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是______．.【分析】分與兩種情況，參變分離后，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出最值，從而得到的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故等價(jià)于，即，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故；當(dāng)時(shí)，，故等價(jià)于，即，，其中在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，解得，綜上：的取值范圍是.故答案為.四、雙空題16．寫(xiě)出定義域和值域都相同，但單調(diào)性不相同的兩個(gè)單調(diào)函數(shù)：______；的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_____．

和（答案不唯一）

【分析】（1）本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題，只需選擇符合要求的解析式即可，不妨取兩個(gè)單調(diào)性不同的指數(shù)函數(shù)；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】解：不妨取和，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于函數(shù)，令，即，解得或，所以函數(shù)的的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故和（答案不唯一）；五、解答題17．已知集合，．請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問(wèn)的解答．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)；(2)條件選擇見(jiàn)解析，.【分析】(1)取化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)A，再根據(jù)交集的定義求；(2)若選①，由可得，討論的正負(fù)，由條件列不等式求a的取值范圍；若選②，討論的正負(fù)，化簡(jiǎn)集合，結(jié)合條件列不等式求a的取值范圍；若選③，討論的正負(fù)，化簡(jiǎn)集合，結(jié)合條件列不等式求a的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，．當(dāng)時(shí)，，∴；（2）選擇①．∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇②∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇③∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷，的單調(diào)性，并證明；(3)解不等式.(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）首先利用函數(shù)是奇函數(shù)，求的解析式，即可求解函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）首先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，討論求解不等式.【詳解】（1）∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)，．∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，則，．；（2）在上是單調(diào)遞增的．證明：，，且，則∵∴，，又∵是增函數(shù)，∴∴，即∴在上是單調(diào)遞增的．（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瞧婧瘮?shù)．所以在上是單調(diào)遞增的．∵所以不等式可轉(zhuǎn)化為，即化簡(jiǎn)得∴當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為.19．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費(fèi)）元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(1)(2)當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是480元【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤(rùn)的解析式；（2）分段判斷的單調(diào)性，及利用基本不等式求出的最大值即可．【詳解】（1）由已知（2）解：由（1）得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.∴當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是480元.20．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是．給定函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性（只寫(xiě)出結(jié)論即可）；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)；（3）.（1）根據(jù)題意可知，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，然后利用得出與，代入上式求解；（2）因?yàn)楹瘮?shù)及函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增；（3）根據(jù)題意可知，若對(duì)任意，總存在，使得，則只需使函數(shù)在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?，然后分類討論求解函?shù)的值域與函數(shù)的值域，根據(jù)集合間的包含關(guān)求解參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則．即，整理得，于是，解得．所以的對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)在上為增函數(shù)；（3）由已知，值域?yàn)橹涤虻淖蛹桑?）知在上單增，所以的值域?yàn)椋谑窃瓎?wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的值域．①當(dāng)，即時(shí)，在單