高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲

通信原理電子教案廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院2012年9月高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!《通信原理》電子教案授課班級(jí)：通信1103班、通信1104班授課教師：廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院梁能高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!2.4高斯過(guò)程

2.4.1基本概念

1.定義

一隨機(jī)過(guò)程ξ(t)，若它的任意n維概率密度呈正態(tài)分布，則稱(chēng)其為高斯過(guò)程。又稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。

數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式（2.5.1）。

一維時(shí)：高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!2.性質(zhì)－－由定義可分析出（1）高斯過(guò)程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)。（2）高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之間若不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）＝f1（x1，t1）f2（x2，t2）...，fn（xn，tn）（2.5.3）（3）若干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程。－－從信號(hào)角度。（4）高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過(guò)程。－－從系統(tǒng)（線性系統(tǒng)）角度。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!（2）性質(zhì)1）對(duì)稱(chēng)于直線x=a;

2）在內(nèi)單調(diào)上升，在內(nèi)單調(diào)下降，且在a點(diǎn)處達(dá)到極大值;3）

4）a表示分布中心，表示集中的程度。一定時(shí)，……。5）當(dāng)a＝0，時(shí)，相應(yīng)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：

高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!（2）用概率積分函數(shù)表示定義概率積分函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)概率積分)為：則正態(tài)分布函數(shù)可表示為：

高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!2）誤差函數(shù)的性質(zhì)●誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：

●互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!2.表達(dá)式－－兩種！高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!2.5.3已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求aξ(t)、φξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性

結(jié)論2若ξ(t)：均值為0、方差為δ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。則：（1）其包絡(luò)aξ(t)的一維分布呈瑞利分布；（2）其相位φξ(t)的一維分布呈均勻分布；（3）aξ(t)與φξ(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!2.自相關(guān)函數(shù)據(jù)：功率信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏變換對(duì)。圖2-5白噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)

結(jié)論：對(duì)白噪聲而言，只有當(dāng)τ=0時(shí)（同一時(shí)刻）才相關(guān)，而在τ≠0的任何兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量，皆不相關(guān)。問(wèn)：高斯白噪聲？高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!

2.自相關(guān)函數(shù)N---噪聲平均功率，取決于n

0

f0--Pξ(ω)的面積。

高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!2.7正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲2.7.1合成信號(hào)表達(dá)式正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲后的合成信號(hào)可表示為：其中：---正弦載波:假定A、ωc為常數(shù);θ為隨機(jī)變量，其一維pdf均勻分布，即：f(θ)=1/(2π)，0≤θ≤2π---窄帶隨機(jī)過(guò)程:nc(t)---n(t)之同相分量；

ns(t)---n(t)之正交分量。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!合成信號(hào)振幅z(t)和相位φ(t)的統(tǒng)計(jì)特性可以證明，正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲所形成的合成信號(hào)具有如下統(tǒng)計(jì)特性：

1）隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布（也稱(chēng)萊斯（Rice）分布）--(2.7-3)。2）隨機(jī)相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分布了。當(dāng)信噪比很小時(shí)，它接近于均勻分布。

圖2-6正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布

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系統(tǒng)滿(mǎn)足物理可實(shí)現(xiàn)條件:h(t)=0，t<0；輸入有界（滿(mǎn)足狄里赫利條件）。則有：理解：上式對(duì)于確知信號(hào)是沒(méi)有問(wèn)題的。 當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程ξ

(t)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)ξi1(t)－－隨機(jī)函數(shù)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程ξo1(t)。進(jìn)一步：當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程ξi(t)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程ξo(t)。且有：

高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!一個(gè)十分有用的結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!

則稱(chēng)ξ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量則稱(chēng)ξ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量2.4.2高斯過(guò)程中的一維分布－－隨機(jī)變量研究1.一維概率密度函數(shù)（1）高斯隨機(jī)變量若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)可表示成高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!2.正態(tài)分布函數(shù)（1）一般表示式已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函數(shù)（可查表）來(lái)表述。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!（3)用誤差函數(shù)表示

正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。

1）誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!2.5窄帶隨機(jī)過(guò)程→窄帶過(guò)程

2.5.1窄帶隨機(jī)過(guò)程的概念

1.什么叫窄帶隨機(jī)過(guò)程？

頻譜:所占頻帶較窄，滿(mǎn)足Δf<<fc的隨機(jī)過(guò)程叫窄帶隨機(jī)過(guò)程。

時(shí)域：用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形－－幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!2.5.2已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求ξc(t)、ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論1若ξ(t)：均值為0、方差為δ2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過(guò)程。則：（1）ξc(t)、ξs(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程；（2）E[ξ(t)]=E[ξc(t)]=E[ξs(t)]＝0－－均值相同(都為0)；

（3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t)

；（4）在同一時(shí)刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相關(guān)函數(shù)為0，即ξc與ξs互不相關(guān)，或說(shuō)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!

2.6寬帶隨機(jī)過(guò)程2.6.1白噪聲

1.定義：凡功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱(chēng)為白噪聲。即：

●雙邊譜密度：

●單邊譜密度：其中：n0為常數(shù)，W/Hz。一般默認(rèn)白噪聲為平穩(wěn)的。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!2.6.2帶限白噪聲1.定義

白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器(-f0，f0)后而形成的噪聲，被稱(chēng)為帶限白噪聲，即其功率譜密度為：高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!結(jié)論：按抽樣定理對(duì)帶限白噪聲抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量(各抽樣點(diǎn)處的隨機(jī)變量是互不相關(guān)的)。問(wèn)：窄帶、高斯、白噪聲的含義。高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!代入，整理：其中：高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲共27頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!

2.8隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)

2.8.1線性系統(tǒng)---復(fù)習(xí)

設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為：h(t)、H(ω)，則：H(ω)←→h(t)。周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)v0(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與