高一數(shù)學(xué)：《5-5 三角恒等變換》獲獎(jiǎng)?wù)f課導(dǎo)學(xué)案

第五章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．2．掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式．3．會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計(jì)算等．4．熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法．重點(diǎn)：了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．難點(diǎn)：會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計(jì)算等名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝__________________α，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝__________________α，β∈R1兩角和與差的余弦公式2兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝__________________α，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝__________________α，β∈R3兩角和與差的正切公式名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝_______α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝______α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1問題探究１.兩角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦嗎？下面，我們來探究cos(α－β)與角α，β的正弦、余弦之間的關(guān)系不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z．如圖5.5.1，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（１，０），以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α—β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)A1（cosα，sinα），P1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．連接A1P1，AP．若把扇形OAP,繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角，則點(diǎn)A，AP與A1P1

重合，從而，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得cosα-β-12+sinα-β2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2，

化簡得:

cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ

當(dāng)α=2kπ＋β（k∈Z）時(shí)，容易證明上式仍然成立．

所以，對(duì)于任意角α，β有稱為差角的余弦公式，簡記作Ｃ(α－β).典例解析例１利用公式cosα-β證明：

（１）cosπ2-α=sinα例２已知sinα=45，α∈(π2,π),cosβ=-由公式cosα-β出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？下面以公式cosα-β為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其他公式例如，比較cosα-β與cosα+β，并注意到α＋α-β之間的聯(lián)系：α+β＝α-（-β）則由公式cos有cosα+β=cos[α--β]

＝cos于是得到了兩角和的余弦公式，簡記作C（α＋β）．cosα+β=cos問題探究上面得到了兩角和與差的余弦公式．我們知道，用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化．你能根據(jù)Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及誘導(dǎo)公式五（或六），推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式嗎？通過推導(dǎo)，可以得到：

sinα+β＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S（α

sinα-β＝sinαcosβ-cosαsinβ;（S（α你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正切表示

tanα+β，

tanα-β通過推導(dǎo)，可以得到：

tanα+β=

tanα+

tanα-β=

tanα-和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α為某些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)給出了任意角α，β的三角函數(shù)值與其和角α＋β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．為方便起見，我們把這三個(gè)公式都叫做和角公式．類似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式．典例解析例3.已知sinα=-35，α是第四由以上解答可以看到，在本題條件下有sinπ4-α=cosπ4+α．那么對(duì)于任意角α，此等式成立嗎例４利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（１）sin72°cos42°－cos72°sin42°;（２）cos20°cos70°－sin20°sin70°;（3）1+tan15°1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,2)2.已知α是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－eq\f(\r(2),10)B．eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),5)D．eq\f(\r(2),5)3．已知銳角α，β滿足cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，則cosβ等于()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(54,75)D．－eq\f(54,75)4．計(jì)算eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝________.5．已知α，β均為銳角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β.讓我們回顧半節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，看看主要的收獲有哪些？知識(shí)上：兩角和差公式思想方法上：整體代換思想，轉(zhuǎn)化思想。參考答案：知識(shí)梳理1.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ2.sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ3.eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)學(xué)習(xí)過程典例解析例１證明:(1)cosπ2-α=cosπ2cosα+sinπ2sinβsinα=0＋1×sinα=sin例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=-1-sinα2=-1-(45)2=-35

又由cosβ=-513，β是第三象限角，得例3.解：由sinα=-35，得cos所以

tanα=

sinαcosα=-3545cosπ4+α

tanα-π4=

例４分析：和、差角公式把α±β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了α，β的三角函數(shù)式．如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角函數(shù)式化簡．解：（１）由公式S（α－β），得sin72°cos42°－cos72°sin42°=Sin(72°－42°)=sin30°=1（2）由公式C（α+β），得cos20°cos70°－sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0（3）由公式T（α+β）及tan45°=1，1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°tan45°三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【解析】原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).【答案】C2.【解析】因?yàn)棣潦卿J角，sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(\r(2),10).故選B．【答案】B3．【解析】因?yàn)棣粒聻殇J角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).故選A．【答案】A4．【解析】eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.【答案】15．【解】∵α，β均為銳角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴