2020高中數(shù)學 第三章 概率 .2.1 古典概型（2）練習（含解析）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第21課時古典概型（2）知識點古典概型的概率計算1．下列問題中是古典概型的是（)A．種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B．擲一枚質地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一個數(shù)，求這個數(shù)大于1．5的概率D．同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率答案D解析A,B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數(shù)是無限個;D項中基本事件的發(fā)生是等可能的,且有有限個．故選D．2．電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23：59,每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為(）A．eq\f（1,180）B．eq\f(1,288)C．eq\f(1,360)D．eq\f（1，480）答案C解析當“時”的兩位數(shù)字的和小于9時，則“分”的那兩位數(shù)字和要求超過14,這是不可能的，所以只有“時”的和為9(即“09”或“18”），“分”的和為14（“59”)；或者“時”的和為10(即“19"），“分"的和為13(“49”或“58"）．共計有4種情況．因一天24小時共有24×60分鐘，所以概率P＝eq\f（4,24×60)＝eq\f（1,360)．故選C．3．如圖所示，將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體,則它的涂漆面數(shù)為2的概率()A．eq\f（8，125)B．eq\f(27,125）C．eq\f（36，125）D．eq\f（54,125)答案C解析涂漆面數(shù)為2的小正方體每條棱上有3個，12條棱共36個,所以涂漆面數(shù)為2的概率為eq\f（36，125)．故選C．4．有20張卡片，每張卡片上分別標有兩個連續(xù)的自然數(shù)k，k＋1,其中k＝0，1，2，…,19．從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到標有9，10的卡片，則卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和為9＋1＋0＝10)不小于14”為A，則P（A)＝________．答案eq\f（1，4）解析從20張卡片中任取一張,每張卡片被取的可能性是相等的，故有20種等可能結果，而該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和不小于14包括抽到帶有7和8、8和9、16和17、17和18、18和19的卡片共5種情況，所以P（A）＝eq\f（5，20）＝eq\f(1，4)．5．漢字是世界上最古老的文字之一,字形結構體現(xiàn)著人類追求均衡對稱、和諧穩(wěn)定的天性．如圖所示，三個漢字可以看成軸對稱圖形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設計了一個游戲，規(guī)則如下：將這三個漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上,洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張,若兩次抽出的漢字能構成上下結構的漢字(如“土”“土”構成“圭”)，則小敏獲勝，否則小慧獲勝．你認為這個游戲對誰有利？說明理由．解每次游戲時,所有可能出現(xiàn)的結果如下表所示：第二張卡片第一張卡片土口木土（土,土）(土,口)(土，木)口(口，土）(口，口）（口，木)木（木，土)（木,口)（木，木）共有9種結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性相同．其中，能組成上下結構的漢字的結果有4種：（土，土)“圭”，(口，口)“呂”，（木，口）“杏"或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”．所以小敏獲勝的概率為eq\f(4,9)，小慧獲勝的概率為eq\f（5,9),所以這個游戲對小慧有利．易錯點搞錯題中所研究的對象6．有1號、2號、3號共3個信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱,投完為止,其中A信投入1號或2號信箱的概率是多少？易錯分析本題易在求基本事件時誤考慮成了4封信投入某一信箱的情況,事實上，應該考慮A信投入各個信箱的情況．正解由于每封信可以任意投入信箱，對于A信，投入各個信箱的可能性是相等的，一共有3種不同的結果．投入1號或2號信箱有2種結果，故A信投入1號或2號信箱的概率為eq\f（2，3)．一、選擇題1．若b，c是從2，4，6,8中任取的兩個不同的數(shù)，則方程x2＋bx＋c＝0有實數(shù)根的概率為（）A．eq\f(5，12）B．eq\f(1，2)C．eq\f(7,12）D．eq\f（5,6)答案C解析要使方程有實數(shù)根，應滿足Δ＝b2－4c≥0．從2,4，6，8中任取的兩個不同的數(shù)結果共有12種，滿足Δ≥0的結果有7種，即(4，2)，(6，2），（6,4），(6，8),（8,2)，(8,4）,(8，6），故所求概率為eq\f(7,12)．故選C．2．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點,則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于(）A．eq\f(1,10）B．eq\f(1，8)C．eq\f(1，6）D．eq\f(1,5）答案D解析在正六邊形中,6個頂點選取4個，共有15種結果．選取的4點能構成矩形只有對邊的4個頂點（例如AB與DE）,共有3種，故所求概率為eq\f（3，15）＝eq\f（1，5）．3．如圖所示，莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損．則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率(）A．eq\f（2,5）B．eq\f(7，10)C．eq\f（4，5)D．eq\f（9，10）答案C解析設被污損數(shù)字為x，則eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)〉eq\f（1，5）（83＋83＋87＋99＋90＋x)，解得x〈8，可取0，1,…，7，又x的所有可能取值為0，1,2，3，…,9，故所求概率P＝eq\f（8,10）＝eq\f（4，5)．4．先后拋擲兩枚均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為()A．eq\f(1，6）B．eq\f（5,36）C．eq\f（1,12)D．eq\f（1,2)答案C解析由log2XY＝1得Y＝2X，滿足條件的X，Y有3對,即（1，2),（2,4)，(3，6),而骰子朝上的點數(shù)X，Y共有36對，從而可得所求概率為eq\f(1，12）．5．從集合｛a，b，c,d，e}的所有子集中任取一個,則這個集合恰是集合｛a，b，c}的子集的概率是（）A．eq\f（3,5)B．eq\f（2,5)C．eq\f（1,4）D．eq\f（1，8)答案C解析集合{a,b，c，d,e｝共有25＝32個子集,而集合｛a,b,c}的子集有23＝8個，所以所求概率為eq\f（8，32)＝eq\f（1，4)．二、填空題6．在一個盒中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支，恰有一支一等品的概率為________．答案eq\f（9，20)解析從中任取3支共有20種基本事件，滿足條件的有3×3＝9（種)，從而可得．7．在1，3,5，8路公共汽車都要?？康囊粋€站（假定這個站只能?？恳惠v公共汽車)，有一位乘客等候1路或3路公共汽車，假定當時各路公共汽車首先到站的可能性相等，則首先到站的正好是這位乘客所要乘的公共汽車的概率是________．答案eq\f(1,2）解析∵4種公共汽車先到站有4個結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性相等，“首先到站的車正好是所乘車"的結果有2個，∴P＝eq\f（2,4)＝eq\f(1，2)．8．設集合P＝{x，1}，Q＝｛y，1，2}，P?Q，x，y∈{1，2，3，…，9｝．在直角坐標平面內，從所有滿足這些條件的有序實數(shù)對(x，y)所表示的點中任取一個，其落在圓x2＋y2＝r2內的概率恰為eq\f(2，7）,則r2中的可能的一個整數(shù)是________(只需要寫出一個即可)．答案30(或31或32）解析滿足條件的點有(2，3),(2，4)，（2，5),（2，6），（2，7）,(2，8)，（2，9）,(3，3），(4，4),(5，5)，（6，6），(7，7），（8，8）,(9，9)，共14個．欲使其點落在x2＋y2＝r2內的概率為eq\f(2,7）,則這14個點中有4個點在圓內，所以只需29＜r2≤32,故r2＝30或31或32．三、解答題9．某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表:七年級八年級九年級女生（名）373xy男生（名)377370z已知在全校學生中隨機抽取1名學生，抽到八年級女生的概率是0．19．(1)求x的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在九年級抽取多少名學生？(3)當y≥245，z≥245時,求九年級學生中女生比男生多的概率．解(1）x＝2000×0．19＝380．（2）由題意和(1)可知，七、八年級各有學生750名,九年級學生為2000－750－750＝500（名），故采用分層抽樣方法在全校抽到48名學生，應在九年級抽取eq\f（500,2000)×48＝12（名)．(3)當y≥245，z≥245時，九年級中男、女生人數(shù)的所有可能組合為：男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所有可能組合有11種，其中女生比男生多的組合有5種，故九年級學生中女生比男生多的概率為eq\f（5,11）．10．某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設兩次記錄的數(shù)分別為x，y．獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8,則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設轉盤質地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．（1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．解用數(shù)對(x,y）表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝｛(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4｝一一對應．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16．(1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件共5個，即（1，1)，(1，2）,（1,3)，(2，1），（3，1）．所以P（A)＝eq\f（5,16）,即小亮獲得玩具的概率為eq