2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) . 冪函數(shù)（含解析）第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3冪函數(shù)一、選擇題1．下列結(jié)論正確的是()A．冪函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)B．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是減函數(shù)C．當(dāng)α〉1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．函數(shù)y＝x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)解析：函數(shù)y＝x－1的圖象不過原點(diǎn)，故A不正確；y＝x－1在（－∞，0）及（0，＋∞）上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)y＝x2在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0,＋∞)上是增函數(shù),故C不正確．答案：D2．設(shè)α∈eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(1,2，3，\f（1,2)，－1）),則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)的所有α的值為(）A．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,3解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常見的五個(gè)冪函數(shù),顯然y＝xα為奇函數(shù)時(shí)，α＝－1,1，3,又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以α≠－1,故α＝1，3.答案:C3．在下列四個(gè)圖形中,y＝x的圖象大致是（）解析：函數(shù)y＝x的定義域?yàn)椋?，＋∞）,是減函數(shù)．故選D.答案：D4．函數(shù)y＝x在［－1,1］上是（）A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)解析：由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)α〉0時(shí)，y＝xα在第一象限內(nèi)是增函數(shù),所以y＝x在（0，1］上是增函數(shù)．設(shè)f（x）＝x，x∈[－1,1］，則f（－x）＝（－x)＝－x＝－f（x)，所以f(x)＝x是奇函數(shù)．因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以x∈［－1,0)時(shí)，y＝x也是增函數(shù)．當(dāng)x＝0時(shí),y＝0，故y＝x在[－1,1］上是增函數(shù)且是奇函數(shù)．答案：A二、填空題5．已知冪函數(shù)f（x)＝x(m∈Z)的圖象與x軸,y軸都無交點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對稱,則函數(shù)f（x）的解析式是________．解析：∵函數(shù)的圖象與x軸，y軸都無交點(diǎn),∴m2－1〈0,解得－1<m<1；∵圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且m∈Z,∴m＝0，∴f（x)＝x－1。答案：f(x)＝x－16．已知2.4α〉2。5α，則α的取值范圍是________．解析:∵0〈2。4<2.5，而2。4α〉2。5α，∴y＝xα在（0,＋∞）上為減函數(shù)，故α<0。答案：α〈07．已知冪函數(shù)f（x）＝xα的部分對應(yīng)值如下表:x1eq\f(1，2)f（x)1eq\f(\r(2),2）則不等式f（|x|）≤2的解集是________．解析：由表中數(shù)據(jù)知eq\f（\r（2),2）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))α，∴α＝eq\f(1，2），∴f（x)＝x，∴｜x｜≤2，即｜x|≤4，故－4≤x≤4。答案：｛x|－4≤x≤4｝三、解答題8．已知函數(shù)f（x)＝(m2－m－1）x－5m－3，m為何值時(shí),f(x(1）是冪函數(shù)；（2)是正比例函數(shù);（3）是反比例函數(shù)；（4)是二次函數(shù)．解析：（1)∵f（x)是冪函數(shù)，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1。（2）若f（x）是正比例函數(shù)，則－5m－3＝1，解得m＝－eq\f(4，5）.此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－eq\f（4，5）。（3)若f（x）是反比例函數(shù)，則－5m則m＝－eq\f(2，5)，此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－eq\f(2，5).（4）若f(x)是二次函數(shù)，則－5m即m＝－1,此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－1.9．比較下列各題中兩個(gè)值的大??；（1)2。3，2。4；（2)(eq\r（2）)，（eq\r(3）)；(3)（－0.31），0。35.解析：(1）∵y＝x為［0，＋∞)上的增函數(shù),且2.3<2。4，∴2。3<2。4.(2)∵y＝x為（0，＋∞)上的減函數(shù)，且eq\r(2）<eq\r(3），∴(eq\r（2))〉（eq\r(3））。（3)∵y＝x為R上的偶函數(shù)，∴（－0。31)＝0。31。又函數(shù)y＝x為［0,＋∞)上的增函數(shù)，且0.31〈0.35，∴0.31〈0.35，即(－0.31）〈0.35。[尖子生題庫］10．已知冪函數(shù)f(x)＝x（m∈N*）經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r（2)）,試確定m的值，并求滿足條件f（2－a)〉f（a－1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：∵冪函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r（2）），∴eq\r（2)＝2，即2＝2?！鄊2＋m＝2。解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.∴f（x）＝x，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞），并且在定義域上為增函數(shù)．由f（2－a）>f(a－1)，得eq\b\lc\{\rc\（\a\