精選文檔《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社

〖精選文檔〗《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社〖精選文檔〗《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社PAGE56/56PAGE56〖精選文檔〗《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社習(xí)題11-1．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為其中為常量．求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。解：(1)由，知：，消去t可得軌道方程：∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為圓心在（0，0）處，半徑為R的圓；（2）由，有速度：而，有速率：。1-2．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；（2）從到秒的位移；（3）和秒兩時(shí)刻的速度。解：（1）由，可知，消去t得軌道方程為：，∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為拋物線。（2）由，有速度：從到秒的位移為：（3）和秒兩時(shí)刻的速度為：，。1-3．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：（1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，，有：；（2）而，有速率：∴，利用有：。1-4．一升降機(jī)以加速度上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。解法一：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，設(shè)同一時(shí)間內(nèi)螺釘下落的距離為，升降機(jī)上升的高度為，運(yùn)動(dòng)方程分別為（1）（2）（3）（注意到為負(fù)值，有）聯(lián)立求解，有：。解法二：以升降機(jī)為非慣性參照系，則重力加速度修正為，利用，有：。1-5．一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求：（1）小球的運(yùn)動(dòng)方程；（2）小球在落地之前的軌跡方程；（3）落地前瞬時(shí)小球的，，。解：（1）如圖，可建立平拋運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：，，∴；（2）聯(lián)立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：（為拋物線方程）；（3）∵，∴，即：，在落地瞬時(shí)，有：，∴又∵，∴。1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度.證明：設(shè)人向路燈行走，t時(shí)刻人影中頭的坐標(biāo)為，足的坐標(biāo)為，由相似三角形關(guān)系可得：，∴兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：，考慮到：，知人影中頭的速度：（常數(shù)）。1-7．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為(m)，在t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少？解：由于是求質(zhì)點(diǎn)通過的路程，所以可考慮在0~3s的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度為0的位置：若解得，。1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對(duì)水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角)。解：小球落地時(shí)速度為，建立沿斜面的直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖示，→（1）→（2）第二次落地時(shí)：，代入（2）式得：，所以：。1-9．地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為，設(shè)赤道上重力加速度為。解：由向心力公式：，赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為：∴1-10．已知子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。解：（1）拋物線頂點(diǎn)處子彈的速度，頂點(diǎn)處切向加速度為0，法向加速度為。因此有：，；（2）在落地點(diǎn)時(shí)子彈的，由拋物線對(duì)稱性，知法向加速度方向與豎直方向成角，則：，有：則：。1-11．一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，u為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求：（1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；（2）火箭的加速度。解：一維運(yùn)動(dòng)，直接利用公式：，有：（1），（2）1-12．飛機(jī)以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)?解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為有：┄①，┄②聯(lián)立方程解得：，∴。1-13．一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為，而氣球以速度勻速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？解：物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為：故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度：，（向上）第三秒末物體速度：第四秒末物體速度：（向下）。思考題11-1．質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為，瞬時(shí)速率為，平均速度為，平均速率為，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的?（A）；（B）；（C）；（D）答：（C）1-2．沿直線運(yùn)動(dòng)的物體，其速度大小與時(shí)間成反比，則其加速度的大小與速度大小的關(guān)系是：（A）與速度大小成正比；（B）與速度大小平方成正比；（C）與速度大小成反比；（D）與速度大小平方成反比。答：B1-3．如圖所示為A，B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一直線上運(yùn)動(dòng)的圖像，由圖可知（A）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)一定從同一位置出發(fā)（B）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)都始終作勻加速運(yùn)動(dòng)（C）在末兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇（D）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)B可能領(lǐng)先質(zhì)點(diǎn)A答：D1-4．質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系如圖，圖中，，三條線表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng)?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度小？答：勻速直線運(yùn)動(dòng)；。1-5．如圖所示，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中和為已知。答：方法一：如圖，以A船為參考系，在該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。是船B相對(duì)于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這表明兩船不會(huì)相碰.由A作BC垂線AC,其長(zhǎng)度就是兩船相靠最近的距離作FD//AB,構(gòu)成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：兩船在任一時(shí)刻的位置矢量分別為：任一時(shí)刻兩船的距離為：令：。1-6．若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？（A），；（B），；（C），答：(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)；(2)質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)；(3)質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng)。1-7．如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)出發(fā)作斜拋運(yùn)動(dòng)，其速度，回到x軸的時(shí)刻為t，則（A）（B）（C）（D）答：A（注意：題目中各處的v應(yīng)為矢量！須加上箭頭。）1-8．一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用代表落地時(shí)，（1）說明下面三個(gè)積分的意義：；（2）用和代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說明下面三個(gè)積分的意義：。答：表示物體落地時(shí)x方向的距離，表示物體落地時(shí)y方向的距離，表示物體在時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程，拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移，拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小，拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小。習(xí)題22-1質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為，，當(dāng)時(shí)，，，。當(dāng)時(shí)，求：(1)質(zhì)點(diǎn)的位矢；(2)質(zhì)點(diǎn)的速度。解：由，有：，（1），。于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度：（2）2-2質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力的作用，t=0時(shí)，它的初速度為，求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面運(yùn)動(dòng)，所以考慮矢量。由：，有：，兩邊積分有：，∴，考慮到，，有由于在自然坐標(biāo)系中，，而（時(shí)），表明在時(shí)，切向速度方向就是方向，所以，此時(shí)法向的力是方向的，則利用，將代入有，∴。2-3．如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？解：分別對(duì)A，B進(jìn)行受力分析，可知：則可計(jì)算得到：。2-4．如圖，用質(zhì)量為的板車運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車與木箱具有相同的加速度，且上限車板與箱底間為最大摩擦。即：可得：解法二：設(shè)木箱不致于滑動(dòng)的最大拉力為，列式有：聯(lián)立得：，有：。2-5．如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解法一：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得：（1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖a），列式為：可計(jì)算得到：此時(shí)的（2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖b），列式為：可計(jì)算得到：此時(shí)的，所以：。解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中，將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時(shí)考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式：方向：方向：考慮到，有：，解得：?！嗟娜≈捣秶?。2-6．質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2)子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意，子彈射入沙土中的阻力表達(dá)式為：又由牛頓第二定律可得：，則分離變量，可得：，兩邊同時(shí)積分，有：，所以：（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的時(shí)候子彈的位移，則：考慮到，，可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移：。2-7．質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解：利用隔離體方法，設(shè)方形物相對(duì)于劈形物沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加速度為，分析受力有：方形物受力：，，（慣性力）；劈形物受力：，，，如圖；對(duì)于，有沿斜面平行和垂直的方程為：①②對(duì)于，有：③將③代入有②：，∴，代入①，有：再將在水平和豎直兩方向上分解，有：∴而相互作用力：2-8．在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為，在時(shí)，球的速率為，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。解：利用自然坐標(biāo)系，法向：，而：切向：，則：，得：2-9．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力N，求質(zhì)點(diǎn)從A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng)3/4圓周到達(dá)B的過程中，力所做的功。解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標(biāo)為（，），∴，再利用：，有：（焦耳）2-10．質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點(diǎn)，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功為多少？解：由功的定義：，題意：，∴。2-11．一質(zhì)量為的物體，在力的作用下，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求在任一時(shí)刻此力所做功的功率為多少。解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意：所以功率為：。2-12．一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關(guān)系為，其中和單位分別為和。（1）計(jì)算當(dāng)將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功；（2）此彈力是否為保守力?解：（1）由做功的定義可知：（2）∵，按保守力的定義：∴該彈力為保守力。2-13．如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對(duì)容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過程中，摩擦力對(duì)其做的功。分析：直接求解顯然有困難，所以使用動(dòng)能定理，那就要知道它的末速度的情況。解：求在B點(diǎn)的速度：，可得：由動(dòng)能定理：∴2-14．在密度為的液面上方，懸掛一根長(zhǎng)為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在的條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大速度，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時(shí)候，所以：，即，則：。利用功能原理：，有：可解得：（2）當(dāng)均勻棒完全進(jìn)入液體中時(shí)，浮力不變，到最大深度時(shí)，速度為零，設(shè)：，由能量守恒有：，即：∴。2-15．一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長(zhǎng)度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長(zhǎng)為，質(zhì)量為，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則：2-16．在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長(zhǎng)為．用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當(dāng)與開始分離時(shí)，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)?解：（1）當(dāng)與開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時(shí)彈簧和都不對(duì)產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長(zhǎng)位置時(shí)刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，；（2）分離之后，的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以：，則：。2-17．已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能；（2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能．比較兩種情況下的勢(shì)能差．解：（1）取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，地面處的勢(shì)能為：；（2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為：∴兩種情況下勢(shì)能差是完全一樣的。2-18．如圖所示的圓錐擺，繩長(zhǎng)為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以勻角速ω繞鉛直線作圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與鉛直線的夾角為θ。在質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過程中，試求：（1）質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量；（2）質(zhì)點(diǎn)所受張力T的沖量。解：（1）設(shè)周期為，因質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，速度沒有變化，，由，∴旋轉(zhuǎn)一周的沖量；（2）如圖該質(zhì)點(diǎn)受的外力有重力和拉力，且，∴張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量：所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。2-19．質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，求：（1）質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的動(dòng)量；（2）從到的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。解：（1）根據(jù)動(dòng)量的定義：，而，∴；（2）由，所以沖量為零。2-20．質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長(zhǎng)為l=1.0m的細(xì)繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時(shí)子彈的速度大小=30m/s，設(shè)穿透時(shí)間極短。求：（1）子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大?。唬?）子彈在穿透過程中所受的沖量。解：（1）解：由碰撞過程動(dòng)量守恒可得：∴根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：，有：；（2）根據(jù)沖量定理可得：。2-21．一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個(gè)電子和一個(gè)中微子，巳知電子的動(dòng)量為，中微子的動(dòng)量為，兩動(dòng)量方向彼此垂直。（1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動(dòng)能。解：由碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，分析示意圖，有：（1）又∵，∴，所以，；（2）反沖的動(dòng)能為：。2-22．有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點(diǎn)為。如果它在飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時(shí)落地。問第二塊碎片落在何處。解：利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點(diǎn)為。，而，，∴。2-23．如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動(dòng)．當(dāng)木塊向下滑時(shí)，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，可得：(碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向動(dòng)量守恒定律，可得：。2-24．以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時(shí)刻：（1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩；（2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。解：（1）（2）2-25．人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求：（1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度g來表示）；（2）衛(wèi)星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)處的軌跡的曲率半徑ρ。解：（1）利用角動(dòng)量守恒：，得，同時(shí)利用衛(wèi)星的機(jī)械能守恒，這里，萬有引力勢(shì)能表達(dá)式為：，所以：，考慮到：，有：，；（2）利用萬有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26．火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作，不計(jì)空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。解：第二宇宙速度時(shí)，由機(jī)械能守恒：再由動(dòng)量守恒：，代入：。2-27．如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程：┄①┄②┄③┄④，┄⑤聯(lián)立，解得：，。2-28．如圖所示，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：（1）設(shè)桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考慮對(duì)稱性，有摩擦力矩：；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：，，∴?；蚶茫?，考慮到，，有：。2-29．如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。解：（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。由機(jī)械能守恒：，有：；（2）當(dāng)物體下落時(shí)，由機(jī)械能守恒：，考慮到，有：，欲求速度最大值，將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，且令，有：，將代入，有：，∴當(dāng)m時(shí)物體速度達(dá)最大值，有：，代入數(shù)值可算出：。2-30．如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和．輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對(duì)心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：有：∴思考題2-1．質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為，當(dāng)逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓?？解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為N1，方向水平向右，木板對(duì)小球的壓力為N2，方向垂直于木板，小球受重力為mg，建立平衡方程：，所以當(dāng)增大，小球?qū)δ景宓膲毫2將減??；小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2．質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少？解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)A進(jìn)行受力分析，知：，對(duì)B進(jìn)行受力分析，知：突然撤消拉力時(shí)，對(duì)A有：，所以，對(duì)B有：，所以。2-3．如圖所示，用一斜向上的力(與水平成30°角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為多少？解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為N，由受力分析圖可知：整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明：即：（此式中F無論為多大，總成立），則可得：。2-4．如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個(gè)說法是正確的？(A)它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(B)它的速率均勻增加。(C)它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(D)它的合外力大小不變。(E)軌道支持力的大小不斷增加。解：在下滑過程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對(duì)；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說法不對(duì)；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對(duì)。下滑過程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，則E的說法正確。2-5．和兩物體放在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個(gè)接觸面光滑，另一個(gè)粗糙．力做的功是否一樣?兩物體動(dòng)能增量是否一樣?答：根據(jù)功的定義：所以當(dāng)它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時(shí)，兩個(gè)功是相等的；但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力做功，所以兩個(gè)物體的總功不同，動(dòng)能的增量就不相同。2-6．按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，下列式子：是否成立?這三式是否是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的三個(gè)分量式?試作分析。答：不成立，因?yàn)楣κ菢?biāo)量，不分方向，沒有必要這么寫。2-7．在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長(zhǎng)多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長(zhǎng)多少?答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長(zhǎng)為，所以；如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長(zhǎng)應(yīng)滿足能量守恒：，所以。2-8．一粒子初時(shí)沿軸負(fù)向以速度運(yùn)動(dòng)，后被位于坐標(biāo)原點(diǎn)的金核所散射，使其沿與軸成的方向運(yùn)動(dòng)(速度大小不變)．試用矢量在圖上表出粒子所受到的沖量的大小和方向。解：由：，考慮到，見右圖示。2-9．試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。解：可用動(dòng)量定理來解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向從右前方吹來，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對(duì)象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它吹向帆面和離開帆面時(shí)的速度，由于帆面比較光滑，風(fēng)速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然對(duì)帆有一個(gè)反作用力，此力的方向偏向船前進(jìn)的方向，將分解為兩個(gè)分量，垂直船體的分量與水對(duì)船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動(dòng)帆及整個(gè)船體前進(jìn)的作用力。2-10．當(dāng)質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常列出下列三個(gè)方程：，，，試分析上述三個(gè)方程各在什么條件下成立。解：（1）機(jī)械能守恒；（2）角動(dòng)量守恒；（3）萬有引力提供向心力。2-11．在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對(duì)于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恒？答：對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，（1）動(dòng)量守恒；（2）能量守恒，因?yàn)闆]有外力做功。2-12．體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當(dāng)他們由同一高度向上爬時(shí)，相對(duì)于繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)情況是：（A）甲先到達(dá)；（B）乙先到達(dá)；（C）同時(shí)到達(dá)；（D）誰先到達(dá)不能確定。答：本題測(cè)試的是剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒的概念.當(dāng)兩小孩質(zhì)量相等時(shí)，M=0。則系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，兩人的實(shí)際的速度相同，將同時(shí)到達(dá)滑輪處，與誰在用力，誰不在用力無關(guān)。選擇C。2-13．一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，若如圖所示的情況那樣，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時(shí)作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？答：增大2-14．一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)組成的系統(tǒng)的：（A）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量守恒；（B）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量不守恒；（C）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量守恒；（D）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量不守恒。答：（C）習(xí)題33-1．原長(zhǎng)為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為．現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長(zhǎng)，然后放手，以放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫出振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程：，在本題中，，所以；∴。取豎直向下為x正向，彈簧伸長(zhǎng)為0.1m時(shí)為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng)，那么：A=0.1m，當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為π。所以：即：。3-2．有一單擺，擺長(zhǎng)，小球質(zhì)量，時(shí)，小球正好經(jīng)過處，并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程：我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行了。（1）角頻率：，頻率：，周期：；（2）振動(dòng)方程可表示為：，∴根據(jù)初始條件，時(shí)：，可解得：，所以得到振動(dòng)方程：。3-3．一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí)，位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：（1）由題已知A=0.12m，T=2s，∴又∵t=0時(shí)，，，由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：故振動(dòng)方程為：；（2）將t=0.5s代入得：，，，方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向；（3）由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖示，質(zhì)點(diǎn)從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：，有：。3-4．兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而質(zhì)點(diǎn)2在處，且向右運(yùn)動(dòng)，相位為。所以它們的相位差為。3-5．當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：由，，有：，，（1）當(dāng)時(shí)，由，有：，，∴，；（2）當(dāng)時(shí)，有：∴，。3-6．兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示)（1）求合振動(dòng)的振幅。（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。 解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。由圖可知，兩個(gè)振動(dòng)同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相，）∵，∴合成振動(dòng)的振幅：；合成振動(dòng)的相位：；合成振動(dòng)的方程：。3-7．兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？（2）兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少？解：如圖，可利用余弦定理：由圖知=0.01m∴A２=0.1m再利用正弦定理：，有：，∴。說明A１與A２間夾角為π/2，即兩振動(dòng)的位相差為π/2。3-8.質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng)：（1）；（2）；（3）。試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。解：質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同，振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。對(duì)于，的疊加，可推得：（1）將，代入有：，則方程化為：，軌跡為一般的橢圓；（2）將，代入有：則方程化為：，即，軌跡為一直線；（3）將，代入有：則方程化為：，軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為4m的圓3-9．沿一平面簡(jiǎn)諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長(zhǎng)和波速。解：根據(jù)題意，對(duì)于A、B兩點(diǎn)，，而相位和波長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：，代入數(shù)據(jù)，可得：波長(zhǎng)=24m。又∵T=2s，所以波速。3-10．已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求：（1）平面波的波動(dòng)式；（2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動(dòng)式又如何?解：（1）設(shè)平面波的波動(dòng)式為，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，∴平面波的波動(dòng)式為：；（2）若波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動(dòng)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，∴平面波的波動(dòng)式為：。3-11．一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，如圖所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為，試寫出：（1）該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式；（2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為原點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式：題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，∴該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：（2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程：3-12．已知一沿正方向傳播的平面余弦波，時(shí)的波形如圖所示，且周期為。（1）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式；（3）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）寫出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。解：由圖可知：，，而，則：，，，∴波動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程可寫成：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，∴，（舍去）那么：（1）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）波動(dòng)方程為：；（3）設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，∴（或）∴A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：，或；（4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程為：，與（3）求得的A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式比較，有：，所以：。3-13．一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出：（1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）波動(dòng)表達(dá)式；（3）同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。解：這是一個(gè)振動(dòng)圖像！由圖可知A=0.5cm，設(shè)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：（1）當(dāng)時(shí)，，考慮到：，有：，當(dāng)時(shí)，，考慮到：，有：，，∴原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）沿軸負(fù)方向傳播，設(shè)波動(dòng)表達(dá)式：而，∴；（3）位相差：。3-14．一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強(qiáng)度為，頻率為，波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每?jī)蓚€(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均強(qiáng)度為：，由有：；（2）由，∴。3-15．一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。解：（1）由：，有：；（2）1分鐘為60秒，通過面積的總能量為：。3-16．設(shè)與為兩個(gè)相干波源，相距波長(zhǎng)，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的強(qiáng)度如何？解：（1）如圖，、連線上在外側(cè)，∵，∴兩波反相，合成波強(qiáng)度為0；（2）如圖，、連線上在外側(cè)，∵，∴兩波同相，合成波的振幅為，合成波的強(qiáng)度為：。3-17．圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測(cè)器，如耳或話筒。路徑的長(zhǎng)度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時(shí)，有極大值單位。求：（1）聲源發(fā)出的聲波頻率；（2）抵達(dá)探測(cè)器的兩波的振幅之比。解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：，相鄰波節(jié)與波腹的間距：，可得：。（1）聲音的速度在空氣中約為340m/s（2）∵，，，依題意有：，那么。3-18．蝙蝠在洞穴中飛來飛去，是利用超聲脈沖來導(dǎo)航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當(dāng)它以空氣中聲速的的運(yùn)動(dòng)速率朝著墻壁飛撲過程中，試問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少？解：根據(jù)多普勒效應(yīng)，3-19．一聲源的頻率為1080Hz，相對(duì)于地以30m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，在其右方有一反射面相對(duì)于地以65m/s的速率向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)空氣中的聲速為331m/s，求：（1）聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長(zhǎng)；（2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)；（3）反射波的波速；（4）反射波的波長(zhǎng)。解：（1）在聲源前方靜止接收器接收到的頻率聲音的波長(zhǎng)（2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)（等于反射波的頻率）為（3）波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，因此反射波的波速仍為（4）反射波的波長(zhǎng)為3-20．試計(jì)算：一波源振動(dòng)的頻率為，以速度向墻壁接近（如圖所示），觀察者在點(diǎn)聽得拍音的頻率為，求波源移動(dòng)的速度，設(shè)聲速為。解：根據(jù)觀察者不動(dòng)，波源運(yùn)動(dòng)，即：，，觀察者認(rèn)為接受到的波數(shù)變了：，其中，，，分別代入，可得：。思考題3-1．試說明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：（1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；（2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。答：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用?；蛘哒f，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。那么，（1）拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)。第一、球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力。要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三、在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。（2）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)。顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)O；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為。題中所述，，故，所以回復(fù)力為。（式中負(fù)號(hào)表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的。若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以O(shè)′為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有mR，令，則有：。3-2．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號(hào)的?在什么情況下是異號(hào)的?加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率是否一定在減小?答：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度：；加速度：；要使它們同號(hào)，必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號(hào)的。加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率也不一定在減小。只有當(dāng)速度和加速度是同號(hào)時(shí)，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號(hào)時(shí)，加速度使速率減小。3-3．分析下列表述是否正確，為什么?（1）若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動(dòng)，但不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1；（2）的表述不正確，比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3-4．用兩種方法使某一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開始釋放。方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開始釋放。若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系？（A）（B）（C）（D）答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇（B）。3-5．一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T，振幅為A，質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為多少？答：質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短相位變化為，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：。3-6．一彈簧振子，沿軸作振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在平衡位置處，彈簧振子的勢(shì)能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，問振子處于處時(shí)；其勢(shì)能的瞬時(shí)值為多少？答：由題意，在平衡位置處，彈簧振子的勢(shì)能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，所以該振子的總能量為，當(dāng)振子處于處時(shí)；其勢(shì)能的瞬時(shí)值為：。3-7.圖（a）表示沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)刻的波形圖，則圖（b）表示的是：（A）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；（B）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；（C）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；（D）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。答：圖（b）在t=0時(shí)刻的相位為，所以對(duì)應(yīng)的是質(zhì)點(diǎn)n的振動(dòng)曲線，選擇B。3-8．從能量的角度討論振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系和區(qū)別。.答：（1）在波動(dòng)的傳播過程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。而振動(dòng)中動(dòng)能的增加必然以勢(shì)能的減小為代價(jià)，兩者之和為恒量。（2）在波傳動(dòng)過程中，任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前進(jìn)方向，每個(gè)質(zhì)元從后面吸收能量，又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量，能量得以不斷地向前傳播。而一個(gè)孤立振動(dòng)系統(tǒng)總能量是守恒的。3-9.當(dāng)兩列波干涉時(shí)，是否會(huì)有能量損失？答：否。當(dāng)兩列波干涉時(shí)，波的能量只是進(jìn)行了重新分布，并不會(huì)有損失。3-10.一衛(wèi)星發(fā)射恒定頻率的無線電波。地面上的探測(cè)器測(cè)到了這些無線電波，并使它們與某一標(biāo)準(zhǔn)頻率形成拍，然后將拍頻輸入揚(yáng)聲器，人們就“聽”到了衛(wèi)星的信號(hào)。試描述當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測(cè)器、通過探測(cè)器上空以及離開探測(cè)器時(shí)聲音的變化情況。答：由于多普勒效應(yīng)，當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測(cè)器、通過探測(cè)器上空以及離開探測(cè)器時(shí)，地面上探測(cè)器測(cè)到的來自衛(wèi)星的無線電波頻率將大于、等于和小于其發(fā)射頻率（），它們與標(biāo)準(zhǔn)頻率()形成拍的拍頻將隨著增大（若>）或減?。ㄈ簦?，揚(yáng)聲器發(fā)出的拍音也隨之變短或變長(zhǎng)。習(xí)題44-1．在容積的容器中盛有理想氣體，氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一部分氣體后，氣壓下降了0.78atm解：根據(jù)題意，可知：，，。由于溫度不變，∴，有：，那么，逃出的氣體在下體積為：，這部分氣體在下體積為：則排除的氣體的質(zhì)量為：。根據(jù)題意，可得：，4-2．有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg解：平衡時(shí)，兩邊氫、氧氣體的壓強(qiáng)、體積、溫度相同，利用，知兩氣體摩爾數(shù)相同，即：，∴，代入數(shù)據(jù)有：。4-3．如圖所示，兩容器的體積相同，裝有相同質(zhì)量的氮?dú)夂脱鯕?。用一?nèi)壁光滑的水平細(xì)玻璃管相通，管的正中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間，并維持氧氣溫度比氮?dú)鉁囟雀?0oC，則氮?dú)獾臏囟葢?yīng)是多少？解：已知氮?dú)夂脱鯕赓|(zhì)量相同，水銀滴停留在管的正中央，則體積和壓強(qiáng)相同，如圖。由：，有：，而：，，可得：。4-4．高壓氧瓶：，，每天用，，為保證瓶?jī)?nèi)，能用幾天？解：由，可得：，∴；而：，有：，那么：能用的天數(shù)為天。4-5．氫分子的質(zhì)量為，如果每秒有個(gè)氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的)，則器壁所承受的壓強(qiáng)為多少？解：由：，再根據(jù)氣體壓強(qiáng)公式：，有：。4-6．一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)，溫度，求容器內(nèi)氧氣的（1）分子數(shù)密度；（2）分子間的平均距離；（3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（4）分子的方均根速度。解：（1）由氣體狀態(tài)方程得：；（2）分子間的平均距離可近似計(jì)算：；（3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：；（4）分子的方均根速度：。4-7．已知某種理想氣體，其分子方均根率為，當(dāng)其壓強(qiáng)為時(shí)，求氣體的密度。解：∵，由氣體方程：，又∵，∴。4-8．金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)（與容器中的氣體分子類似），設(shè)金屬中共有大速率電子速率在之間的概率為：，式中為常數(shù)．則電子的平均速率為多少？解：由平均速率的定義：，考慮到：，有：。4-9．大量粒子（個(gè)）的速率分布函數(shù)圖象如圖所示，試求：（1）速率小于的分子數(shù)約為多少？（2）速率處在到之間的分子數(shù)約為多少？（3）所有個(gè)粒子的平均速率為多少？（4）速率大于的那些分子的平均速率為多少？解：根據(jù)圖像信息，注意到。圖形所圍的面積為分子的全部數(shù)目，有：，所以，利用，有：，。（1）速率小于的分子數(shù)：個(gè)；（2）速率處在到之間的分子數(shù)：個(gè)；【或：】（3）所有個(gè)粒子的平均速率：先寫出這個(gè)分段函數(shù)的表達(dá)式：由平均速率定義：，有：；（4）速率大于的那些分子的平均速率：。4-10．在麥克斯韋分布下，（1）計(jì)算溫度和時(shí)氧氣分子最可幾速率和；（2）計(jì)算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；（3）計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。解：根據(jù)最可幾速率的定義：（1）溫度：，：；（2）在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù)：，代入：，代入：；（3）計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。將，代入：得：。4-11．在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和氦氣的體積比，則其內(nèi)能之比為多少？解：根據(jù)，有：，因題設(shè)條件為，，可得：，又∵氦氣是單原子分子，知：，那么內(nèi)能之比為：。4-12．水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O→H2+0.5O2，內(nèi)能增加了多少？解：水蒸氣分解后，一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能，而水分子的自由度為6，氫氣和氧氣作為剛性雙原子分子，其自由度均為5，利用氣體內(nèi)能公式：，所以內(nèi)能的變化為：。4-13．體積為的鋼瓶中盛有氧氣（視為剛性雙原子氣體），使用一段時(shí)間后，測(cè)得瓶中氣體的壓強(qiáng)為，此時(shí)氧氣的內(nèi)能為多少？解：由理想氣體狀態(tài)方程：，以及雙原子氣體內(nèi)能公式：，可得到：。思考題4-1．氣體在平衡狀態(tài)時(shí)有何特征？平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有什么不同？氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中所指的平衡有什么不同？答：平衡態(tài)的特征：（1）系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換（2）系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變。熱平衡態(tài)是指：在無外界的影響下，不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。它與穩(wěn)定態(tài)或力學(xué)中的平衡不是一個(gè)概念。1．平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的，它們?nèi)栽谧鳠徇\(yùn)動(dòng)，而且因?yàn)榕鲎?，每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變。例如：粒子數(shù)問題：箱子假想分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時(shí)，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。2．平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)。4-2．對(duì)一定量的氣體來說，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小面增大；當(dāng)體積不變時(shí)，壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大。從宏觀來看，這兩種變化同樣使壓強(qiáng)增大；從微觀來看，它們是否有區(qū)別?答：有區(qū)別。從微觀上看：當(dāng)溫度不變時(shí)，氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小而增大是因?yàn)椋寒?dāng)一定時(shí)，體積減小，n越大，即單位時(shí)間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多，則P就越大；當(dāng)體積不變時(shí)，壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大是因?yàn)椋寒?dāng)n一定時(shí)，越大，即單位時(shí)間內(nèi)分子對(duì)器壁的碰撞越厲害，則P就越大。4-3．在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式的過程中，什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念？壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是什么?答：壓強(qiáng)的求解公式中用到了理想氣體的分子模型，把分子作為質(zhì)點(diǎn)來研究；對(duì)每個(gè)分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念；從一個(gè)分子對(duì)器壁的作用力推廣到所有分子對(duì)器壁的作用力，計(jì)算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念；壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的平均效果，是對(duì)大量分子對(duì)時(shí)間對(duì)面積的一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值。對(duì)一個(gè)分子而言，它對(duì)器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的統(tǒng)計(jì)平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強(qiáng)。4-4．容器內(nèi)有質(zhì)量為，摩爾質(zhì)量為的理想氣體，設(shè)容器以速度作定向運(yùn)動(dòng)，今使容器突然停止，問：（1）氣體的定向運(yùn)動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化什么形式的能量？（2）下面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少？eq\o\ac(○,1)單原子分子；②雙原子分子；（3）如果容器再?gòu)撵o止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會(huì)改變?為什么?答：（1）一般來說，氣體的宏觀運(yùn)動(dòng)不會(huì)影響其微觀的內(nèi)動(dòng)能，但是當(dāng)容器忽然停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，大量分子的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運(yùn)動(dòng)的能量，會(huì)使容器內(nèi)氣體的問題有所升高。（2），所以：，溫度增加多少，其速度平方的平均值也做相應(yīng)的增加。（3）宏觀量溫度是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度，分子熱運(yùn)動(dòng)是相對(duì)質(zhì)心參照系的，平動(dòng)動(dòng)能是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能．溫度與系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)無關(guān)．所以當(dāng)容器再?gòu)撵o止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會(huì)改變。4-5．?dāng)⑹鱿铝惺降奈锢硪饬x：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.答：（1）在平衡態(tài)下，分子熱運(yùn)動(dòng)能量平均地分配在分子每一個(gè)自由度上的能量均為；（2）在平衡態(tài)下，分子平均平動(dòng)動(dòng)能；（3）在平衡態(tài)下，自由度為i的分子平均總能量；（4）1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為；（5）由質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。（6）由質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。4-6．氦氣、氧氣分子數(shù)均為，，速率分布曲線如圖，且陰影面積為，求：（1）哪條是氦氣的速率分布曲線？（2）；（3）的意義？（4）為多少？對(duì)應(yīng)的物理意義是什么？答：（1）由可知，對(duì)于氧氣和氦氣，即使，氦氣的還是大于氧氣，所以圖形中，大的曲線是氦氣，即B圖是氦氣的；（2）；（3）的意義：在這速率附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的氦氣和氧氣的分子數(shù)相同；（4）為在v0右邊的兩曲線的面積差乘以N，對(duì)應(yīng)的物理意義是v0→∞的速率區(qū)間內(nèi)氦氣分子比氧氣分子多多少個(gè)。4-7．兩種理想氣體分子數(shù)分別為和，某一溫度下，速率分布函數(shù)分別為和，問此溫度下和組成系統(tǒng)的速率分布函數(shù)如何？答：。習(xí)題55-1．容器的體積為2V0，絕熱板C將其隔為體積相等的A、B兩個(gè)部分，A內(nèi)儲(chǔ)有1mol單原子理想氣體，B內(nèi)儲(chǔ)有2mol雙原子理想氣體，A、B兩部分的壓強(qiáng)均為p0。（1）求A、B兩部分氣體各自的內(nèi)能；（2）現(xiàn)抽出絕熱板C，求兩種氣體混合后達(dá)到平衡時(shí)的壓強(qiáng)和溫度。解：（1）由理想氣體內(nèi)能公式：A中氣體為1mol單原子理想氣體：，B中氣體為2mol雙原子理想氣體：；（2）混合前總內(nèi)能：，由于，，∴，則：；混合后內(nèi)能不變，設(shè)溫度為，有：∴；。5-2．1mol單原子理想氣體從300K加熱至350K，問在以下兩個(gè)過程中各吸收了多少熱量？增加了多少內(nèi)能？對(duì)外做了多少功？（1）容積保持不變；（2）壓強(qiáng)保持不變。解：（1）等容升溫過程做功：內(nèi)能變化：吸熱：（2）等壓升溫過程做功：內(nèi)能變化：吸熱：5-3．1g氦氣中加進(jìn)1J的熱量，若氦氣壓強(qiáng)無變化，它的初始溫度為200K，求它的溫度升高多少？解：等壓過程5-4．如圖所示，、是絕熱過程，是等溫過程，是任意過程，組成一個(gè)循環(huán)。若圖中所包圍的面積為，所包圍的面積為，CEA過程中系統(tǒng)放熱，求過程中系統(tǒng)吸熱為多少？解：由題意可知在整個(gè)循環(huán)過程中內(nèi)能不變，圖中為正循環(huán)，所包圍的面積為，則意味著這個(gè)過程對(duì)外作功為；為逆循環(huán)，所包圍的面積為，則意味著這個(gè)過程外界對(duì)它作功為，所以整個(gè)循環(huán)中，系統(tǒng)對(duì)外作功是。而在這個(gè)循環(huán)中，、是絕熱過程，沒有熱量的交換，所以如果CEA過程中系統(tǒng)放熱，由熱力學(xué)第一定律，則過程中系統(tǒng)吸熱為：。5-5．如圖所示，已知圖中畫不同斜線的兩部分的面積分別為和。（1）如果氣體的膨脹過程為a─1─b，則氣體對(duì)外做功多少？（2）如果氣體進(jìn)行a─2─b─1─a的循環(huán)過程，則它對(duì)外做功又為多少？解：根據(jù)作功的定義，在P—V圖形中曲線圍成的面積就是氣體在這一過程所作的功。則：（1）如果氣體的膨脹過程為a─1─b，則氣體對(duì)外做功為S1+S2。（2）如果氣體進(jìn)行a─2─b─1─a的循環(huán)過程，此循環(huán)是逆循環(huán)，則它對(duì)外做功為：－S1。5-6．一系統(tǒng)由如圖所示的狀態(tài)沿到達(dá)狀態(tài)，有熱量傳入系統(tǒng)，系統(tǒng)做功。（1）經(jīng)過程，系統(tǒng)做功，問有多少熱量傳入系統(tǒng)?（2）當(dāng)系統(tǒng)由狀態(tài)沿曲線返回狀態(tài)時(shí)，外界對(duì)系統(tǒng)做功為，試問系統(tǒng)是吸熱還是放熱？熱量傳遞了多少?解：（1）由acb過程可求出b態(tài)和a態(tài)的內(nèi)能之差：，adb過程，系統(tǒng)作功：，則：，系統(tǒng)吸收熱量；（2）曲線ba過程，外界對(duì)系統(tǒng)作功：，則：，系統(tǒng)放熱。5-7某單原子分子理想氣體在等壓過程中吸熱QP=200J。求在此過程中氣體對(duì)外做的功W。解：氣體在等壓過程中吸熱：內(nèi)能變化為：由熱力學(xué)第一定律：那么，∴，對(duì)于單原子理想氣體，，有。5-8．溫度為25℃、壓強(qiáng)為1atm的1mol剛性雙原子分子理想氣體，經(jīng)等溫過程體積膨脹至原來的3倍。（1）計(jì)算該過程中氣體對(duì)外的功；（2）假設(shè)氣體經(jīng)絕熱過程體積膨脹至原來的3倍，那么氣體對(duì)外的功又是多少？解：（1）在等溫過程氣體對(duì)外作功：；（2）在絕熱過程中氣體對(duì)外做功為：由絕熱過程中溫度和體積的關(guān)系，考慮到，可得溫度：代入上式：5-9．汽缸內(nèi)有2mol氦氣，初始溫度為27℃，體積為20L（1）在該過程中氦氣吸熱多少？（2）氦氣的內(nèi)能變化是多少？（3）氦氣所做的總功是多少？解：（1）在定壓膨脹過程中，隨著體積加倍，則溫度也加倍，所以該過程吸收的熱量為：而接下來的絕熱過程不吸收熱量，所以本題結(jié)果如上；（2）理想氣體內(nèi)能為溫度的單值函數(shù)。由于經(jīng)過剛才的一系列變化，溫度回到原來的值，所以內(nèi)能變化為零。（3）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，那么氦氣所做的總功就等于所吸收的熱量為：。5-10．一側(cè)面絕熱的氣缸內(nèi)盛有1mol的單原子分子理想氣體，氣體的溫度，活塞外氣壓，活塞面積，活塞質(zhì)量(活塞絕熱、不漏氣且與氣缸壁的摩擦可忽略)。由于氣缸內(nèi)小突起物的阻礙，活塞起初停在距氣缸底部為處．今從底部極緩慢地加熱氣缸中的氣體，使活塞上升了的一段距離，如圖所示。試通過計(jì)算指出：（1）氣缸中的氣體經(jīng)歷的是什么過程？（2）氣缸中的氣體在整個(gè)過程中吸了多少熱量？解：（1）可分析出起初氣缸中的氣體的壓強(qiáng)由于小于P2（P2=外界壓強(qiáng)+活塞重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)），所以體積不會(huì)變，是一個(gè)等容升溫的過程，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到P2時(shí)，它將繼續(xù)做一個(gè)等壓膨脹的過程，則氣缸中的氣體的過程為：等容升溫+等壓膨脹；（2），，等容升溫：，等壓膨脹：，∴。5-11．一定量的理想氣體，從態(tài)出發(fā)，經(jīng)圖中所示的過程到達(dá)態(tài)，試求在這過程中，該氣體吸收的熱量。解：分析A、B兩點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)，很容易發(fā)現(xiàn)A、B兩點(diǎn)的溫度相同，所以A、B兩點(diǎn)的內(nèi)能相同，那么，在該過程中，該氣體吸收的熱量就等于這一過程對(duì)外界所做的功，也就是ACDB曲線所圍成的面積。則：。5-12．設(shè)一動(dòng)力暖氣裝置由一臺(tái)卡諾熱機(jī)和一臺(tái)卡諾制冷機(jī)組合而成。熱機(jī)靠燃料燃燒時(shí)釋放的熱量工作并向暖氣系統(tǒng)中的水放熱，同時(shí)，熱機(jī)帶動(dòng)制冷機(jī)。制冷機(jī)自天然蓄水池中吸熱，也向暖氣系統(tǒng)放熱。假定熱機(jī)鍋爐的溫度為，天然蓄水池中水的溫度為，暖氣系統(tǒng)的溫度為，熱機(jī)從燃料燃燒時(shí)獲得熱量，計(jì)算暖氣系統(tǒng)所得熱量。解：由題中知已知條件：，，，。那么，由卡諾效率：，有：，得：；而制冷機(jī)的制冷系數(shù)：，有：考慮到則：，得：，有制冷機(jī)向暖氣系統(tǒng)放熱為：∴暖氣系統(tǒng)所得熱量：。5-13．如圖，abcda為1mol單原子分子理想氣體的循環(huán)過程，求：（1）氣體循環(huán)一次，在吸熱過程中從外界共吸收的熱量；（2）氣體循環(huán)一次做的凈功；（3）證明TaTc=TbTd。解：（1）過程ab與bc為吸熱過程，吸熱總和為：；（2）循環(huán)過程對(duì)外所作總功為圖中矩形面積：；（3）由理想氣體狀態(tài)方程：，有：，，，，∴，，有：；5-14如圖所示，一摩爾單原子理想氣體經(jīng)等壓、絕熱、等容和等溫過程組成的循環(huán)abcda，圖中a、b、c、d各狀態(tài)的溫度、、、均為已知，abo包圍的面積和ocd包圍的面積大小均為A。在等溫過程中系統(tǒng)吸熱還是放熱？其數(shù)值為多少？解：如圖，循環(huán)過程abcda可看成兩個(gè)循環(huán)，abo為正循環(huán)，ocd為逆循環(huán)，由于abo包圍的面積和ocd包圍的面積大小均為A，∴循環(huán)過程abcda對(duì)外做功為零，則系統(tǒng)完成一個(gè)循環(huán)過程后，熱量的代數(shù)和亦為零，即：（1）a→b等壓過程：由圖可見，，溫度升高，吸熱：（2）b→c絕熱過程：（3）c→d等容過程：由圖可見，，溫度升高，吸熱：（4）d→a等溫過程：∴，負(fù)號(hào)表明放熱。答：在等溫過程d→a中系統(tǒng)是放熱，數(shù)值為。答案：放熱，。5-15．一可逆卡諾機(jī)的高溫?zé)嵩礈囟葹?27℃，低溫?zé)嵩礈囟葹?7℃，其每次循環(huán)對(duì)外做的凈功為8000J。今維持低溫?zé)嵩礈囟炔蛔儯岣吒邷責(zé)嵩吹臏囟?，使其每次循環(huán)對(duì)外做的凈功為10000J，若兩個(gè)卡諾循環(huán)都工作在相同的兩條絕熱線之間。求：（1）第二個(gè)熱循環(huán)機(jī)的效率；（2）第二個(gè)循環(huán)高溫?zé)嵩吹臏囟?。解：根?jù)卡諾循環(huán)效率公式：，而：，有：，由于在同樣的絕熱線之間，且維持低溫?zé)嵩礈囟炔蛔?，他們向低溫?zé)嵩次盏臒崃肯嗟龋缘诙€(gè)熱機(jī)的效率為：，再考慮到它是通過提高高溫?zé)嵩吹臏囟冗_(dá)到目的的，可利用，有：5-16．1mol理想氣體沿如圖所示的路徑由體積變?yōu)椋?jì)算各過程氣體的熵變。其中a為等溫過程，b由等壓過程和等容過程構(gòu)成，c由絕熱過程和等壓過程構(gòu)成。解：(a)等溫過程，理想氣體內(nèi)能不變，(b)13為等容過程，32為等壓過程，，所以(3)14為絕熱過程，42為等壓過程狀態(tài)4、1在同一條絕熱線上，狀態(tài)4、2的壓強(qiáng)相等，利用絕熱過程方程后可得由上可見，沿三個(gè)過程的熵變相等。5-17.一絕熱容器被銅片分成兩部分，一邊盛有80°C的水，另一邊盛解：5-18.把質(zhì)量為5kg、比熱容（單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容）為544J/(kg?°C)的鐵棒加熱到300°C，然后浸入一大桶解：假設(shè)一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)降溫過程，-1760J/K5-19.兩個(gè)體積相同的容器分別盛有1mol不同的理想氣體，它們的壓強(qiáng)與溫度都相同，將兩個(gè)容器連通后氣體將相互擴(kuò)散，求最終系統(tǒng)的總熵變。解：氣體擴(kuò)散是不可逆過程，但是由于擴(kuò)散后氣體的溫度將保持不變，因此可以假設(shè)兩種氣體各自經(jīng)歷一個(gè)等溫膨脹過程，體積從V變?yōu)?V。氣體經(jīng)歷等溫膨脹過程，熵變?yōu)樽罱K系統(tǒng)的總熵變?yōu)樗伎碱}5-1．一定量的理想氣體，開始時(shí)處于壓強(qiáng)，體積，溫度分別為，，的平衡態(tài)，后來變到壓強(qiáng)，體積，溫度分別為，，的終態(tài)。若已知>，且=，則以下各種說法中正確的是：(A)不論經(jīng)歷的是什么過程，氣體對(duì)外凈作的功一定為正值；(B)不論經(jīng)歷的是什么過程，氣體從外界凈吸的熱一定為正值；(C)若氣體從始態(tài)變到終態(tài)經(jīng)歷的是等溫過程，則氣體吸收的熱量最少；(D)如果不給定氣體所經(jīng)歷的是什么過程，則氣體在過程中對(duì)外凈作功和從外界凈吸熱的正負(fù)皆無法判斷。答：如果不給定過程，我們只能根據(jù)=，得知這一過程中內(nèi)能不變，但是作功情況無法由>得出，因?yàn)樽鞴Φ挠?jì)算與過程的選擇有關(guān)，本題選擇D。10-2．一定量理想氣體，從同一狀態(tài)開始把其體積由壓縮到，分別經(jīng)歷以下三種過程：（1）等壓過程；（2）等溫過程；（3）絕熱過程。其中：什么過程外界對(duì)氣體作功最多；什么過程氣體內(nèi)能減小最多；什么過程氣體放熱最多？答：由畫圖可以直接看出：（3）絕熱過程中，外界對(duì)氣體作功最多；（3）絕熱過程中，氣體內(nèi)能減小最多；（2）等溫過程中，氣體放熱最多。5-3．一定量的理想氣體，從圖上初態(tài)經(jīng)歷（1）或（2）過程到達(dá)末態(tài)，已知、兩態(tài)處于同一條絕熱線上（圖中虛線是絕熱線），則氣體在（A）（1）過程中吸熱，（2）過程中放熱；（B）（1）過程中放熱，（2）過程中吸熱；（C）兩種過程中都吸熱；（D）兩種過程中都放熱。答：從題意可以知道，、兩態(tài)處于同一條絕熱線上，圖中虛線是絕熱線，所以這條虛線圍成的面積。對(duì)應(yīng)（1）過程，，從圖上可以看出：，所以，也就是，這就是放熱過程。對(duì)應(yīng)（2）過程，，從圖上可以看出：，所以，也就是，這就是吸熱過程。所以本題選擇B。5-4．試說明為什么氣體熱容的數(shù)值可以有無窮多個(gè)？什么情況下氣體的熱容為零?什么情況下氣體的熱容是無窮大?什么情況下是正值?什么情況下是負(fù)值?答：根據(jù)氣體熱容的定義：系統(tǒng)在某一無限小過程中吸收熱量dQ與溫度變化dT的比值稱為系統(tǒng)在該過程的熱容量。而從T1的溫度變化到T2可以經(jīng)歷無窮多個(gè)過程，每個(gè)過程的吸收熱量都可能不同。所以就不一樣。當(dāng)氣體溫度變化而不吸收熱量時(shí)，氣體的熱容為零，比如絕熱膨脹。當(dāng)氣體的溫度不變而吸收熱量時(shí)，氣體的熱容無窮大，比如等溫變化。當(dāng)氣體溫度升高，但為放熱過程時(shí)，熱容為負(fù)值。5-5．一卡諾機(jī)，將它作熱機(jī)使用時(shí)，如果工作的兩熱源的溫度差愈大，則對(duì)做功就愈有利；如將它當(dāng)作制冷機(jī)使用時(shí)，如果兩熱源的溫度差愈大，對(duì)于制冷機(jī)是否也愈有利？為什么？答：卡諾熱機(jī)：所以溫差越大，就越小，就越大；但是對(duì)于制冷機(jī)：卡諾逆循環(huán)的致冷系數(shù)：，溫差越大，則越小，提取同樣的熱量，則所需作功也越多，對(duì)致冷是不利的．5-6．卡諾循環(huán)1、2，如圖所示.若包圍面積相同，功、效率是否相同？答：封閉曲線所包圍的面積表示循環(huán)過程中所做的凈功．若包圍面積相同，則兩次循環(huán)所做的功相同。但由于，面積相同，效率不一定相同，因?yàn)檫€與吸熱有關(guān)。5-7．一條等溫線和一條絕熱線有可能相交兩次嗎?為什么？答：不可能。（1）由熱力學(xué)第一定律有：，若有兩個(gè)交點(diǎn)a和b，則：經(jīng)等溫a→b過程有：，經(jīng)絕熱a→b過程：，，從上得出，這與a，b兩點(diǎn)的內(nèi)能變化應(yīng)該相同矛盾。（2）若兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則組成閉合曲線而構(gòu)成了一循環(huán)過程，這循環(huán)過程只有吸熱，無放熱，且對(duì)外做正功，熱機(jī)效率為100％，違背了熱力學(xué)第二定律。5-8．所謂第二類永動(dòng)機(jī)是指什么？它不可能制成是因?yàn)檫`背了什么關(guān)系？答：第二類永動(dòng)機(jī)：從一個(gè)熱源吸熱并全部變?yōu)楣?。違背熱力學(xué)第二定律，所以無法造成。5-9.在日常生活中，經(jīng)常遇到一些單方向的過程，如（1）桌子熱餐變涼；（2）無支持的物體自由下落；（3）木頭或其他燃料的燃燒。它們是否都與熱力學(xué)第二定律有關(guān)？在這些過程中熵變是否存在？如果存在，是增大還是減小？答：這些過程都是不可逆過程，遵守?zé)崃W(xué)第二定律，系統(tǒng)的熵都增大了。5-10.一杯熱水放在空氣中，它總是冷卻到與周圍環(huán)境相同的溫度，因?yàn)樘幱诒戎車鷾囟雀呋虻偷母怕识驾^小，而與周圍同溫度的平衡卻是最概然狀態(tài)，但是這杯水的熵卻是減小了，這與熵增加原理有無矛盾？答：周圍環(huán)境的熵增大了，且水和環(huán)境組成系統(tǒng)的總熵一定增加了，因此與熵增加原理不矛盾。習(xí)題66-1．直角三角形的點(diǎn)上，有電荷，點(diǎn)上有電荷，試求點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度(設(shè)，)。解：在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：，在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：，∴點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：；點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)：，方向如圖：。6-2．用細(xì)的塑料棒彎成半徑為的圓環(huán)，兩端間空隙為，電量為的正電荷均勻分布在棒上，求圓心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。解：∵棒長(zhǎng)為，∴電荷線密度：可利用補(bǔ)償法，若有一均勻帶電閉合線圈，則圓心處的合場(chǎng)強(qiáng)為0，有一段空隙，則圓心處場(chǎng)強(qiáng)等于閉合線圈產(chǎn)生電場(chǎng)再減去長(zhǎng)的帶電棒在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，即所求問題轉(zhuǎn)化為求缺口處帶負(fù)電荷的塑料棒在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。解法1：利用微元積分：，∴；解法2：直接利用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式：由于，該小段可看成點(diǎn)電荷：，則圓心處場(chǎng)強(qiáng)：。方向由圓心指向縫隙處。6-3．將一“無限長(zhǎng)”帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電荷線密度為，四分之一圓弧的半徑為，試求圓心點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)，如圖所示。①對(duì)于半無限長(zhǎng)導(dǎo)線在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：有：②對(duì)于半無限長(zhǎng)導(dǎo)線在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：有：③對(duì)于圓弧在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：有：∴總場(chǎng)強(qiáng)：，，得：?；?qū)懗蓤?chǎng)強(qiáng)：，方向。6-4．一個(gè)半徑為的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為，求環(huán)心處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E。解：電荷元dq產(chǎn)生的場(chǎng)為：；根據(jù)對(duì)稱性有：，則：，方向沿軸正向。即：。6-5．一半徑為的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為，求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：如圖，把球面分割成許多球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為，所帶電荷：。利用例11-3結(jié)論，有：∴，化簡(jiǎn)計(jì)算得：，∴。6-6．圖示一厚度為的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。求板內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫出場(chǎng)強(qiáng)隨坐標(biāo)變化的圖線，即圖線(設(shè)原點(diǎn)在帶電平板的中央平面上，軸垂直于平板)。解：在平板內(nèi)作一個(gè)被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面為高斯面，當(dāng)時(shí)，由和，有：；當(dāng)時(shí)，由和，有：。圖像見右。6-7．在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，取一半徑為的圓形平面(如圖所示)，平面到的距離為，試計(jì)算通過該平面的的通量.解：通過圓平面的電通量與通過與為圓心、為半徑、圓的平面為周界的球冠面的電通量相同。【先推導(dǎo)球冠的面積：如圖，令球面的半徑為，有，球冠面一條微元同心圓帶面積為：∴球冠面的面積：】∵球面面積為：，通過閉合球面的電通量為：，由：，∴。6-8．半徑為和（）的兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度分別帶有電量和，試求：（1）；（2）；（3）處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：利用高斯定律：。（1）時(shí)，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以：；（2）時(shí)，利用高斯定律及對(duì)稱性，有：，則：；（3）時(shí)，利用高斯定律及對(duì)稱性，有：，則：；即：。6-9．電荷量Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心處（）P點(diǎn)的電勢(shì)。解：利用高斯定律：可求電場(chǎng)的分布。（1）時(shí)，；有：；（2）時(shí)，；有：；離球心處（）的電勢(shì)：，即：。6-10．圖示為一個(gè)均勻帶電的球殼，其電荷體密度為，球殼內(nèi)表面半徑為，外表面半徑為．設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)。解：當(dāng)時(shí)，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，有：，以無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，有：。6-11．電荷以相同的面密度分布在半徑為和的兩個(gè)同心球面上，設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，球心處的電勢(shì)為。（1）求電荷面密度；（2）若要使球心處的電勢(shì)也為零，外球面上電荷面密度為多少？（）解：（1）當(dāng)時(shí)，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當(dāng)時(shí)，利用高斯定理可求得：，當(dāng)時(shí)，可求得：，∴那么：（2）設(shè)外球面上放電后電荷密度，則有：，∴則應(yīng)放掉電荷為：。6-12．如圖所示，半徑為的均勻帶電球面，帶有電荷，沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長(zhǎng)度為，細(xì)線左端離球心距離為。設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場(chǎng)力和細(xì)線在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零）。解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一均勻帶電細(xì)線的方向?yàn)檩S，均勻帶電球面在球面外的場(chǎng)強(qiáng)分布為：（）。取細(xì)線上的微元：，有：，∴（為方向上的單位矢量）（2）∵均勻帶電球面在球面外的電勢(shì)分布為：（，為電勢(shì)零點(diǎn)）。對(duì)細(xì)線上的微元，所具有的電勢(shì)能為：，∴。6-13．如圖所示，一個(gè)半徑為的均勻帶電圓板，其電荷面密度為(＞0)今有一質(zhì)量為，電荷為的粒子(＞0)沿圓板軸線(軸)方向向圓板運(yùn)動(dòng)，已知在距圓心（也是軸原點(diǎn)）為的位置上時(shí)，粒子的速度為，求粒子擊中圓板時(shí)的速度(設(shè)圓板帶電的均勻性始終不變)。解：均勻帶電圓板在其垂直于面的軸線上處產(chǎn)生的電勢(shì)為：，那么，，由能量守恒定律，，有：6-14．一半徑為米的孤立導(dǎo)體球，已知其電勢(shì)為(以無窮遠(yuǎn)為零電勢(shì))，計(jì)算球表面的面電荷密度。解：由于導(dǎo)體球是一個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體電荷分布在球表面，∴電勢(shì)為：，則：。6-15．半徑，帶電量的金屬球，被一同心導(dǎo)體球殼包圍，球殼內(nèi)半徑，外半徑，帶電量。試求距球心r處的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)。（1）（2）（3）。解：由高斯定理，可求出場(chǎng)強(qiáng)分布：∴電勢(shì)的分布為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴（1），適用于情況，有：，；（2），適用于情況，有：，；（3），適用于情況，有：，。6-16．兩塊帶有異號(hào)電荷的金屬板和，相距，兩板面積都是，電量分別為，板接地，略去邊緣效應(yīng)，求：（1）板的電勢(shì)；（2）間離板處的電勢(shì)。解：（1）由有：，則：，而，∴，離板處的電勢(shì)：6-17．同軸傳輸線是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱(內(nèi))和圓筒(外)構(gòu)成，設(shè)內(nèi)圓柱半徑為，電勢(shì)為，外圓筒的內(nèi)半徑為，電勢(shì)為.求其離軸為處(<<)的電勢(shì)。解：∵<<處電場(chǎng)強(qiáng)度為：，∴內(nèi)外圓柱間電勢(shì)差為：則：同理，處的電勢(shì)為：（*）∴?！咀ⅲ荷鲜揭部梢宰冃螢椋海c書后答案相同，或?qū)ⅲ?）式用：計(jì)算，結(jié)果如上】6-18．半徑分別為a和b的兩個(gè)金屬球，它們的間距比本身線度大得多，今用一細(xì)導(dǎo)線將兩者相連接，并給系統(tǒng)帶上電荷Q，求：（1）每個(gè)求上分配到的電荷是多少？（2）按電容定義式，計(jì)算此系統(tǒng)的電容。解：（1）首先考慮a和b的兩個(gè)金屬球?yàn)楣铝?dǎo)體，由于有細(xì)導(dǎo)線相連，兩球電勢(shì)相等：┄①，再由系統(tǒng)電荷為Q，有：┄②兩式聯(lián)立得：，；（2）根據(jù)電容的定義：（或），將（1）結(jié)論代入，有：。6-19.利用電場(chǎng)能量密度計(jì)算均勻帶電球體的靜電能，設(shè)球體半徑為R，帶電量為Q。解：首先求出場(chǎng)強(qiáng)分布：∴。6-20．球形電容器內(nèi)外半徑分別為和，充有電量。（1）求電容器內(nèi)電場(chǎng)的總能量；（2）證明此結(jié)果與按算得的電容器所儲(chǔ)電能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球內(nèi)空間的場(chǎng)強(qiáng)為：，（）利用電場(chǎng)能量密度，有電容器內(nèi)電場(chǎng)的能量：；（2）由，則球形電容器的電容為：，那么，。（與前面結(jié)果一樣）思考題66-1．兩個(gè)點(diǎn)電荷分別帶電和，相距，試問將第三個(gè)點(diǎn)電荷放在何處它所受合力為零?答：由，解得：，即離點(diǎn)電荷的距離為。6-2．下列幾個(gè)說法中哪一個(gè)是正確的？（A）電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向，就是將點(diǎn)電荷放在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向；（B）在以點(diǎn)電荷為中心的球面上，由該點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)處處相同；（C）場(chǎng)強(qiáng)方向可由定出，其中為試驗(yàn)電荷的電量，可正、可負(fù)，為試驗(yàn)電荷所受的電場(chǎng)力；（D）以上說法都不正確。答：（C）6-3．真空中一半徑為的的均勻帶電球面,總電量為(＜0)，今在球面面上挖去非常小的一塊面積(連同電荷)，且假設(shè)不影響原來的電荷分布，則挖去后球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向.答：題意可知：，利用補(bǔ)償法，將挖去部分看成點(diǎn)電荷，有：，方向指向小面積元。6-4．三個(gè)點(diǎn)電荷、和在一直線上，相距均為，以與的中心作一半徑為的球面，為球面與直線的一個(gè)交點(diǎn)，如圖。求：(1)通過該球面的電通量；(2)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：(1)；(2)。6-5．有一邊長(zhǎng)為的正方形平面，在其中垂線上距中心點(diǎn)處，有一電荷為的正點(diǎn)電荷，如圖所示，則通過該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為多少？解：設(shè)想一下再加5個(gè)相同的正方形平面將圍在正方體的中心，通過此正方體閉合外表面的通量為：，那么，通過該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：。6-6．對(duì)靜電場(chǎng)高斯定理的理解，下列四種說法中哪一個(gè)是正確的？(A)如果通過高斯面的電通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷；(B)如果通過高斯面的電通量為零，則高斯面內(nèi)必?zé)o電荷；(C)如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度必處處為零；(D)如果高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷。答：(A)6-7．由真空中靜電場(chǎng)的高斯定理可知下面哪個(gè)說法是正確的？(A)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)一定為零；(B)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)一定都不為零；(C)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)不一定都為零；(D