高二數(shù)學(xué)：專題4-6 《數(shù)列》單元測(cè)試卷（B卷提升篇）【解析版】

專題4.6《數(shù)列》單元測(cè)試卷（B卷提升篇）（人教A版第二冊(cè),浙江專用）參考答案與試題解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．（2020·貴州畢節(jié)市·貴陽(yáng)一中高三月考（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=5，則=（）A．5 B．25 C．35 D．50【答案】B【解析】由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B2．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】C【解析】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值．而，所以，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤．故選:C．3．（2021·山東高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.4．（2020·河南高二月考（文））在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】∵，，∴，，，.∴該數(shù)列是周期數(shù)列，周期.又，∴，故選：A.5．（2020·貴州畢節(jié)市·貴陽(yáng)一中高三月考（理））古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問(wèn)日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學(xué)興趣小組依托某制造廠用織布機(jī)完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機(jī)織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】設(shè)該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設(shè)需要天織布總尺數(shù)達(dá)到165尺，則有整理得，解得.故選：D．6．（2020·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中（文））已知等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)之和是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，解得，又由，解得，所以，則，數(shù)列的前項(xiàng)之和為.故選：.7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積是負(fù)數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則．要使，即，可得，，∴n=23．則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積為負(fù)數(shù)的項(xiàng)是和，故選：C8．（2020·浙江高三月考）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知對(duì)都有成立，即，即又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D9．（2020·成都市·四川電子科大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以當(dāng)時(shí)，，，，，將上式累加得：，，即，又時(shí)，也適合，．故選：B．10．（2020·成都市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（西區(qū)）高一期中）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（）.A．8 B．9 C．11 D．10【答案】D【解析】由題意可知：，即，即，又，，即數(shù)列是以首項(xiàng)為9，公比為的等比數(shù)列，，即，，，則，即，又，滿足不等式的最小整數(shù)，即.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．（2019·四川省大竹中學(xué)高二期中（文））已知等比數(shù)列的公比，且，則_______________________.【答案】【解析】等比數(shù)列的公比且.故答案為：.12．（2020·浙江高一期末）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)古典名題“兩鼠穿墻”問(wèn)題：今有垣厚若千尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，若垣厚33尺，則兩鼠______日可相逢.【答案】6【解析】大老鼠打洞構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，小老鼠打洞構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，設(shè)相遇時(shí)是第n天，則，即，即，令，在上是增函數(shù)，又，所以相遇時(shí)是第6天，故答案為：613．（2020·成都市·四川電子科大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）朱載堉（1536-1611）是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍．設(shè)第三個(gè)音的頻率為，第七個(gè)音的頻率為，則______．【答案】【解析】由題知：一個(gè)八度13個(gè)音，且相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，可以將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項(xiàng)，且，最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，，，，．故答案為：14．（2020·全國(guó)高二）如圖所示，某地區(qū)為了綠化環(huán)境，在區(qū)域內(nèi)大面積植樹造林，第棵樹在點(diǎn)處，第棵樹在點(diǎn)處，第棵樹在點(diǎn)處，第棵樹在點(diǎn)處，根據(jù)此規(guī)律按圖中箭頭方向每隔個(gè)單位種棵樹，那么：（1）第棵樹所在點(diǎn)的坐標(biāo)是，則______；（2）第棵樹所在點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】（1）設(shè)為第一個(gè)正方形，種植棵樹，依次下去，第二個(gè)正方形種植棵樹，第三個(gè)正方形種植棵樹，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，個(gè)正方形有棵樹，由第棵樹所在點(diǎn)坐標(biāo)是，則；（2）由（1）可知正方形種植的樹，它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差為，故前個(gè)正方形共有棵樹，又，，，因此第棵樹在點(diǎn)處．15．（2020·浙江高一期末）若對(duì)任意，都有，（n為正整數(shù)），則_______.______.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意，都有，（n為正整數(shù)），所以當(dāng)時(shí)，，，所以，解得，所以或，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以是以1為首項(xiàng)，以-1為公比的等比數(shù)列，所以，兩式聯(lián)立得：，故答案為：0，16．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，且．（1）的通項(xiàng)公式為__________；（2）在這2019項(xiàng)中，被10除余2的項(xiàng)數(shù)為__________．【答案】403【解析】（1），且，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，．（2）被10除且余數(shù)為2的整數(shù)可表示為，令，可得，，且奇數(shù)，∴n為10的倍數(shù)或?yàn)?的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)．當(dāng)n為10的倍數(shù)時(shí)，n的取值有10、20、30、…、2010，共201個(gè)；當(dāng)為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)時(shí)，n的取值有8、18、28…、2018，共202個(gè)．綜上所述，在這2019項(xiàng)中，被10除余2的項(xiàng)數(shù)為201+202=403．故答案為：；40317．（2020·蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)高二期中）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第19項(xiàng)的值為____．此數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】觀察前10項(xiàng)可得，，，，，，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；又，，，，，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以.故答案為：；.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（2020·河南高二月考（文））已知公差不為零的等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前3項(xiàng)和為3，且，，成等比數(shù)列，所以解得∴.（2）∵，∴，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，∴.19．（2020·山西高三期中（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足（，），．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足（，），所以，整理得：，由于數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以（常數(shù)），所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，易見也適合該式．由于，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，n為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，所以．20．（2020·全國(guó)高二（文））已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，，則，，，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，∴，化簡(jiǎn)得，解得，則；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，，符合，當(dāng)時(shí)，，，綜上，當(dāng)時(shí)，．21．（2020·四川省都江堰中學(xué)高一期中）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.【答案】（1）證明見解析；；（2）8.【解析】（1）由取倒數(shù)得，即，所以為公差為的等差數(shù)列，.（2）當(dāng)時(shí)，，所以這樣有個(gè)，，，，兩式相減得：，所以為遞增數(shù)列.，，，所以最大正整數(shù)解為8.22．（2020·四川省成都市鹽道街中學(xué)高一期中）已知．（1）設(shè)，，求．（2）設(shè)，，且，問(wèn)是否存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任