2022屆全國高考甲卷數(shù)學理科試卷及答案

第=page1515頁，共=sectionpages1616頁第=page1616頁，共=sectionpages1616頁2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）數(shù)學（理科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）若z=?1+3i，則zzA.?1+3i B.?1?3i C.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則(

)A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70％

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差設(shè)全集U={?2,?1,0,1,2,3}，集合A={?1,2},B=x∣x2?4x+3=0，則A.{1,3} B.{0,3} C.{?2,1} D.{?2,0}如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為(

)A.8 B.12 C.16 D.20函數(shù)y=3x?3?xcosxA. B.

C. D.當x=1時，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則f′(2)=(A.?1 B.?12 C.12在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知B1D與平面A.AB=2AD

B.AB與平面AB1C1D所成的角為30?°

C.AC=C沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB?是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在AB?上，“會圓術(shù)”給出AB?的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CD2OA.當時，A.11?332

B.11?432

C.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若S甲A.5 B.22 C.10 D.橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線A.32 B.22 C.12設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+π3在區(qū)間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是A.53,136 B.53,已知a=3132,b=cos14A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=3，則2a若雙曲線y2?x2m2=1(m>0)的漸近線與圓從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為

．已知?ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當ACAB取得最小值時，BD=

三、解答題（本大題共7小題，共80.0分）記Sn為數(shù)列an的前n項和．已知(1)證明：an是等差數(shù)列；

(2)若a4,在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α?β取得最大值時，求直線AB的方程．已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t(t為參數(shù))，曲線(1)寫出C1(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ?sinθ=0，求C3與已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，則1a+11.【答案】C【解析】【分析】本題考查復數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：z=?1?zzz

2.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查統(tǒng)計圖和平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和極差的應用，考查讀圖能力、分析能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，逐一判斷每個選項即可．【解答】解：講座前中位數(shù)為70％+75％2>70％，所以A講座后問卷答題的正確率只有一個是80％,4個85％，剩下全部大于等于90％，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％，所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為100％?80％=20％，講座前問卷答題的正確率的極差為95％?60％=35％>20％，所以錯.

3.【答案】D【解析】【分析】本題考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：由題意，B=xx2?4x+3=0=1,3，所以A∪B=

4.【答案】B【解析】【分析】本題考查三視圖還原幾何體，及棱柱體積的求法，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積V=2+4

5.【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的辨別，是基礎(chǔ)題．【解答】解：令fx=3則f?x所以fx為奇函數(shù)，排除BD又當x∈0,π2時，3x?

6.【答案】B【解析】【分析】本題考查導數(shù)的最值問題，屬于中檔題．【解答】解：因為函數(shù)fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=?2，f′1=0，而f′x=ax?bx2，所以b=?2,a?b=0，即a=?2,b=?2，所以f′x=?2x+2x2，因此函數(shù)

7.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查線面角的求解，屬中檔題．

作出線面夾角的平面角，通過解三角形求出即可．【解答】解：如圖所示：不妨設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c，依題意及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B1DB，B1D與平面AA對于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，對于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面AB1對于C，AC=a2+b2=3對于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠DB1C

8.【答案】B【解析】【分析】本題考查根據(jù)題中所給公式求弧長的近似值，屬于基礎(chǔ)題．

先求出CD，AB的長度，再代入公式即可．【解答】解：如圖，連接OC，因為C是AB的中點，所以，又，所以O(shè),C,D三點共線，即OD=OA=OB=2，又，所以AB=OA=OB=2，則OC=3，故CD=2?所以s=AB+C

9.【答案】C【解析】【分析】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面積和體積的運算，利用公式代入計算即可．【解答】解：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2則S甲S乙又2πr1l+2π所以甲圓錐的高?1乙圓錐的高?2所以V甲

10.【答案】A【解析】【分析】本題考查橢圓的離心率，屬于中檔題．【解答】解：A?a,0，設(shè)Px1,y1則kAP故kAP又x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=c

11.【答案】C【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)的零點與最值問題．【解答】解：依題意可得ω>0，因為x∈0,π，所以ωx+π3要使函數(shù)在區(qū)間0,π恰有三個極值點、兩個零點，

又y=sinx，則5π2<ωπ+π3≤3π

12.【答案】A【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)比大小，屬于拔高題．【解答】解：因為cb=4tan14所以tan14>14設(shè)f(x)=cosf′(x)=?sinx+x>0，所以f(x)在則f14>f(0)所以b>a，所以c>b>a，

13.【答案】11【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：設(shè)a與b的夾角為θ，因為a與b的夾角的余弦值為13，即cosθ=1又a=1，b=3，所以所以2a

14.【答案】3【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的漸近線，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，表示出雙曲線的漸近線即圓的切線，再依據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求解參數(shù)．【解答】解：雙曲線y2?x2m2=1(m>0)的漸近線為y=±不妨取x+my=0，圓x2+y2?4y+3=0，

即x依題意圓心0,2到漸近線x+my=0的距離d=|2m|解得m=33或m=?3

15.【答案】6【解析】【分析】本題以正方體為載體考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：從正方體的8個頂點中任取4個，有n=C84=70個結(jié)果，這4個點在同一個平面的有m=6+6=12個，故所求概率

16.【答案】3?1(或【解析】【分析】本題考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，屬于較難題．【解答】解：設(shè)CD=2BD=2m>0，則在?ABD中，AB在?ACD中，AC所以A≥4?12當且僅當m+1=3m+1即所以當ACAB取最小值時，m=

17.【答案】解：(1)因為2Snn當n≥2時，2S①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1(2)由(1)可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當n=12或n=13時Sn【解析】本題考查等差數(shù)列的判定與等比數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和最值問題．

18.【答案】證明(1)∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BD，

取AB中點E，連接DE，可知DE=12AB=1，

∴CD/?/AB，CD=BE,CD//BE∴四邊形BCDE為平行四邊形，

∴DE=CB=1，

∵DE=12AB，

∴△ABD為直角三角形，AB為斜邊，

∴BD⊥AD，

∵PD∩AD=D

∴BD⊥平面解：(2)由(1)知，PD，AD，BD兩兩垂直，BD=AB2?AD2=3

建立空間直角坐標系如圖所示，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，

∴PD=(0,0,?3)，PA=(1,0,?3)，AB=(?1,3,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，則

x?3【解析】

本題考查線線垂直的判斷，用向量法求線面角正弦，屬于拔高題．

19.【答案】

解：(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C，所以甲學校獲得冠軍的概率為P=P=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，PX=0PX=10PX=20PX=30即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望EX【解析】本題考查相互獨立事件的概率、離散型隨機事件的分布列與均值，屬中檔題．

20.【答案】解：

(1)拋物線的準線為x=?p2，當MD與x軸垂直時，點M的橫坐標為此時|MF|=p+p2=3所以拋物線C的方程為y2(2)設(shè)M(y12由x=my+1y2=4x可得y由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=x1?2，所以y3=2y2所以k又因為直線MN、AB的傾斜角分別為α,β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈(0,π設(shè)kMN=2k當且僅當1k=2k即所以當α?β最大時，kAB=2代入拋物線方程可得y2，所以n=4，所以直線AB:x=2【解析】本題主要考查拋物線的定義與方程，以及直線與拋物線的位置及應用，屬于難題．

(1)利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；

(2)解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得出坐標間的關(guān)系．

21.【答案】解：(1)f(x)定義域為(0,+∞)，f′(x)=ex(x?1)x2?1x+1=(ex+x)(x?1)x2，

令f′(x)=0?x=1，所以當0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

當x>1時f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增;∴f(x)min=f(1)=e+1?a，要使得f(x)≥0恒成立，

即滿足f(x)min=e+1?a≥0?a?e+1．

(2)由(1)知要使f(x)有兩個零點，則f(x)min=f(1)=e+1?a<0?e+1?<a，

而f(x)=exx?ln?x+x?a=ex?lnx+x?lnx?a，

令t=x?lnx，則f(x)=et+t?a有兩個零點x1,x2等價于關(guān)于x的方程x?lnx=t0有兩個不相等的實根，

再令?(x)=x?lnx【解析】本題考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點，證明不等式等問題.屬于較難題．

22.【答案】解：(1)因為x=2+t6，y=t，所以x=2+y(2)因為x=?2+s6,y=?s，所以6x=?2?y由2cosθ?sinθ=0?2ρcos聯(lián)立y2=6x?