2020高中數(shù)學(xué) 第章 概率 .1 隨機(jī)事件及其概率講義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3。1隨機(jī)事件及其概率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。體會(huì)確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象的含義．2．了解必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件．3．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及概率與頻率的區(qū)別．（難點(diǎn))4．理解概率的統(tǒng)計(jì)定義，知道根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義計(jì)算概率的方法．（重點(diǎn))1。通過(guò)對(duì)事件性質(zhì)的判斷來(lái)鍛煉學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)．2．通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析、計(jì)算來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。1．隨機(jī)事件（1)確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下,事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象．在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生,也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果,這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象．（2)試驗(yàn)、事件一次試驗(yàn)就是對(duì)于某個(gè)現(xiàn)象的條件實(shí)現(xiàn)一次，例如對(duì)“擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面"這個(gè)現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，做一次試驗(yàn)就是將硬幣拋擲一次．而試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，都是一個(gè)事件．(3）必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件在一定條件下,必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件;在一定條件下，肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件．我們用A，B，C等大寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)事件，如我們記“某人射擊一次，中靶”為事件A．2．隨機(jī)事件的概率(1）頻數(shù)與頻率在一定條件下，重復(fù)進(jìn)行了n次試驗(yàn)，如果某一事件A出現(xiàn)了m次，則事件A出現(xiàn)的頻數(shù)是m，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比例eq\f(m,n）為事件A出現(xiàn)的頻率．（2)概率的統(tǒng)計(jì)定義一般地，如果隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)事件A發(fā)生的頻率eq\f(m，n）趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加越來(lái)越穩(wěn)定，我們把這個(gè)常數(shù)作為事件A發(fā)生的概率的近似值,即P(A)≈eq\f（m，n）.這里這個(gè)常數(shù)的意義就代表是隨機(jī)事件的概率,由于隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越接近概率,也即概率是頻率的期望值,所以用頻率來(lái)定義概率是合理的，可行的．（3)必然事件和不可能事件的概率可以把必然事件和不可能事件當(dāng)成隨機(jī)事件的兩種特殊情況來(lái)考慮，分別用Ω和?來(lái)表示，顯然P（Ω)＝1，P(?)＝0。所以對(duì)任何一個(gè)事件A，都有0≤P(A）≤1.思考：頻率與概率之間有什么關(guān)系?［提示］（1）頻率是隨機(jī)的，是一個(gè)變量，在試驗(yàn)前不能確定,且可能會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，它反映的是某一隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，反映了隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的大小，近似反映了概率的大?。热缛嗤瑢W(xué)都做了10次擲硬幣的試驗(yàn),但得到正面向上的頻率可以是不同的．（2）概率是一個(gè)確定的常數(shù),是客觀存在的，它是頻率的科學(xué)抽象，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變，從數(shù)量上反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。纾绻粋€(gè)硬幣質(zhì)地均勻，則擲該枚硬幣出現(xiàn)正面向上的概率是0。5，與做多少次試驗(yàn)無(wú)關(guān)．（3）頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近于概率．在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)事件的概率未知，常用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率作為它的估計(jì)值．1．有下列現(xiàn)象：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上;②異性電荷互相吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰；④南通某天下雨．其中是隨機(jī)現(xiàn)象的是（）A．①③ B．②③C．①④ D．③④C[隨機(jī)現(xiàn)象的典型特征是不能事先預(yù)料哪一種結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，據(jù)此逐個(gè)分析，所以①④正確．]2．在10件同類(lèi)商品中,有8件紅色的,2件白色的,從中任意抽取3件．給出下列事件:①3件都是紅色；③3件都是白色；③至少有1件紅色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序號(hào)為_(kāi)_______．③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件為紅色的，故選③。]3．某英語(yǔ)試題中，共有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的,則隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f（1,4），某家長(zhǎng)說(shuō)：“要是都不會(huì)做，每題都隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)，則一定有3題答對(duì)．”這句話(huà)____________________________________．(填“正確”“錯(cuò)誤”或“不一定”）錯(cuò)誤［把解答一個(gè)選擇題作為一次試驗(yàn),答對(duì)的概率是eq\f(1,4)，說(shuō)明了答對(duì)的可能性大小是eq\f(1，4）,由于每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，因而做12次試驗(yàn),結(jié)果都是隨機(jī)的,那么答對(duì)3道題的可能性較大，但是并不一定答對(duì)3道題，也可能都選錯(cuò)，也可能有1,2，3,4，…甚至12道題選擇正確．］4．將一枚骰子擲300次，則擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約是________．200［根據(jù)題意,得300×eq\f(2,3）＝200.]事件的有關(guān)概念【例1】判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件．(1)拋一石塊，下落；(2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃(3）某人射擊一次，中靶；（4）如果a〉b，那么a－b〉0；(5）擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面；(6)導(dǎo)體通電后,發(fā)熱；(7）從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1,2，3，4,5的5張標(biāo)簽中任取一張,得到4號(hào)簽；(8）某電話(huà)機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；(9)沒(méi)有水分，種子能發(fā)芽；（10)在常溫下,焊錫熔化．[解]（1）是必然事件，該現(xiàn)象是大自然的客觀規(guī)律所致．(2)是不可能事件，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，只有溫度高于0℃時(shí)，冰才融化．(3）是隨機(jī)事件，射擊一次可能中靶，也可能不中靶．（4）是必然事件，由不等式性質(zhì)可得．（5）是隨機(jī)事件,因?yàn)閷⒁幻队矌艗仈S一次,可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上．(6）是必然事件,導(dǎo)體通電發(fā)熱是物理現(xiàn)象．（7）是隨機(jī)事件，從5張標(biāo)簽中任取一張，每張都有被取到的可能．(8)是隨機(jī)事件，因?yàn)榻Y(jié)果有不可預(yù)知性．(9)是不可能事件，因?yàn)榉N子只有在有水分的條件下，才能發(fā)芽．（10）是不可能事件,因?yàn)榻饘馘a只有在高溫下才能熔化．要判定某事件是何種事件，首先要看清條件,因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的．其次再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生,還是一定不發(fā)生．一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．1．有下列事件：①足球運(yùn)動(dòng)員罰點(diǎn)球命中；②在自然數(shù)集合中任取一個(gè)數(shù)為偶數(shù)；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰；④已知A＝{1，2，3｝，B＝｛3，4｝，則B?A；⑤光線(xiàn)在均勻介質(zhì)中發(fā)生折射現(xiàn)象；⑥任意兩個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)．在上述事件中為隨機(jī)事件的有________，為必然事件的有________，為不可能事件的有________．①②③④⑤⑥[①足球運(yùn)動(dòng)員罰點(diǎn)球可能命中，也可能不命中；②在自然數(shù)集合中任取一個(gè)數(shù)可能為奇數(shù),也可能為偶數(shù)；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)一定沸騰；④已知A＝｛1，2,3}，B＝｛3,4｝，則B?A是不可能的；⑤光線(xiàn)在均勻介質(zhì)中是沿直線(xiàn)傳播的，不可能發(fā)生折射現(xiàn)象；⑥任意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)．］2．分析下面給出的五個(gè)事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件?哪些是隨機(jī)事件?(1）某地2月3日下雪；（2)函數(shù)y＝ax（a>0且a≠1）在定義域上是增函數(shù)；(3)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于0；（4)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰；（5）a，b∈R，則ab＝bA．［解］（1)隨機(jī)事件,某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2）隨機(jī)事件，函數(shù)y＝ax當(dāng)a〉1時(shí)在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0〈a〈1時(shí)在定義域上是減函數(shù)．(3)必然事件,實(shí)數(shù)的絕對(duì)值非負(fù)．（4）不可能事件，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在0℃（5）必然事件,若a，b∈R，則ab＝ba恒成立．對(duì)概率意義的理解【例2】某種病的治愈概率是0.3，那么前7個(gè)人沒(méi)有治愈，后3個(gè)人一定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?思路點(diǎn)撥：解答本題要理解概率的意義．［解]如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈的概率是0.3,指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療的病人數(shù)的增加,大約有30％的人能夠治愈．對(duì)于一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個(gè)病人沒(méi)治愈是可能的，而對(duì)后3個(gè)病人來(lái)說(shuō)，其結(jié)果仍然是隨機(jī)的，即有可能治愈，也有可能沒(méi)治愈．治愈的概率是0.3,是指如果患病的有1000人，那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈概率附近擺動(dòng)這一前提，就可以認(rèn)為這1000人中，大約有300人能治愈，這個(gè)事先估計(jì)對(duì)于醫(yī)藥衛(wèi)生部門(mén)是很有參考價(jià)值的．這也進(jìn)一步說(shuō)明了隨機(jī)事件的概率只是反映了大量重復(fù)試驗(yàn)條件下，隨機(jī)試驗(yàn)A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定性．隨機(jī)事件的發(fā)生具有隨機(jī)性，概率值僅說(shuō)明事件發(fā)生的可能性的大小,因此，在解釋隨機(jī)事件的概率時(shí)，凡是出現(xiàn)“必定”“肯定”之類(lèi)的確定性字眼，一般都是錯(cuò)誤的．3．如果某種彩票中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1，1000)，那么買(mǎi)1000張彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？請(qǐng)用概率的意義解釋?zhuān)悸伏c(diǎn)撥:買(mǎi)1000張彩票，相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做1000次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的，也就是說(shuō)，買(mǎi)1000張彩票有可能沒(méi)有1張中獎(jiǎng)．[解］不一定能中獎(jiǎng)．因?yàn)橘I(mǎi)1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,即每張彩票可能中獎(jiǎng)也可能不中獎(jiǎng),因此,1000張彩票中可能沒(méi)有1張中獎(jiǎng),也可能有1張、2張或者多張中獎(jiǎng)．4．試解釋下列情況中概率的意義．（1)某商場(chǎng)為促進(jìn)銷(xiāo)售，實(shí)行有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)，凡購(gòu)買(mǎi)其商品的顧客中獎(jiǎng)的概率為0。20；（2)一生產(chǎn)廠(chǎng)家稱(chēng)：我們廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0。98。思路點(diǎn)撥：有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)中,凡購(gòu)買(mǎi)其商品的顧客中獎(jiǎng)的概率表示購(gòu)買(mǎi)其商品的顧客中獎(jiǎng)的可能性的大?。簧a(chǎn)廠(chǎng)家所說(shuō)的產(chǎn)品合格的概率表示其廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性的大?。甗解](1）指購(gòu)買(mǎi)其商品的顧客中獎(jiǎng)的可能性為20％.(2)指其廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.頻率與概率的關(guān)系及求法【例3】某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命（單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組[500，900）［900，1100）［1100，1300)[1300，1500）[1500，1700)[1700,1900)［1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率（1）將各組的頻率填入表中；（2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率．思路點(diǎn)撥:eq\x（分析數(shù)據(jù)）→eq\x（計(jì)算頻率)→eq\x(估計(jì)概率）［解］（1)頻率依次是：0．048，0.121,0。208,0。223,0。193，0.165，0.042。(2）樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600,所以樣本中燈管使用壽命不足1500小時(shí)的頻率是eq\f（600，1000)＝0。6，所以燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率約為0.6.1．頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近左右擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．2．解此類(lèi)題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率,然后用頻率估計(jì)概率．5．下列說(shuō)法：①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大??；②百分率是頻率，不是概率；③頻率是不能脫離具體的n次試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的是________．①③④［由頻率與概率的定義及兩者之間的關(guān)系知①③④正確，②不正確．]6．某種菜籽在相同的條件下發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表：菜籽粒數(shù)251070130310700150020003000發(fā)芽粒數(shù)24960116282639133918062715發(fā)芽頻率（1)填寫(xiě)表中的菜籽發(fā)芽的頻率；(2)求該種菜籽發(fā)芽的概率．思路點(diǎn)撥:事件A出現(xiàn)的頻數(shù)nA與試驗(yàn)次數(shù)n的比值fn（A)＝eq\f(nA，n)即為事件A發(fā)生的頻率，當(dāng)事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為事件A發(fā)生的概率．［解](1）根據(jù)表格計(jì)算不同情況下種子發(fā)芽的頻率分別是：1，0.8,0。9，0.857，0。892，0。910，0。913,0。893，0.903，0。905.（2)隨著菜籽粒數(shù)的增加，菜籽發(fā)芽的頻率越來(lái)越接近于0.9,且在它的附近擺動(dòng)．故該種菜籽發(fā)芽的概率約為0.9.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解概率的含義，了解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．2．本節(jié)課的難點(diǎn)是求解事件發(fā)生的頻率和概率．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆頻率與概率的概念，列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)出現(xiàn)遺漏。1．下列現(xiàn)象中，不是隨機(jī)現(xiàn)象的是(）A．在一條公路上，交警記錄某一小時(shí)通過(guò)的汽車(chē)超過(guò)300輛B．若a為整數(shù),則a＋1為整數(shù)C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)D．檢查流水線(xiàn)上一件產(chǎn)品是合格品還是次品B[當(dāng)a為整數(shù)時(shí),a＋1一定為整數(shù),是必然現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．]2．在200件產(chǎn)品中，有192件一級(jí)品、8件二級(jí)品,則下列事件：①“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品”；②“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件,全部是二級(jí)品”；③“在