任意不可約方程的根式解

任意不可約方程的根式解

（中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所吳中祥

）

提

要：突破伽羅華理論魔咒，全面、具體給出歷代數(shù)學(xué)家近500年的努力，未能實(shí)現(xiàn)的任意n次不可約方程的根式解，指出并解決負(fù)數(shù)的各根式產(chǎn)生與實(shí)數(shù)不同的各數(shù)類的重要問題，必將促進(jìn)各種數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生革命性的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：不可約方程，根式解，伽羅華理論

1.

突破n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解的“伽羅華理論”魔咒各種事物特性的變化發(fā)展規(guī)律都可由相應(yīng)的方程表達(dá)，可以是1元n次的不可約代數(shù)方程，或相應(yīng)的n元、n次以下的，n個(gè)不相依代數(shù)方程或微分、偏分方程.對(duì)相應(yīng)方程的建立、求解、分析是研究各種事物特性的變化發(fā)展規(guī)律的關(guān)鍵.1元n次不可約代數(shù)方程的解法，由于有其各解與各系數(shù)的n個(gè)不相依的關(guān)系式，而能用于解n元的n個(gè)不相依代數(shù)方程和相應(yīng)的微分、偏微分方程.早在公元前3世紀(jì)，就已得出2次不可約代數(shù)方程的根式解.但是直到公元16世紀(jì)后，才先后得到3次和4次不可約代數(shù)方程的根式解.而此后的近5個(gè)世紀(jì)，雖有許多人尋求n>4的不可約代數(shù)方程的根式解.卻都沒能成功[1]、[2]、[3].特別是伽羅華[2]、[3]從已有的解法都引進(jìn)并含有方程系數(shù)函數(shù)的2次、3次根式，分析各根式群的特點(diǎn)，而給出“代數(shù)方程能夠求得根式解的判據(jù)”之后，阿貝爾(Abel,N.N.1830)

據(jù)此，首先提出n>4的不可約代數(shù)方程不能根式求解，學(xué)術(shù)界就似已公認(rèn)n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解[1]

.因而對(duì)于n>4

的不可約代數(shù)方程，就只能在具體分析其各“解”所在數(shù)域的基礎(chǔ)上數(shù)值地逼近，或引入某些特殊函數(shù)求解.這當(dāng)然就給許多實(shí)際問題和理論工作，因沒有相應(yīng)方程的公式解，而造成許多限制和不便.

本人2011年的博文“任意n次不可約代數(shù)方程的根式解”/blog-226-510331.html已具體分析得到：伽羅華理論[2][3]，只是提出方程根式解的可解性是相應(yīng)于將方程各系數(shù)作有理運(yùn)算與逐次添加相應(yīng)根式的變換群的可解性，而這種變換群的階數(shù)等于其整個(gè)求解過程中添加根式的最大指數(shù)，而當(dāng)這種變換群的階數(shù)>4時(shí)，其對(duì)稱置換群及其子群，就都是非交換群的單群，就都是不可解的.可見伽羅華所證明的，實(shí)際上只是“在求解n次不可約代數(shù)方程的整個(gè)過程中，所添加根式的指數(shù)n*，應(yīng)是小于4”，并非所解方程的次數(shù)，n，應(yīng)是小于4，并非方程的次數(shù)n大于4就不能有根式解.但是，顯然其整個(gè)求解過程中添加根式的最大指數(shù)n*，并非所解方程的次數(shù)n，按伽羅華理論，也完全得不出其整個(gè)求解過程中添加根式的最大指數(shù)，n*，等于所解方程的次數(shù)n，或兩者有任何關(guān)系的根據(jù).阿貝爾也未能給出n>4的不可約代數(shù)方程就沒有根式解的任何根據(jù).因而，即使按伽羅華理論，認(rèn)為“n>4的不可約代數(shù)方程沒有根式解”；本身就是混淆n*與n，而得出的錯(cuò)誤結(jié)論.這就突破n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解的“伽羅華理論”魔咒，突出解決了探求n>4的不可約代數(shù)方程根式解的可能性.

2，指出負(fù)數(shù)的各根式產(chǎn)生與實(shí)數(shù)不同的各數(shù)類的重要問題進(jìn)而，“任意n次不可約代數(shù)方程的根式解及其有解判據(jù)（簡(jiǎn)）”/blog-226-841330.html指出：一般而言，任意負(fù)實(shí)數(shù)，-s，的j次根式，(-1)^(1/j)s^(1/j),就產(chǎn)生了以(-1)^(1/j)所標(biāo)志的各自與實(shí)數(shù)不同的數(shù)類.當(dāng)j=2，(-1)^(1/2)就被定義為i，標(biāo)志該數(shù)是與實(shí)數(shù)不同的所謂“虛數(shù)”，并與實(shí)數(shù)組成所謂“復(fù)數(shù)”.但是，當(dāng)j為>2的其它各數(shù)，則實(shí)際上都分別成為各自不同維的數(shù)類.這就表明：如果在方程的變換、求解中，出現(xiàn)j大于2的(-1)^(1/j)，就不能僅由現(xiàn)在已知的實(shí)數(shù)、虛數(shù)，或復(fù)數(shù)，而得解.因而，通常方程的解，如果引進(jìn)了負(fù)數(shù)大于2次的根式，實(shí)際上，就表明：如果在方程的解，出現(xiàn)j大于2的(-1)^(s(k)/k)，s(k)是小于k，與k互質(zhì)的各質(zhì)數(shù)，就應(yīng)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)(j)、復(fù)數(shù)(j);j=2到k，的各數(shù)表達(dá).其中，k是解方程中可能引進(jìn)根式的各次數(shù).按伽羅華理論，最大的k=或<4.本文，全面、逐個(gè)，具體分析各次不可約代數(shù)方程的根式解，具體表明：最大的k=或>4的伽羅華理論，與不可約代數(shù)方程是否有解？毫無(wú)關(guān)系；而且，甚至3次、4次方程的已知各解，按多項(xiàng)式公式，也都有，多個(gè)大于4的根式，并不存在伽羅華理論所給出的，最大的k=或<4的限制，具體糾正了“大于4次的不可約代數(shù)方程不能有根式解”對(duì)求解方程的錯(cuò)誤阻擾；而已解得任意n次不可約代數(shù)方程的根式解.必將促進(jìn)各種數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生革命性的發(fā)展.

3.任意n次不可約代數(shù)方程的普遍表達(dá)式任意n次不可約代數(shù)方程：{a’jx^j;j=0到n求和}=0,

(1.1’)左邊是x的n次多項(xiàng)式,有n+1個(gè)系數(shù)：a’j;j=0,1,2,…,n,都是任意常數(shù).總可各項(xiàng)除以a’n表達(dá)為：x^n+{ajx^j;j=0到n-1求和}=0,

(1.1)左邊x的n次多項(xiàng)式有n個(gè)系數(shù)：aj=a’j/a’n;j=0,1,2,…,n-1,都是相應(yīng)的任意常數(shù)，而an=1.方程(1.1)有n個(gè)根，xj；j=1,2，到n，各根與各系數(shù)有如下關(guān)系式：x1+x2+x3+…+xn=-a[n-1],

(1)x1(x2+x3+…+xn)+x2(x3+x4+...+xn)+…+x[n-2](x[n-1]+xn)+x[n-1]xn=a[n-2],

(2)x1x2(x3+x4+...+xn)+x2x3(x4+x5+…+xn)+…+x[n-2]x[n-1]xn)=-a[n-3],

(3)…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…x1x2x3…x[n-2](x[n-1]+xn)+x2x3…xn=(n為偶，則-)a1,

(n-1)x1x2x3…xn=(n為奇，則-)a0,

(n)分別為n個(gè)互不相依的方程.

(1.1)又總可經(jīng)x的變換，y=x-a[n-1]/n，而有：x=y+a[n-1]/n，x^2=y^2-2ya[n-1]/n+(a[n-1]/n)^2，x^3=y^3-3y^2(a[n-1]/n)+3y(a[n-1]/n)^2-(a[n-1]/n)^3，………x^n=yn^n-ny^(n-1)(a[n-1]/n)+(n(n-1)/n)y^(n-2)(a[n-1]/n)^2………(j為奇數(shù)；為-，j為偶數(shù)；為+)(n(n-1)…(n-j)/(j！))y^(n-j)(a[n-1]/n)^j………(n為奇數(shù)；為-，n為偶數(shù)；為+)(a[n-1]/n)^n，而使x方程表達(dá)為：y^n+{bjy^j;j=0到n-2求和}=0,

(1.1*)各系數(shù)bj均可由以上各關(guān)系式，得出，由x方程各系數(shù)的函數(shù)具體表達(dá).而其中b[n-1]=0.

方程(1.1*)有n個(gè)根，yj；j=1,2，到n，各根與各系數(shù)有如下關(guān)系式：y1+y2+y3+…+yn=0,

(1)y1(y2+y3+…+yn)+y2(y3+y4+...+yn)+…+y[n-2](y[n-1]+yn)+y[n-1]yn=b[n-2],

(2)y1y2(y3+y4+...+yn)+y2y3(y4+y5+…+yn)+…+y[n-2]y[n-1]yn)=-b[n-3],

(3)…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…y1y2y3…y[n-2](y[n-1]+yn)+y2y3…yn=(n為偶，則-)b1,

(n-1)y1y2y3…yn=(n為奇，則-)b0,

(n)分別為n個(gè)互不相依的方程.

由此x或y的n次n個(gè)方程，逐個(gè)具體分析、各次方程，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系式，探求解得各次不可約代數(shù)方程的根式解的解法.

4．求解任意2次不可約代數(shù)方程對(duì)于任意1次不可約代數(shù)方程：x+a0=0，僅有1個(gè)系數(shù)a0，1個(gè)根x1，方程的解，就是；x1=a0，

2次不可約代數(shù)方程：x^2+a1x+a0=0，

{4.1}有2個(gè)系數(shù)：a1、a0，2個(gè)根：x1、x2，并有：x1+x2=-a1，x1x2=a0，即可利用此求得：x1^2-2x1x2+x2^2=a1^2-2a0，x1-x2=+,-(a1^2-2a0)^(1/2)，分別得到2個(gè)1次方程，而解得：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

(1)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2)

{4.1}又都可由變換y=x-a1/2，x=y+a1/2，x^2=y^2+a1y+a1^2/4,而使原方程變換為：y^2+a1y+a1^2/4-a1(y+a1/2)+a0=0，1次項(xiàng)的系數(shù)=0，只有1個(gè)系數(shù)的如下形式：y^2+b0=0,

b0=a0-a1^2/4,

{4.1’}

分別得到如此2個(gè)1次方程，而解得：y1=+i(b0)^(1/2),

(1’)y2=-i(b0)^(1/2),

(2’)

也得到：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

(1)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2)

當(dāng)(a1/2)^2-a0=0，2解為相同的實(shí)數(shù)：x1=x2=-a1/2,

(1*)

當(dāng)(a1/2)^2-a0>0，2解為不同的實(shí)數(shù)：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

(1*”)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2*”)

當(dāng)(a1/2)^2-a0<0，2解為互共軛的復(fù)數(shù)：x1=-a1/2+i((a1/2)^2-a0)^(1/2),

(1*’)x2=-a1/2-i((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2*’)

當(dāng)a1=0，a0>0，2解分別為正、負(fù)虛數(shù)：x1=+ia0^(1/2),

(1’)x2=-ia0^(1/2),

(2’)

以上2種方法、各種情況，都得到了任意2次不可約代數(shù)方程，僅由實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)表達(dá)的公式解.其中，無(wú)根式的實(shí)數(shù)解和虛數(shù)解的方程，實(shí)際上，并非不可約的，而無(wú)根式的實(shí)數(shù)解是重解.

5．求解任意3次不可約代數(shù)方程3次不可約代數(shù)方程：x^3+a2x^2+a1x+a0=0，

{5.1}有3個(gè)系數(shù)：a2、a1、a0，3個(gè)根：x1、x2、x3，并有：x1+x2+x3=-a2，x1(x2+x3)+x2x3=a1，x1x2x3=-a0，但簡(jiǎn)單利用此，并不能得解，例如：x1=-(a2+x2+x3)，x2^2+(a2+x3)x2+x3^2+a2x3+a1=0，x2^2+(x3+a2)x2-a0/x3=0，x3^3+a2x3^2+a1x3+a0=0，仍然是原有方程，而不能如此得解.

令：

(x^2+a’1x+a’0)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：

(x^2+a’1x+a’0)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：a’1-x3=a2,x3=a’1-a2,a’0x-x3a’1=a1,a’0x-(a’1-a2)a’1=a1,a’0=(a1+(a’1-a2)a’1)/x,-x3a’0=a0,-(a’1-a2)((a1+(a’1-a2)a’1)/x)=a0,消去a’1、a’0，仍然回到原有方程，而不能如此得解.總之，各種方法，僅利用方程根與系數(shù)的關(guān)系，都不能得解.

3次x方程有3個(gè)參變量，也都不能采用任何方法，由3個(gè)未知變量的低次x多項(xiàng)式乘積表達(dá)，而得解.

令y=x+a2/3，使有3個(gè)參變量（系數(shù)）的x方程：x^3+a2x^2+a1x+a0=0，成為僅有2個(gè)參變量（系數(shù)）的一個(gè)y方程：y^3+b1y+b0=0,

x=y-a2/3，x^2=y^2-2a2y/3+(a2/3)^2，x^3=y^3-a2y^2+(a2/3)^2y-(a2/3)^3，x^3+a2x^2+a1x+a0=y^3+(a2/3)^2y+a1y-a1a2/3+a0+2(a2/3)^3，得到：b1=a1+(a2/3)^2;

b0=a0-a1a2/3+2(a2/3)^3，y=x+a2/3，y^2=x^2+2a2x/3+(a2/3)^2，y^3=x^3+a2x^2+(a2)^2x/3+(a2/3)^3，y^3+b1y+b0=x^3+a2x^2+((a2)^2/3+b1)x+(a2/3)^3+a2b1/3+b0

=x^3+(a2^2/3+b1)x+a2b1/3+b0，得到：b1=a1-a2^2/3，

b0=a0+a2b1/3=a0+a1a2-10(a2/3)^3，

注意：b1、b0，的2種a2、a1、a0，表達(dá)，是不同的.

利用此求解，必須能使方程表達(dá)為僅用2個(gè)參變量的低次多項(xiàng)式的乘積，且2次項(xiàng)為0，但是，僅滿足這些條件，也并不能得解，例如：

使方程表達(dá)為：(y^2+b’0)(y-y3)=y^3+b1y+b0,有:-y3=0,(2次項(xiàng)不為0，此參變量實(shí)際上不起作用)b’0=b1,-y3b’0=b0=0,

僅適用于b0=0，的情況.

令：(y^2+b’0)(y^2+b”0)^(1/2)=y^3+b1y+b0,有(y^2+b’0)^2(y^2+b”0)=(y^3+b1y+b0)^2,2b’0+b”0=2b1,2b0=0,b’0^2+2b”0b’0=b1^2,2b1b2=0,b”0b’0^2=0,出現(xiàn)多種限制條件，僅適用于b1、b0=0，的情況，而無(wú)意義，也都不能如此得解.

早在公元1700年就已得出現(xiàn)有的解法，即：以2次x方程，x^2+a1x+a0=0，的2個(gè)根：w1、w2分別表達(dá)3次y方程的3個(gè)根;由相應(yīng)的定理得到相應(yīng)的解，卻至今未見完整、具體的推導(dǎo)、證明.實(shí)際上，這是：設(shè)3次y方程的3個(gè)根的一個(gè)根為：y1=z1+z2，則由x方程變換為y方程時(shí)，另2個(gè)根y2、y3，是z1、z2，分別乘以2次x方程，x^2+a1x+a0=0，的2個(gè)根，w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)、w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)，之和確定;即:y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，3次y方程的3個(gè)根也可直接表達(dá)為：y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2=-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)，

y3=w2z1+w1z2=-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)，再由：(y-(z1+z2))(y-(-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))(y-(-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))=y^3+b1y+b0，確定z1與z2，即有：(y-(z1+z2))(y^2+a1(z1+z2)y+a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)

=y^3+(a1-1)(z1+z2)y^2+(-3a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)y+a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))

=y^3+b1y+b0，而得到：(a1-1)(z1+z2)=0，

z1+z2=0，

(1)3a1(z1+z2)^2/4+(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2+b1=0，

(2)a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))-b0=0，(3)

將(1)代入(2)、(3)，有：

(a1^2/4-a0)(2z1z2)+b1=0，2z1z2=-b1/(a1^2/4-a0)，

(2*)

(2*)與(1)聯(lián)立，有：(z1-z2)^2=b1/(a1^2/4-a0)，z1-z2=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)，z1=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2，z2=-(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2，(4)z1^3+z2^3-b0/(a1^2/4-a0)=0，

(3*)

實(shí)際上，以y方程的任何一個(gè)根代入，都應(yīng)滿足方程，以y=y1=z1+z2，代入，有：(z1+z2)^3+b1(z1+z2)+b0=0，即有：z1^3+z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0=0，z1^3=-(z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)

利用(1)、(2)，以及b1、b0，的a2、a1、a0，表達(dá)，上式成為：z1^3=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)，z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，并有：z2^3=-(z1^3-(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)=-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)，z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，即解得現(xiàn)有的結(jié)果：y1=z1+z2

=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，y2=w1z1+w2z2

=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，y3=w2z1+w1z2

=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，將(4)代入(3*)，有：z1^3-(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0，z2^3+(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0，

(5)

即得解：z1=((b0+(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)，z2=((b0-(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)，y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，

(6)(6)是相當(dāng)于：3次不可約代數(shù)方程現(xiàn)有解(有z1-z2=0)的又一形式.

3次y方程的3個(gè)根也可直接表達(dá)為：

(y-(z1+z2))(y-(w1z1+w2z2))(y-(w2z1+w1z2))=y^3+b1y+b0，確定z1與z2，即有：(y-(z1+z2))(y^2-2(w1z1+w2z2)y+w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2)z1z2)=y^3-((2w1+1)z1+(2w2+1)z2))y^2+(w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2+2(w2+w1))z1z2+2(w1z1^2+w2z2^2))y-w1w2(z1^3+z1^2z2+z1z2^2+z2^3)-(w1^2+w2^2)(z1^2z2+z1z2^2)=y^3+b1y+b0，即有：(2w1+1)z1+(2w2+1)z2=0，

(1)w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2+2(w2+w1))z1z2+2(w1z1^2+w2z2^2)=b1，

(2)-w1w2(z1^3+z1^2z2+z1z2^2+z2^3)-(w1^2+w2^2)(z1^2z2+z1z2^2)=b0，

(3)對(duì)于一般的2次x方程，因有：w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)、w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)，w1+w2=-a1，w1w2=a0，w1^2=a1^2/2-a0-a1(a1^2/4-a0)^(1/2)，w2^2=a1^2/2-a0+a1(a1^2/4-a0)^(1/2)，即有：(-a1+1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z1=(a1-1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z2，

(1*)(-2a1+(a1^2-4a0)^(1/2))z1^2+(-2a1-(a1^2-4a0)^(1/2))z2^2+(a1^2-2a1-2a0)z1z2-b1=0，

(2*)a0(z1^3+z2^3)+(a1^2-a0)(z1^2z2+z1z2^2)+b0=0，

(3*)

由(1*)、(2*)、(3*)，即可解得3次不可約代數(shù)方程現(xiàn)有解的又一形式.

以上3種不同形式的解，都可按相應(yīng)的條件彼此互換.

各種解，按多項(xiàng)式公式，都不僅有2次、3次的根式，而且還有6次、5倍6次的根式，就已具體表明：伽羅華關(guān)于根式變換群的理論，認(rèn)為：解方程引進(jìn)根式k=或>4，就使方程無(wú)解，的論斷是錯(cuò)誤的，而且：當(dāng)a1^2/4-a0<0，w1、w2，有(-1)^(1/2)的虛數(shù)項(xiàng)，是通常的復(fù)數(shù)；

當(dāng)b1^2/4+b0^2/9<0，z1、z2，有3次根號(hào)內(nèi)(-1)^(1/2)的虛數(shù)項(xiàng)的復(fù)數(shù)；

當(dāng)-b1/2+(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0，z1是有(-1)^(1/3)的另一類數(shù)；當(dāng)-b1/2-(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0，z2是有(-1)^(1/3)的另一類數(shù)；

因而，就會(huì)出現(xiàn)有(-1)^(1/2)和(-1)^(1/3)、(-1)^(1/6)、(-1)^(5/6)，4維數(shù)軸的復(fù)數(shù)；并因不同的條件，簡(jiǎn)化為僅有低維的復(fù)數(shù)或虛數(shù)，或?qū)崝?shù).其實(shí)，3次y方程的3個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為：y0+y1+y2=0，y0=-(y1+y2)，

(0*)y0(y1+y2)+y1y2=b1,-y0^2+y1y2=b1,

(1*)y0y1y2=-b0,

(2*)

由(1*)/(2*)，得到：：-y0+1/y0=-b1/b0，y0^2-b1y0/b0+1=0，

即得y方程的3個(gè)解：y0=b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

(a)y1+y2=-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，(y1+y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，y1y2=b1+y0^2=b1+(b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2

=b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)，(y1-y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))=(b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，y1-y2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)，y1=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)+((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(b)y2=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(c)而3次x方程，的解為：xj=yj+a2/3;j=0,1,2,

(1*)各根中，按多項(xiàng)式公式，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對(duì)于負(fù)數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個(gè)數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應(yīng)條件下，簡(jiǎn)化為各低維的復(fù)數(shù)、虛數(shù)、和實(shí)數(shù).

而且，由于2種解法，分別得到的各解是可以彼此互換的，可見，這2種不同的數(shù)軸系，也是可以彼此互換的.

6．求解任意4次不可約代數(shù)方程4次不可約代數(shù)方程：x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，

{6.1}有4個(gè)系數(shù)：a3、a2、a1、a0，4個(gè)根：x1、x2、x3、x4，并有：x1+x2+x3+x4=-a3，x1(x2+x3+x4)+x2(x3+x4)+x3x4=a2，x1x2(x3+x4)+x2x3x4=-a1，x1x2x3x4=a0，與前節(jié)類似，僅簡(jiǎn)單、直接地利用此，不能得解.

現(xiàn)有的解法也是在公元17世紀(jì)，采取將4次方程的4次多項(xiàng)式拼湊為2個(gè)2次多項(xiàng)式乘積，的方法而得到，也未見完整、具體的推導(dǎo)證明.實(shí)際上，對(duì)于4次x方程：x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，

(1)引入函數(shù)y，并取:(x^2+a3x/2+y/2)^2=x^4+a3x^3+(a3^2/4+y)x^2+a3yx/2+y^2/4可將原方程改寫為：(x^2+a3x/2+y/2)^2+(a2-a3^2/4-y)x^2+(a1-a3y/2)x+a0-y^2/4=0,而有：(x^2+a3x/2+y/2)^2=(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4,設(shè)當(dāng)上式右邊成為x函數(shù)的完全平方：(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4=(c1x+c0)^2由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,有：c1^2=(a3^2/4-a2+y),

2c1c0=a3y/2-a1,c0^2=y^2/4-a0,c1x+c0=(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)，(a3^2-4a2+4y)(y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2，亦即得到：y^3-a2y^2+(a1a3-4a0)y-a0a3^2+4a0a2-a1^2=0，

(2)當(dāng)令：s=y-a2/3,

y=s+a2/3,

y^2=(s+a2/3)^2=s^2+2a2s/3+a2^2/9，

y^3=(s+a2/3)^3=s^3+a2s^2+a2^2/3s+a2^3/27，

(3)(3)代入方程(2)，即將它簡(jiǎn)化為s^2的系數(shù)=0的形式，即：s^3+(a1a3-a2^2/3-4a0)s-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2=0，s^3+b1s+b0=0，b1=a1a3-a2^2/3-4a0，b0=-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2，

(4)此方程的3個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為：

s0+s1+s2=0，s0=-(s1+s2)，

(0*)s0(s1+s2)+s1s2=b1,-s0^2+s1s2=b1,

(1*)s0s1s2=-b0,

s0s1s2=-b0,

(2*)

由(1*)/(2*)，得到：：-s0+1/s0=-b1/b0，s0^2-b1s0/b0+1=0，

即得方程(4)的3個(gè)解：s0=b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

(a)s1+s2=-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，(s1+s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，s1s2=b1+s0^2=b1+(b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2

=b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)，(s1-s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))=(b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，s1-s2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)，s1=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)+((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(b)s2=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(c)而3次y方程，(2)，的解為：yj=sj+a2/3;j=0,1,2,

(1*)而原方程可表達(dá)為兩個(gè)x的2次方程：(x^2+y/2)^2-(c1x+c0)^2=0，即：x^2+y/2+(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,

(2*1)x^2+y/2-(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,

(2*2)以(1*)解得的，y的解代入方程(2*)，(由于各解代入的結(jié)果相同，僅需以y0=b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)代入)，即：x^2+(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,

(2*1)x^2-(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,

(2*2)分別求解這兩個(gè)x的2次方程，即得4次x方程(1)的4個(gè)根:x1=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*1)x2=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*2)x3=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*3)x4=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*4)各根中，按多項(xiàng)式公式，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對(duì)于負(fù)數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個(gè)數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應(yīng)條件下，簡(jiǎn)化為各低維的復(fù)數(shù)、虛數(shù)、和實(shí)數(shù).

其中3次y函數(shù)方程，也可由其各根，表達(dá)為：y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，的方法求解，得到：

各解，按多項(xiàng)式公式，都不僅有2次、3次的根式，而且還有6次、5倍6次的根式，對(duì)于負(fù)數(shù)的根式，就會(huì)出現(xiàn)有(-1)^(1/2)和(-1)^(1/3)、(-1)^(1/6)、(-1)^(5/6)，4維數(shù)軸的復(fù)數(shù)；并因不同的條件，簡(jiǎn)化為僅有低維的復(fù)數(shù)或虛數(shù)，或?qū)崝?shù).

而且，由于2種解法，分別得到的各解是可以彼此互換的，可見，這2種不同的數(shù)軸系，也是可以彼此互換的.

對(duì)于4次的y方程：可直接采用：(y^2+a’0)^2-(a”1y+a”0)^2=y^4+b2y^2+b1y+b0=0，即得：y^4+(2a’0-a”1^2)y^2+a’0^2y-2a”1a”0-a”0^2=y^4+b2y^2+b1y+b0，有：2a’0-a”1^2=b2，a’0^2=b1，-2a”1a”0-a”0^2=b0，即得：a’0=b1^(1/2)，a”1=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)，a”0^2+2(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)a”0+b0=0，a”0=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+或-(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)，

即得如下的2個(gè)2次的方程：y^2+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)y+b1^(1/2)-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0，y^2-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)y+b1^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0，由此解得4次以下方程的4個(gè)根：y1=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2+(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y2=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2-(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y3=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2+(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y4=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2-(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)

y方程的解與x方程的解，可以互換，實(shí)際上，是同一的解.各根中，按多項(xiàng)式公式，同樣，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對(duì)于負(fù)數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個(gè)數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應(yīng)條件下，簡(jiǎn)化為各低維的復(fù)數(shù)、虛數(shù)、和實(shí)數(shù).

7.求解任意5次不可約代數(shù)方程5次不可約代數(shù)方程：x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，

{7.1}有5個(gè)系數(shù)：a4、a3、a2、a1、a0，5個(gè)根：x1、x2、x3、x4，x5，并有：x1+x2+x3+x4+x5=-a4，x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3(x4+x5)+x4x5=a3，x1x2(x3+x4+x5)+x2x3(x4+x5)+x3x4x5=-a2，x1x2x3(x4+x5)=a1，x1x2x3x4x5=-a0,與前節(jié)類似，僅簡(jiǎn)單、直接地利用此，不能得解.

有了4次方程的2種解，和3次y方程的解法，就也可類似地，令：y=x-a4/4，使原x變量的方程，成為y^4項(xiàng)的系數(shù)b4=0，的如下y方程：y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,5次y方程,僅由其5個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系，也不能得解.采用z1、z2、z3、z4，共4個(gè)參量，當(dāng)取y方程的一個(gè)根：y1=z1+z2+z3+z4，則因由4次x方程變換為y方程，的另4個(gè)根，由w1、w2，w3、w4，表達(dá)為：y2=z1w1+z2w2+z3w3+z4w4，y3=z1w2+z2w1+z3w3+z4w4，y4=z1w1+z2w2+z3w4+z4w3，y5=z1w2+z2w1+z3w4+z4w3，

其中，w1、w2，w3、w4，分別是相應(yīng)的2個(gè)2次方程的2個(gè)根.

而由方程各根與各系數(shù)的關(guān)系式，得到z1、z2、z3、z4與各系數(shù)相應(yīng)的5個(gè)關(guān)系式，確定z1、z2、z3、z4.實(shí)際上，以y方程的任何一個(gè)根代入，都應(yīng)滿足方程，以y=y1=z1+z2+z3+z4，代入，有：(z1+z2+z3+z4)^5+b3(z1+z2+z3+z4)^3+b2(z1+z2+z3+z4)^2+b1(z1+z2+z3+z4)+b0，即有：利用z1、z2、z3、z4與各系數(shù)相應(yīng)的5個(gè)關(guān)系式，以及b3、b2、b1、b0，的a4、a3、a2、a1、a0，表達(dá)，將w1、w2，表達(dá)為，y^3+b’1y+b’0=0，的2個(gè)根；w3、w4，表達(dá)為，y^3+b”1y+b”0=0，的2個(gè)根，上式成為：z1^5=(-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))

(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))，z1=((-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)

(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2)))^(1/5)，并有：z2^5=(-b0’/2-((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))，z2=((-b’0/2-((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2)))^(1/5)，z3^5=(-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)，z3=((-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))^(1/5)，并有：z4^5=(-b”0/2-((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))

(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)，z4=((-b”0/2-((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))^(1/5)，即得解：y1=z1+z2+z3+z4，y2=z1w1+z2w2+z3w3+z4w4，y3=z1w2+z2w1+z3w3+z4w4，y4=z1w1+z2w2+z3w4+z4w3，y5=z1w2+z2w1+z3w4+z4w3，

也還有相應(yīng)的其他幾種可互換的表達(dá)形式.

按多項(xiàng)式公式，5次y方程的解可有：2次、4次、5次，2倍、3倍、4倍5次，10次、3倍、7倍、9倍10次，20次，3倍、7倍、9倍、11倍、13倍、17倍、19倍，的根式，因而，就會(huì)出現(xiàn)有(-1)^(1/2)、(-1)^(1/4)、(-1)^(1/5)、(-1)^(2/5)，(-1)^(3/5)、(-1)^(4/5)、(-1)^(1/10)、(-1)^(3/10)、(-1)^(7/10)、(-1)^(9/10)、(-1)^(1/20)、(-1)^(3/20)、(-1)^(7/20)、(-1)^(9/20)、(-1)^(11/20)、(-1)^(13/20)、(-1)^(17/20)、(-1)^(19/20)，,18維數(shù)軸的復(fù)數(shù)；并因不同的條件，簡(jiǎn)化為僅有低維的復(fù)數(shù)或虛數(shù)，或?qū)崝?shù).

8.求解任意6次不可約代數(shù)方程6次不可約代數(shù)方程：x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，{8.1}有6個(gè)系數(shù)：a5、a4、a3、a2、a1、a0，6個(gè)根：x1、x2、x3、x4、x5、x6，與x方程變換為y方程，：y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0，有5個(gè)系數(shù)：b4、b3、b2、b1、b0，6個(gè)根：y1、y2、y3、y4、y5、y6，對(duì)6次x和y方程，都不能僅由根與系數(shù)的關(guān)系式得解.但可以類似4次x方程那樣拼湊成為2個(gè)方程得解，即引進(jìn)一個(gè)y函數(shù)，并令：(x^3+a5x^2/2+y)^2=x^6+a5^2x^4/4+y^2+a5x^5+2yx^3+a5yx^2，x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0-(x^3+a5x^2/2+y)^2=(a4-a5^2/4)x^4+(a3-2y)x^3+(a2-a5y)x^2+a1x-y^2+a0=(c1x^2+c2x+c3)^2=c1^2x^4+2c2c1x^3+(c2^2+2c3c1)x^2+2c3c2x+c3^2，

使6次x方程{8.1}成為：(x^3+a5x^2/2+y)^2-(c1x^2+c2x+c3)^2=0，并有：c1^2=a4-a5^2/4，c1=(a4-a5^2/4)^(1/2)，

(1)2c2c1=a3-2y，c2=(a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))，

(2)c2^2+2c3c1=a2-a5y，c3=(a2-a5y-((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))=(a2-a5y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3)，

(3)2c3c2=a1，c3=a1/(2((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))))=a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2))，(4)c3^2=-y^2+a0，

(5)

(3)代入(5)，有：((a2-a5y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3))^2+y^2-a0=0，

為y的4次方程，

(6)

(4)代入(5)，有：(a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2+y^2-a0=0，即：a1^2+(4a4-a5^2)(a3-2y)^2(y^2-a0)=0，為另一形式y(tǒng)的4次方程，

(7)

分別以c1、c2、c3的表達(dá)式，(1)、(2)、(3)，和(6)與(7)4次方程解得的各一個(gè)y的根值分別代入如下2個(gè)3次方程：x^3+(a5/2+c1)x^2+c2x+y+c3=0，

(8.1)x^3+(a5/2-c1)x^2-c2x+y-c3=0，

(8.2)

由此，即分別解得6次方程的6個(gè)根.其中，分別以(6)和(7)的y根值代入得到的解，有不同的數(shù)軸，但都是可彼此互換的同一結(jié)果.

9.任意的n次不可約代數(shù)方程的解

考慮到任意的n次不可約代數(shù)方程，都可分別歸屬于2m次和次的兩類，9.1.對(duì)于n=2m+1的方程可采用，m=1、2，的類似方法，即：采用zj1、zj2;j=1,2,…,m，共2m個(gè)參量，當(dāng)取y方程的一個(gè)根：y1={zj1+zj2;j=1,2,…,m}，，則因由2m+1次x方程變換為y方程，的另2m個(gè)根分別成為：yj1=zj1wj1+zj2wj2+{zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,…,m}，yj2=zj1wj2+zj2wj1+{zk1wk1+zk2