材料力學(xué)-第10章組合變形

材料力學(xué)-第10章組合變形第一頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形概述組合變形的概念：桿件的基本變形桿件的軸向拉伸（壓縮）變形桿件的自由扭轉(zhuǎn)變形桿件的平面彎曲變形

工程實際中，構(gòu)件在外載荷的作用下，經(jīng)常發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形2022/12/92第二頁，共67頁。

如果這幾種變形中，有一個是主要變形，其它變形所引起的應(yīng)力（或變形）很小，這時，構(gòu)件可按主要變形進(jìn)行設(shè)計、計算。

但是，如果這幾種變形所對應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬于同一個數(shù)量級，這時，不能略去其中的任何一種變形，必須綜合考慮這些變形因素進(jìn)行設(shè)計、計算，此時構(gòu)件的變形稱為組合變形。材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/93第三頁，共67頁。

組合變形的例子

+壓彎組合材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/94第四頁，共67頁。

組合變形的例子

FAFaBCFA彎扭組合材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/95第五頁，共67頁。

組合變形的例子

彎扭組合材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/96第六頁，共67頁。超高層建筑在設(shè)計過程中，主要考慮的不再是重力，而是風(fēng)載與地震載荷材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/97第七頁，共67頁。超高層建筑在設(shè)計過程中，主要考慮的不再是重力，而是風(fēng)載與地震載荷材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/98第八頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形概述2022/12/99第九頁，共67頁。

危險面、危險點及應(yīng)力狀態(tài)

計算簡圖兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲（斜彎曲）

基本方法－疊加法拉（壓）彎組合

連接件實用計算鉚釘連接的計算材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/910第十頁，共67頁?；痉椒ǒB加原理變形基本變形1基本變形2基本變形n組合變形線彈性、小變形分解疊加材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/911第十一頁，共67頁。

借助于帶輪或齒輪傳遞功率的傳動軸，工作時在齒輪的齒上均有外力作用。

將作用在齒輪上的力向軸的截面形心簡化便得到與之等效的力和力偶，這表明軸將承受橫向載荷和扭轉(zhuǎn)載荷。

為簡單起見，可以用軸線受力圖代替原來的受力圖。這種圖稱為傳動軸的計算簡圖。

計算簡圖材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/912第十二頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形組合變形的一般步驟計算簡圖剪力圖、彎矩圖－確定危險截面，危險點危險點處應(yīng)力狀態(tài)分析2022/12/913第十三頁，共67頁?！?－2

兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲（斜彎曲）材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/914第十四頁，共67頁。

對于矩形截面，變形與彎矩作用平面是否仍在同一平面？AFwAFFw

對于圓形截面，桿的變形與彎矩作用平面在同一平面內(nèi)彎曲平面在哪個方向？材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/915第十五頁，共67頁。圓形截面：任何通過軸心的力引起的彎矩所作用的平面均為截面的對稱面材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲FFFF矩形截面：只有兩個平面為對稱面當(dāng)力和彎矩作用在一個非對稱平面上，桿件彎曲方向？2022/12/916第十六頁，共67頁。zyMzMyMzyM矩形截面分析：θ中性軸如果彎曲平面和彎矩作用平面一致，那么必須材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/917第十七頁，共67頁。zyMzMyM矩形截面應(yīng)力分析：1.將M沿坐標(biāo)軸方向分解2.分別考慮各彎矩分量產(chǎn)生的應(yīng)力3.疊加，得到矩形截面內(nèi)任一點的彎曲正應(yīng)力材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/918第十八頁，共67頁。zyMzMyM矩形截面應(yīng)力分析：矩形截面內(nèi)任一點的彎曲正應(yīng)力1.令，可得到中性軸方程2.取，可得到危險點應(yīng)力大小材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/919第十九頁，共67頁。對中性軸進(jìn)行分析：

令，可得到中性軸方程zyMzMyMzyMθ中性軸中性軸角度：說明：只有當(dāng)截面為圓形或者正方形時，桿件彎曲方向與彎矩作用平面一致。桿件變形方向與彎矩作用平面不在同一平面內(nèi)，這種彎曲稱為斜彎曲。定義：材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/920第二十頁，共67頁。zyM中性軸如何確定截面內(nèi)危險點？將中性軸平移，危險截面上距中性軸最遠(yuǎn)處即為危險點?？梢?，矩形截面梁的最大彎曲正應(yīng)力一定發(fā)生在橫截面上的棱角處。MzMyMAA錯誤！材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/921第二十一頁，共67頁。Oxzy

圓形截面，危險點位置隨彎矩方向變化而變化，應(yīng)力大小不隨彎矩方向改變。AzyAMMM

矩形截面，危險點位置不隨彎矩方向變化而變化，始終在矩形棱角處，但應(yīng)力大小隨彎矩方向改變。M材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/922第二十二頁，共67頁。

圖示矩形截面鑄鐵懸臂梁，承受載荷Fy與Fz作用，且Fy＝Fz＝F＝1kN，截面高度80mm，寬度40mm，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，校核該梁強(qiáng)度。例題1Fzzy800800Fy材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/923第二十三頁，共67頁。1.確定危險截面Fzzy800800Fy解：MzxFaMyx2Fa危險截面在處2.確定危險點zy材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/924第二十四頁，共67頁。3.計算危險點應(yīng)力，危險點為單向受拉（壓）Fzzy800800Fy4.強(qiáng)度校核zy該梁安全材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2022/12/925第二十五頁，共67頁。例題材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲qzyqqcosaqsina矩形截面木檁條，跨長l，受集度q的分布載荷作用，已知彈性模量E，截面高寬比h/b=3/2，許用應(yīng)力[s]，許可撓度l/200。試選擇界面尺寸，作剛度校核。2022/12/926第二十六頁，共67頁。解：材料力學(xué)－第10章組合變形兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲危險點－跨中截面，最下或最高點最大彎矩：危險點最大正應(yīng)力：最大撓度：h,b剛度條件：2022/12/927第二十七頁，共67頁?！?0-2

非對稱純彎梁的正應(yīng)力材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/928第二十八頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力F非對稱截面梁zyzyFFFF問題：無對稱軸的任意截面梁，形心已知，截面內(nèi)彎矩M，

求彎曲正應(yīng)力OM關(guān)鍵：分析：中性軸幾何、物理、平衡2022/12/929第二十九頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力zyO幾何：MzMynn平截面假設(shè)成立，中性軸n-n距中性軸η的點的線應(yīng)變物理：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系平衡：η（對形心軸靜矩必為0）2022/12/930第三十頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力zyOnnMzMyzyηη（廣義彎曲正應(yīng)力公式）2022/12/931第三十一頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力對廣義彎曲正應(yīng)力公式的討論zyO（1）對稱彎曲zyOFF具有縱向?qū)ΨQ面，且外力作用在對稱面內(nèi)2022/12/9第三十二頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力對廣義彎曲正應(yīng)力公式的討論（2）截面不具有對稱面，但外力在形心主慣性平面內(nèi)zyOM2022/12/9第三十三頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力對廣義彎曲正應(yīng)力公式的討論（3）斜彎曲具有縱向?qū)ΨQ面，但外力不作用在對稱面內(nèi)zyMzMyM2022/12/9第三十四頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形非對稱純彎梁的正應(yīng)力對廣義彎曲正應(yīng)力公式的討論（4）截面不具有對稱面，且外力不在形心主慣性平面內(nèi)zyOM中性軸公式：中性軸2022/12/9第三十五頁，共67頁?！?0-3

拉（壓）彎組合變形材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/936第三十六頁，共67頁。FF材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形最大應(yīng)力：危險點：正應(yīng)力最大點（截面最下端）危險點應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)2022/12/937第三十七頁，共67頁。偏心拉伸（壓縮）zyFezey拉（壓）彎組合偏心拉伸（壓縮）：平行于桿件但偏離軸心的作用力所引起的桿件變形zyFMyMz材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/938第三十八頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形軸向力引起的正應(yīng)力：彎曲引起的正應(yīng)力：偏心拉伸時總的正應(yīng)力：zyFezey偏心拉伸的計算公式：

表達(dá)式中，兩項之前的正負(fù)號需要由實際力的效果決定。圖中所示情況，兩號皆為正。2022/12/939第三十九頁，共67頁。偏心壓縮時的截面核心zyFezeyzyFMzMy壓彎組合偏心壓縮時，軸向壓力產(chǎn)生壓應(yīng)力，彎矩在部分截面產(chǎn)生拉應(yīng)力，部分截面產(chǎn)生壓應(yīng)力。材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/940第四十頁，共67頁。問題：對于一些鑄鐵桿件，希望截面內(nèi)只有壓應(yīng)力，沒有拉應(yīng)力。那么，軸向集中力的作用點應(yīng)該在什么區(qū)域內(nèi)？zyMzMy軸向力引起的正應(yīng)力：彎曲引起的正應(yīng)力：偏心壓縮時總的正應(yīng)力：材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/941第四十一頁，共67頁。zyMzMy偏心壓縮時總的正應(yīng)力：代入危險點坐標(biāo)：危險點材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/942第四十二頁，共67頁。zyMzMy代入危險點坐標(biāo)：這是關(guān)于集中力作用點坐標(biāo)的方程危險點集中力正好作用在紅線上2.集中力作用在紅線上方3.集中力作用在紅線下方所以，要使得危險點不產(chǎn)生拉應(yīng)力，集中力必須作用在紅線上方1.討論：危險點處正應(yīng)力材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/943第四十三頁，共67頁。zyMzMy考慮危險點1截面核心危險點1危險點2危險點4危險點3考慮危險點2考慮危險點3考慮危險點4截面核心區(qū)域的確定：材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形2022/12/944第四十四頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎組合變形課堂思考：圓形截面的截面核心？d截面核心形狀：圓形截面核心尺寸：

利用圓形截面外緣應(yīng)力為0的條件來確定。2022/12/945第四十五頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形§10-4

彎扭組合變形2022/12/946第四十六頁，共67頁。材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形彎扭組合：既要考慮正應(yīng)力，也要考慮剪應(yīng)力2022/12/947第四十七頁，共67頁。

根據(jù)截面上的總彎矩M和扭矩T的實際方向，以及它們分別產(chǎn)生的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分布，即可確定承受彎曲與扭轉(zhuǎn)作用的圓軸的危險點及其應(yīng)力狀態(tài)。微元截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為xzyTM危險點材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/948第四十八頁，共67頁。

圓截面，如果危險面上有兩個彎矩My和Mz同時作用時，應(yīng)按矢量求和的方法，確定危險面上總彎矩M的大小與方向。

OxzyTMyMzOxzyTMyMzM材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/949第四十九頁，共67頁。危險點應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力

因為承受彎曲與扭轉(zhuǎn)作用的圓軸一般由韌性材料制成，故可用最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則或畸變能密度準(zhǔn)則作為強(qiáng)度設(shè)計的依據(jù)。于是，得到強(qiáng)度條件：

強(qiáng)度條件與設(shè)計公式

材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/950第五十頁，共67頁。對于第三強(qiáng)度理論對于第四強(qiáng)度理論將和的表達(dá)式代入上式，并考慮到WP＝2W，便得到

材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/951第五十一頁，共67頁。引入記號

式中，Mr3和Mr4分別稱為基于第三強(qiáng)度理論和基于第四強(qiáng)度理論的計算彎矩或相當(dāng)彎矩（equivalentbendingmoment）。OxzyTMyMzM材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/952第五十二頁，共67頁。

電動機(jī)的功率P＝9kW，轉(zhuǎn)速n＝715r／min，帶輪的直徑D＝250mm，皮帶松邊拉力為FP，緊邊拉力為2FP。電動機(jī)軸外伸部分長度l＝120mm，軸的直徑d＝40mm。若已知許用應(yīng)力[]＝60MPa，例題2

試求：用第三強(qiáng)度理論校核電動機(jī)軸的強(qiáng)度。

材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/953第五十三頁，共67頁。計算簡圖120250402FpFp3FpFpD/2材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/954第五十四頁，共67頁。解：1．計算外加力偶的力偶矩以及皮帶拉力

電動機(jī)通過帶輪輸出功率，因而承受由皮帶拉力引起的扭轉(zhuǎn)和彎曲作用。根據(jù)軸傳遞的功率、軸的轉(zhuǎn)速與外加力偶矩之間的關(guān)系，作用在帶輪上的外加力偶矩為

根據(jù)作用在皮帶上的拉力與外加力偶矩之間的關(guān)系，有于是，作用在皮帶上的拉力

120250402FpFp3FpFpD/2材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/955第五十五頁，共67頁。解：2．確定危險面上的彎矩和扭矩

將作用在帶輪上的皮帶拉力向軸線簡化，得到一個力和一個力偶，即

軸的左端可以看作自由端，右端可視為固定端約束。問題比較簡單，可以直接判斷出固定端處的橫截面為危險面，其上之彎矩和扭矩分別為120250402FpFp3FpFpD/2材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/956第五十六頁，共67頁。解：3．

應(yīng)用第三強(qiáng)度理論所以，電動機(jī)軸的強(qiáng)度是安全的。材料力學(xué)－第10章組合變形彎扭組合變形2022/12/957第五十七頁，共67頁。拉（壓）彎扭組合材料力學(xué)－第10章組合變形2022/12/958第五十八頁，共67頁。拉彎扭基本變形FF材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎扭組合變形2022/12/959第五十九頁，共67頁。FF強(qiáng)度條件：應(yīng)力狀態(tài)：材料力學(xué)－第10章組合變形拉（壓）彎扭組合變形2022/12/960第六十頁，共67頁。

圖示圓截面鑄鐵桿，承受軸向載荷F1，橫向載荷F2與矩為M1的扭力偶作用，校核該桿強(qiáng)度。已知載荷F1