2020屆中考圓知識點(diǎn)總結(jié)及典型題型

圓知識點(diǎn)一

圓的定義圓的定義：

OA

繞它固定的一個端點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)

A

所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O

叫作圓心，線段OA

叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r

的圓是所有到定點(diǎn)O

的距離等于定長r

的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第就確定了圓。知識點(diǎn)二

圓的相關(guān)概念（1）

（2）

弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3）

等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。（4）

等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2

垂直于弦的直徑知識點(diǎn)一

圓的對稱性A

BA

B如圖所示，直徑為

MD，AB

是弦， 且

CD⊥AB，垂足為

C知識點(diǎn)二

垂徑定理（1）

AC=BCAM=BM垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑

MD

與非直徑弦

AB

相交于點(diǎn)

AC=BC AM=BMAD=BD注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3

弧、弦、圓心角知識點(diǎn)

弦、弧、圓心角的關(guān)系（1）

弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）

組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。（3）

注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4

圓周角知識點(diǎn)一

圓周角定理（1）

都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）

的圓周角所對弦是直徑。（3）

圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點(diǎn)二

圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。(2)四個內(nèi)角的和是360°(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角24.2

點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)一

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）

（2）

用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O

的半徑是

r，點(diǎn)

P

到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)

P

在圓外

p

在圓上

p

在圓內(nèi) 知識點(diǎn)二 （1）經(jīng)過在同一條直線上的三個點(diǎn)不能作圓（2）不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)可以作圓，且只能作一個圓。知識點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心（1）

經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2）

外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心。知識點(diǎn)四

反證法（1）

反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（2）

反證法的一般步驟：①

假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②

從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；③

由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2

直線和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)一

直線與圓的位置關(guān)系（1）

直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）

直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O

的半徑是

r，直線

l

與圓心

0

的距離為

d，則有：直線

l

相交 d

＜

r；直線

l

相切 d

=

直線

l

相離 d

＞

r。知識點(diǎn)二

切線的判定和性質(zhì)（1）

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。（3）

切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點(diǎn)三

切線長定理（1）

切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。（2）

切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）

注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)一個是在圓外一點(diǎn)，另一個是切點(diǎn)。知識點(diǎn)四

三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1) 內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2)(3)

三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。②根據(jù)三角形面積的表示方法：②根據(jù)三角形面積的表示方法：

ab=br,

r

.形的內(nèi)角。(4) 直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：①直角三角形直角邊為a.b，斜邊為

c，直角三角形內(nèi)切圓半徑為

r.

a-r+b-r=c,得

r

b

。 b24.3

正多邊形和圓知識點(diǎn)一

正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n

是大于

2

的自然數(shù)）圓就是這個正多邊形的外接圓。中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。中心角。距。知識點(diǎn)二

正多邊形的性質(zhì)（1）

各邊相等，各角相等；（2）

都是軸對稱圖形，正n

邊形有

n

條對稱軸，每一條對稱軸都經(jīng)過

n

邊形的中心。（3）

正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成

2n個全等的直角三角形。（4）

所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n

邊形共有

n

條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n

邊形的中心；當(dāng)正n

邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正

n

邊形也是中心對稱圖形，正n

邊形的中心就是對稱中心。（5）

正

n

邊形的每一個內(nèi)角等于

，中心角和外角相等，等于。24.4

弧長和扇形面積知識點(diǎn)一

弧長公式

L=

在半徑為RC=2πR，所以

n°的圓心角所對的弧長的計算公式L=

×2πR=

。 知識點(diǎn)二

扇形面積公式在半徑為

R

S=πR，所以圓心角為n°的扇形的面積為S

=

。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：=

=

,

知識點(diǎn)三

圓錐的側(cè)面積和全面積得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為

r，那么這個扇形的半徑為

l，扇形的弧長為

2πr，因此圓錐的側(cè)面積

rl

rl。圓錐的全面積為圓錐全

圓錐側(cè)

rl

r。底中考回顧1.(2019

甘肅天水中考

)

如圖,AB

是☉

O

的直徑,

弦

CD⊥

AB,

∠BCD=30°,CD=4

,則

S

=(

B

)=A.2π B.

π C.

π D.

π2(2019

四川中考)如圖,AB

是☉O

的直徑,且

AB

經(jīng)過弦

CD

的中點(diǎn)H,已知cos

∠CDB=,BD=5,則

OH的長度為( D )A. B. C.1 D.3.(2019

甘肅蘭州中考)如圖,在☉O

中,CDB=25°,則∠AOB=( B )

,點(diǎn)

D

在☉O

上,∠A.45°

B.50°

C.55°

D.60°4.(2019

山東青島中考)如圖,AB

是☉O

的直徑,點(diǎn)

C,D,E

在☉O

上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數(shù)為( B )A.100° B.110° C.115° D.120°5.(2019

湖北黃岡中考)如圖,在☉O

中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為( B )A.30° B.35° C.45°

D.70°6.(2019

福建中考)如圖,AB

是☉O

的直徑,C,D

是☉O

上位于

AB

異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個角中,一定與∠ACD互余的角是( D )A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC

D.∠BAD7.(2019

貴州黔東南州中考)如圖,☉O的直徑

AB垂直于弦

CD,垂足為

E,∠A=15°,半徑為

2,則弦

CD的長為( A )A.2

B.-1

C.

D.4模擬預(yù)測1.如圖,點(diǎn)

A,B,C

在☉O

上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,則∠BOC等于( B )A.60° B.70° C.120° D.140°解析:如圖,過點(diǎn)

A作☉O的直徑,交☉O于點(diǎn)

D.在△OAB中,,∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故選

D.2.如圖

,AB

是☉

O

的弦,

半徑

OA=2,

∠

AOB=120°,則弦

AB

的長是( B )A.2 B.2 C. D.33.如圖,四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉O,F

是 上一點(diǎn),且

,連接

CF

并延長交

AD的延長線于點(diǎn)

E,連接

AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數(shù)為( B )A.45° B.50° C.55°

D.60°4.如圖,☉O

是△ABC的外接圓,∠B=60°,☉O

的半徑為

4,則

AC的長等于( A )A.4 B.6 C.2 D.85.如圖,AB

是☉O的直徑,弦CD

交AB

于點(diǎn)E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,則☉O的半徑為( B. )A.4 B.5 C.4 D.3∵∠BAC=∠BOD,∴

,⊥CD.8,

CD=4.設(shè)

OD=r,則

OE=AE-r=8-r.在

Rt△ODEOD=r,DE=4,OE=8-r.=DE+OE,=4+(8-r),解得

r=5.6.若☉O的半徑為

1,弦

AB=

,弦

AC=

,則∠BAC的度數(shù)為 15°或

75°.7.

如圖,△ABC

是☉

O

的內(nèi)接三角形

,點(diǎn)

D

是 的中點(diǎn)

,已知∠AOB=98°,∠COB=120°.則∠ABD的度數(shù)是 101°.8.如圖,將三角板的直角頂點(diǎn)放在☉O

的圓心上,兩條直角邊分別交☉O

于

A,B

兩點(diǎn),點(diǎn)

P

在優(yōu)弧

AB

上,且與點(diǎn)

A,B

不重合,連接

PA,PB.則∠APB為 45°.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,☉P與

x

軸交于

O,A兩點(diǎn),點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為(6,0),☉P的半徑為

,則點(diǎn)

P的坐標(biāo)為 (3,2).10.如圖,已知

AB

是☉O

的直徑,AC

是弦,過點(diǎn)

O

作

OD⊥AC于點(diǎn)

D,連接

BC.(1)求證:OD=

BC; (2)若∠BAC=40°,求 的度數(shù).(1)證明:(證法一)是☉O的直徑,又